Презентация на тему "Решение тригонометрических уравнений" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение тригонометрических уравнений

  Урок 11 класс Составила :Кенжалиева Фатима Аруновна – учитель МБОУ Наримановского района «СОШ №7»

• 
  Слайд 2
  

  Цели: Познакомиться с видами тригонометрических уравнений Познакомиться со способами решения уравнений. Выработать навыки применения способов решения уравнений для конкретных тригонометрических уравнений

• 
  Слайд 3

  Этапы урока

  Актуализация знаний учащихся. Тест Теория Практическая работа. Изучение нового материала. Закрепление изученного материала. Домашнее задание. Итоги урока.

• 
  Слайд 4

  Найти правильный ответ

  COS X = a COS X = 1 SIN X = a COS X = 0 COS X = - 1 SIN X = 1 SIN X = - 1 SIN X = 0 X = (-1)K arcsin a + n, n € z. X = /2 + 2n, n € z . X = n , n € z. X = 2n , n € z . X =+ arccos a + 2n, n € z. X =- /2 +2n, n € z . 0 X = + 2n, n € z. X = /2 +n, n € z.

• 
  Слайд 5

  Выберите правильный вариант ответа( ответы)

• 
  Слайд 6

  Виды тригонометрических уравнений

  Уравнения , сводящиеся к квадратным a sin2x + b sin x =c Однородные уравнения Первого порядка: a sinx + b cos x =0 Второго порядка: a sin2x + b sin xcos x + c cos2 x =0 Почти однородные уравнения a sinx + b cos x =с a sin2x + b sin xcos x + c cos2 x =d

• 
  Слайд 7
  

  Методы решения уравненийРешение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует несколько основных методов решения тригонометрических уравнений.

  . Алгебраический метод.  Разложение на множители.  Приведение к однородному уравнению . Переход к половинному углу . Введение вспомогательного угла Преобразование произведения в сумму. Универсальная подстановка

• 
  Слайд 8

  Блок схемаРешения тригонометрических уравнений

  Углы одинаковые Да 1.Привести к одинаковым углам нет Функции одинаковые Да Сделать замену и решить уравнение как алгебраическое да 2.Приводится к одинаковым функциям нет да 3.Привести к sin или cos нет Однородное Почти однородное 2-порядка ? Почти однородное 1-порядка ? 5.Левую часть уравнения разложить на множители и каждый из них приравнять к нулю Нет Нет да 4.Изменить углы Нет нет Обе части уравнения делим на sin или cos в степени равной порядку уравнения Да Сделать замену Sin2x+cos2x=1 Да нет

• 
  Слайд 9

  Основные термины

    Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций. Например : sin( 5x+∏); cosx; tg3α  Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций. Например : cos4x+ sin4x   Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него переменных. Например : 7x5 *y   Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.  

• 
  Слайд 10
  

  Определение 5. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения. Например : x2 +xy-3y2=0   Определение 6. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos, называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.  Например : cos2x+ 3sinx*cosx- 4sin2x=0 Определение 7. Тригонометрическое уравнение называется почти однородным, если один одночлен является числом, а степени остальных одночленов равны. Например :Sin(4X) – cos(4x)+3=0

• 
  Слайд 11

  Формулы соответствующие блокам

  Блок # 1. Формулы приведения тригонометрических функций к одинаковым углам: 1. sin2a = 2sina . cosa 2. cos2a = cos2a - sin2a 3. 2sin2a/2 = 1 - cosa 4. 2cos2a/2 = 1 + cosa Блок # 2. Формулы приведения тригонометрических уравнений к одинаковым функциям: 1. cos2a = 1 - sin2a 2. sin2a = 1 - cos2a 3. ctga = 1/tga 4.Формулы приведения   Блок # 3. Формулы приведения тригонометрических уравнений к функциям синус и косинус: 1. tga = sina/cosa 2. ctga = cosa/sina

• 
  Слайд 12
  

  Блок # 4. Формулы изменения углов в тригонометрических уравнениях: 1. cos2a = cos2a - sin2a 5. cosx=cos2x/2- sin2 x/2 2. sin2a = 2sina · cosa 6, sin x = 2 sin x/2*cos x/2 3. cos2a/2 =( 1 + cosa)/2 4. sin2a/2 = (1 – cosa)/2 Блок # 5. Формулы и приемы разложения левой части тригонометрического уравнения на множители: 1. Вынесение за скобку. 2. Способ группировки. 3. sina+sinb = 2sin(a+b)/2 · cos(a -b)/2 4. cosa+cosb=2cos(a+b)/2 · cos(a-b)/2 5. cosa - cosb = -2sin(a-b)/2 · sin(a+b)/2 6. а2 - b2 = (a - b)(a + b) 7. a3 + b3 = (a + b)(a2 -ab + b2) 8. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 9. sin x – sin y=2 sin( x-y)/2*cos(x+y)/2

• 
  Слайд 13

  Закрепление изученного материала

  Решите уравнение: Sin 2x+2cos2x =1 1.Углы одинаковые? 2.Функции одинаковые ? 3.Приводится к одинаковым функциям? 4.Содержит функции sin и cos? 5.Является однородным? Нужно изменить углы , для этого применим формулы блока 4 : cos2a = cos2a - sin2a sin2a = 2sina · cosa Получим : 2sinxcosx+2(cos2x - sin2x)=1 ( Почти однородное 2-порядка) Применив замену имеем : 2sinxcosx+2(cos2x - sin2x)-(Sin2x+cos2x)=0 Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получили уравнение: cos2x-3sin2x+2sinxcosx=0 Полученное уравнение однородное, поэтому делим каждое слагаемое на cos2x или sin2x, Тогда получится уравнение:1-3tg2x+2tgx=0 Введем новую переменную : tgx= t, получили уравнение:1-3 t2+ 2 t=0 Его корни t1= 1 , t2=- 1/3 Таким образом решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений : tgx= 1, tgx= - 1/3 X=∏/4+ ∏n, n€z ;x=arctg(-1/3)+ ∏n, n€z Ответ: X=∏/4+ ∏n, n€z ;x=arctg(-1/3)+ ∏n, n€z №1 .Решить уравнение: а) 2-3sinx - cos2x = 0 Б) sinx = 2sin2x В) sin3x + sin5x = 0.

• 
  Слайд 14

  Домашнее задание

  ξ36 разобрать задачу 8 №624,626,1223,1217

• 
  Слайд 15

  Итоги урока

  1.Являются ли данные уравнения однородными? А)cos7x + cosx = 0. Б) sin2x + 14sinx · cosx = 15cos2x. В) 4 sinx + 2 cos x =5 2.Одинаковые ли углы у данных функции? А)cosx + cos3x = 0. Б) sin2 (4x)- 15cos2x.=3 В) 4 sin(3x) + 2 cos(3x) =5 3. Каким способом решить данное уравнение? (1 - √2 cosx/4)( 1+ tgx)=0 2sinx + cosx =0

• 
  Слайд 16

  Это интересно

  Слово «тригонометрия» впервые встречается ( 1505г) в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Понятие синуса встречается уже в III веке до нашей эры в работах великих математиков Древней Греции- Евклида, Архимеда. Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращенное латинское выражение complementy sinus то есть « дополнительный синус» cosα= sin( 900 - α) Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс ( а также котангенс, секанс и косеканс) введен в X веке арабским математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангесов.