Презентация на тему "7 способов решения тригонометрического уравнения"

Содержание

• 
  Слайд 1

  способов решения тригонометрического уравненияили еще раз о

  Авторы проекта: Шишкина Диана Диденко Инна 10 класс sin x – cos x=1 красоте математики. 7

• 
  Слайд 2

  Математики видят еев:

  гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, богатстве приложений универсальных математических методов. Проблема красоты привлекала и привлекает величайшие умы человечества.

• 
  Слайд 3
  

  Но красота математики выражается не только в красоте форм ,наглядной выразительности математических объектов, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями. Ее привлекательность будет усиливаться за счет эмоционально-экпрессивной составляющей -

  оригинальности, неожиданности, изящества. Математики живут радитех славных моментов, когда проблема оказывается решенной, ради моментов озарения,восторга

• 
  Слайд 4
  

  Можно ли насладиться решением уравнения sinx-cosx=1?Да, если стать его исследователем!

• 
  Слайд 5

  Универсальные методы решения уравненияsin x – cos x=1

  Мы уже говорили о богатстве приложений универсальных математических методов. При решении уравнений одним из них является метод разложения на множители. Можно ли применить его к решению уравнения Sin x –cos x = 1? На первый взгляд,кажется что нет… А если использовать специфические тригонометрические преобразования

• 
  Слайд 6

  Рассуждаем

  Мы не просто в правой части уравнения получили ноль,мы выделили выражение 1 + cos x … Как вы думаете зачем Преобразуем исходное уравнение Sin x – cos x = 1 к виду Sin x – ( 1 + cos x) = 0.

• 
  Слайд 7

  Ну, конечно,вы догадались !

  Необходимо перейти к половинному аргументу, применив формулу повышения степени и формулу двойного аргумента Итак…

• 
  Слайд 8

  Разложение левой части уравнения на множители

  sinx-cosx=1

• 
  Слайд 9
  

  Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому однородное уравнение первой степени.

• 
  Слайд 10
  

  Делим обе его части на что противоречит тождеству Получим Ответ:

• 
  Слайд 11

  Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса

  sinx-cosx=1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2-й способ И так далее, как в предыдущем способе …

• 
  Слайд 12
  

  Тригонометрия удивительна тем ,чтоона даёт собственные оригинальные способы преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение: Но увы, в левой части уравнения, мы видим разноименные функции. Как изменить название функции на «кофункцию» ? Есть изящный способ!!! Всего лишь нужно применить формулу приведения!

• 
  Слайд 13
  

  Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение.

  sinx-cosx=1 Запишем уравнение в виде: Применяя формулу разности двух синусов, получим Ответ: 3-й способ:

• 
  Слайд 14
  

  4-й способ Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций

  Так как Возведем обе части полученного уравнения в квадрат

• 
  Слайд 15
  

  В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима (обязательна!) проверка. Выполним ее. Полученные решения эквивалентны объединению трех решений: х у π/2 π -π/2

• 
  Слайд 16
  

  Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверим Левая часть: Правая часть:1. Следовательно,

• 
  Слайд 17
  

  5-й способВыражение всех функций через tgx (универсальная подстановка) по формулам:

  С учетом приведенных формул уравнение sinx-cosx=1 запишем в виде

• 
  Слайд 18

  Умножим обе части уравнения на

  ОДЗ первоначального уравнения – все множество R.

• 
  Слайд 19
  

  При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т.е. Следует проверить, не является ли х=π+2πk решением данного уравнения. Левая часть: sin(π+2πk)-cos(π+2πk)=sinπ-cosπ=0-(-1)=1. Правая часть: 1. Значит, х=π+2πk, k€Z – решение уравнения. Ответ:

• 
  Слайд 20
  

  На ряду с универсальными методами решения уравнений, есть и специфические. Наиболее ярким из них является метод введения вспомогательного угла (числа). Благодаря этому приёму исходное уравнение легко сводится к простейшему – Последний метод, предлагаемый нами, связан также с нестандартным преобразованием тригонометрического уравнения – возведением обеих частей в квадрат. И хотя он является коварным в плане приобретения посторонних корней, но подкупает своим оригинальным способом сведения исходного уравнения к простейшему! просто и красиво!

• 
  Слайд 21

  6-й способВведение вспомогательного угла (числа)

  sinx-cosx=1 В левой части вынесем за скобку ( корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sinxи cosx). Получим Ответ:

• 
  Слайд 22

  7-способВозведение обеих частей уравнения в квадрат

  sinx-cosx=1

• 
  Слайд 23
  

  Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ: x 0 y π/2 π -π/2

• 
  Слайд 24
  

  ВСЁ!Точнее почти всё!Осталось выбрать метод решения, победивший в номинации:

  Самый простой; Самый оригинальный; Самый неожиданный; Самый универсальный … УДИВИТЕЛЬНОЕ И КРАСИВОЕ ВСЕГДА РЯДОМ!