Презентация на тему "Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

• 
  Слайд 2
  

  Немного теории. Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H]. H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

• 
  Слайд 3
  

  Немного теории. H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H]. Sсеч.

• 
  Слайд 4
  

  Немного теории (базовые классы могут пропустить). H x x Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то: где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H]. Sсеч.

• 
  Слайд 5
  

  I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S. x H x[0;H] 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 доH и равна площади основания. x

• 
  Слайд 6
  

  II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x[0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 доH и равна площади основания. x

• 
  Слайд 7
  

  III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой Hи площадью основания S. x x[0;H] H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 доH и равна площади основания. x

• 
  Слайд 8
  

  IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S. Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 доH и равна площади основания. x H x[0;H] 0 x

• 
  Слайд 9
  

  V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x x[0;H]  x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.: 0

• 
  Слайд 10
  

  VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой Hи площадью основания S. H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.: x x[0;H] 0

• 
  Слайд 11
  

  VII. Объем усеченной пирамиды. текст

• 
  Слайд 12
  

  VIII. Объем цилиндрас высотой H и площадью основания S. x x[0;H] H 0 x Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 доH и равна площади основания.

• 
  Слайд 13
  

  IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S. x x[0;H] H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.: 0

• 
  Слайд 14
  

  X. Объем усеченного конуса. текст

• 
  Слайд 15
  

  XI. Объем шарас радиусом R. Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где: R x Значит, объем всего шара равен: x 0 r

• 
  Слайд 16
  

  XII. Объем шарового сегмента. Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основанияrотличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h: r R h x h r Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!

• 
  Слайд 17
  

  XIII. Объем шарового слоя. текст

• 
  Слайд 18
  

  XIV. Объем шарового сектора. текст h r R