Презентация на тему "Неизвестные теоремы планиметрии"

Содержание

• 
  Слайд 1

  МАЛОИЗВЕСТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

  Учитель математики Потапова Ф.Ф.. 2014-2015 уч. год. Методическая разработка

• 
  Слайд 2

  § Медиана прямоугольного треугольника.

  Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

• 
  Слайд 3
  

  Пример: Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD, в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC. Решение. Пусть L – точка касания вписанной окружности с DC; K – точка касания вписанной окружности с AD; M – точка касания вписанной окружности с AC. ∆ADC – равнобедренный, т.к. DC – медиана прямоугольного треугольника. Известно, чтоDL=LC. При этом KD=DL AK=LC, т.к. ∆ADC – равнобедренный. AK=AM, MC=LC – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Тогда KD=DL=LC=MC=AK=AM, то есть треугольник равносторонний. Тогда AD=DC=AC, DAC= DCA= ADC=60˚. Таким образом, в ∆ABCA=60˚ B=90˚- 60˚=30˚ Ответ: 60˚,30˚.

• 
  Слайд 4
  

  Пример. Через основание биссектрисы ADравнобедренного треугольника ABC с вершиной В проведен перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающей прямую АС в точке Е. Найдите отрезок АЕ, если известно, что СD=4. Решение. Отметим середину М отрезка AE. Отрезок DM – медиана прямоугольного треугольника ADE, проведенная из вершины прямого угла, поэтому AM=DM=ME. Обозначим, значит, треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, AE=2DM=2DC=8. Ответ: 8.

• 
  Слайд 5

  § Биссектриса.

  Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. Доказательство. Пусть М – точка пересечения продолжения биссектрисы АК треугольника АВС с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник АСК подобен треугольнику АМВ по двум углам. Поэтому   Следовательно, (

• 
  Слайд 6

  § Пересекающиеся окружности.

  Утверждение.Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам. Доказательство. Пусть АВ –общая хорда пересекающихся окружностей с центрами Точки равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, чтд.

• 
  Слайд 7

  § Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником.

  Утверждение 1. Если вписанная окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, то АМ=р-а, где р – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС. Доказательство. Обозначим АС=b, AB=c. Пусть К иL – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС соответственно. Тогда, откуда

• 
  Слайд 8
  

  Утверждение 2. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС, продолжения стороны АВ в точке N и продолжения стороны АС, то АN=р, где р – полупериметр треугольника. Доказательство. Пусть окружность касается стороны ВС в точке Р, а продолжения стороны АС – в точке Q. Тогда откуда AN=p.

• 
  Слайд 9
  

  Утверждение. Если р – полупериметр треугольника , r – радиус его вписанной окружности, а – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной а, то Доказательство (формулы 2). Обозначим BC=a, AC=b, AB=c. Пусть - центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС; P, N и Q – точки касания этой окружности со стороной ВС и продолжениями сторон АВ и АС соответственно. Тогда , чтд.