Презентация на тему "Вычисление объемов тел вращения" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Вычисление объемов тел вращения

  Применение интеграла

• 
  Слайд 2
  

  У х y=f(x) O Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b],тогда график кривой у=f(x)на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем. a b Постановка задачи

• 
  Слайд 3
  

  У х y=f(x) O Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом, через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и найдём площади полученных поперечных сечений. Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Радиус круга равен значению функции в хс Площадь этого круга – S(x) = π·f2 (xс)

• 
  Слайд 4
  

  Построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ,а основанием является сечение - круг. Радиус круга равен значению функции в хс Площадь этого круга – S(x) = π f2 (xс) Объём цилиндра – V=S(x)∙ Δx y=f(x) f(xс) y xс r

• 
  Слайд 5
  

  Объем каждого цилиндра с основанием S(x) и высотой Δx равен S(x)∙ Δx , а объем всего ступенчатого теларавен сумме объёмов всех цилиндров. Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S(x), при n → ∞ называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу:

• 
  Слайд 6
  

  Тогда объем тела вращения вокруг оси ОХ: Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, образованной функцией у=f(x)на отрезке [a;b],вокруг оси ОХ, то его объём можно найти по формуле: Предел полученной интегральной суммы, при n → ∞ равен определенному интегралу: x y=f(x) y

• 
  Слайд 7
  

  Задача. Пусть тело образовано вращением параболы у=х2 на отрезке [0;2] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. у=х2 у О х 2

• 
  Слайд 8
  

  Задача. Пусть тело образовано вращением функции у=0,5xна отрезке [0;4] вокруг оси ОХ. Найдите объём тела вращения. y O x 4

• 
  Слайд 9

  Рассмотрим конус и найдём его объём

  x y h O r

• 
  Слайд 10

  Рассмотрим усечённый конус и найдём его объём

  x y h O R r

• 
  Слайд 11
  

  *** Найдите объём тела, если его поверхность получена вращением фигуры образованной графиками функций:

• 
  Слайд 12

  Вычисление определённых интегралов