Презентация на тему "Решение уравнений с помощью численных методов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Решение уравнений с помощью численных методов

• 
  Слайд 2
  

  метод половинного деления (дихотомии) предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.

  Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)

• 
  Слайд 3

  метод половинного деления

  Так как каждое очередное вычисление f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n

• 
  Слайд 4
  

  итерационные методы - методы последовательных приближений. Здесь задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

  Пусть известно некоторое приближенное значение Хn корня X. Нужно найти следующее приближение корня Хn+1. Формула метода касательных:

• 
  Слайд 5
  

  В качестве исходной точки х выбирается тот конец интервала [a,b], которому ордината того же знака, что и знак второй производной, т.е.—x = a или — х = b. Корень можно найти с любой степенью точности е. это означает, что . Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

• 
  Слайд 6

  Приближенное вычисление интеграла

• 
  Слайд 7

  Определённый интеграл

  Можно трактовать как площадь подынтегральной функции (криволинейной трапеции) на отрезке [a;b] x у 0 f(x) a b =S

• 
  Слайд 8
  

  В простейшем случае, когда известна первообразная F(x), интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница: Для большинства функций нахождение первообразной сложно или невозможно. Тогда применяется приближённое (численное) интегрирование. = F(b)-F(a)

• 
  Слайд 9
  

  Пусть функция f(x)определена на отрезке [а;b]. Требуется: приближенно вычислить определённый интеграл Суть метода: разобьём отрезок [а,b] на n равных отрезков длины h=(b-a)/n, разрезая фигуру под функцией f(x) на n полосок, считая их прямоугольниками. Тогда S  Si , при n Si  S

• 
  Слайд 10

  Метод левых прямоугольников

  Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его левую сторону, то Si = f(xi-1)*h S=(f(a)+ f(x1)+…+f(xn-1))*h x … 0 a x1 xn-1 b у f(x)

• 
  Слайд 11
  

  Вычислить по методу левых прямоугольников: programintegral;vari,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;functionf(x:real):real;beginf:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;beginwrite('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);write('Введите количество отрезков '); readln(n);h:=(b-a)/n; s:=0; x0:=a;fori:=0 to n-1 dobeginx:=x0+i*h; s:=s+f(x)*h; end;writeln('Интеграл равен ',s:12:10);end.

• 
  Слайд 12

  Метод правых прямоугольников

  Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его правую сторону, то Si = f(xi)*h S=(f(x1)+…+f(xn-1)+f(b))*h b 0 a x1 … xn-1 x у f(x)

• 
  Слайд 13

  Метод трапеций

  Если построить не прямоугольники, а трапеции, то Si=(f(xi)+ f(xi-1))/2*h S = (f(a)/2 + f(x1) + …+ f(xn-1)+f(b)/2)*h b xn-1 … x1 a x 0 у f(x)

• 
  Слайд 14

  Метод Монте-Карло

• 
  Слайд 15
  

  Остроумный метод приближенного вычисления площадей сложных фигур – метод Монте-Карло – назван в честь города в княжестве Монако, где находятся всемирно известные казино (рулетка). И как это ни парадоксально, но совершенно случайное помогает в вычислении строго определённого.

• 
  Слайд 16
  

  Дана фигура сложной формы. Требуется: вычислить площадь этой фигуры. Суть метода: поместим фигуру в квадрат со сторонойа. Будем наугад, т. е. случайным образом бросать точки в этот квадрат. у 0 a x a

• 
  Слайд 17
  

  Таким образом, при большомчисле точек доля точек, содержащихся в фигуре, приближённо равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: M S N a2 M – кол-во точек в фигуре, N– кол-во точек в квадрате SMa2/N