Презентация на тему "Определенный интеграл"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Глава 2. Определенный интеграл § 1. Площадь криволинейной трапеции. Определение 1. Пусть функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на [a,b]. Криволинейной трапецией будем называть фигуру на плоскости, ограниченную прямыми x = a, x = b, y = 0 и кривой y = f(x).

• 
  Слайд 2
  

  Задача (о площади криволинейной трапеции). Вычислить площадь криволинейной трапеции P. Вопрос: что такое площадь криволинейной трапеции? Что такое площадь многоугольника мы знаем. Схема «Т» Разобьём[a,b] точками a = x0

• 
  Слайд 3
  

  Точки x0, x1, …, xn называются точками разбиения, а полученные отрезки – отрезками разбиения. 2. Обозначим через x1 = x1 – x0, x2 = x2 – x1, …, xn = xn – xn-1, гдеxi – длина i-того отрезка (i =1, 2, …, n). Введем по определению: (T) = max xi 1  i  n Назовем (T) рангом разбиения T. Это наибольшая из длинн отрезков разбиения. 3. Выберем в каждом из отрезков разбиения произвольно по точке:

• 
  Слайд 4
  

  1  [x0,x1], 2  [x1,x2], …, n  [xn-1,xn] Вычисляемзначения функции в этой точке: f (1), f (2), …, f (n).

• 
  Слайд 5
  

  Строим интегральную сумму: S(T ) = f (1)x1 + f (2)x2 + … + f (n)xn = S(T ) называется интегральной суммой функции f по данному разбиению T. Таким образом, геометрически S(T ) – площадь ступенчатой фигуры (сумма площадей прямоугольников). S(T ) – это число. Разбивая по другому отрезок [a,b] на части и выбирая по другому точки i всякий раз будем

• 
  Слайд 6
  

  получать новые интегральные суммы вида S(T ). Таким образом, можно говорить о переменной интегральной суммы на данном отрезке. Но эта переменная величина более сложной природы, нежели те, что были до сих пор. Введем понятие предела этой переменной величины. Определение 2. Число Iназывается пределом переменной интегральной суммы S(T ) функции f(x) на отрезке [a,b] при (T)  0 если: R+    R+  T ((T)

• 
  Слайд 7
  

  Этот предел не зависит от характера разбиения и выбора точек i. Конец схемы «Т» Замечание 1. Высказывание в определении 2 означает, что когда (T)  0  S(T ) I. Замечание 2. Если (T)  0, то очевидно, что число отрезков разбиения n стремится к бесконечности. Определение 3. Пусть функция y = f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b] и P – ее криволинейная трапеция. Если существу-ет конечный предел

• 
  Слайд 8
  

  то он называется площадью криволинейной трапеции. Замечание 3. Введенный нами предел переменной интегральной суммы обладает всеми обычными свойствами предела. § 2. Понятие определенного интеграла. Условие его существования. Пустьy = f(x) произвольная функция на отрезке [a,b]. Применим к этой функции схему «Т» (разбиение Т, (T), i, f(i), S(T ), ).

• 
  Слайд 9
  

  Определение 4. Если существует конечный предел I переменной интегральной суммы, не зависящий от вида разбиения и выбора точек i, то этот предел называется определенным интегралом (или интегралом Римана) функции f на отрезке [a,b]. Обозначается: Таким образом: где: f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение,

• 
  Слайд 10
  

  a– нижний предел интегрирования, b– верхний предел интегрирования, [a,b] – отрезок интегрирования. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на данном отрезке. Геометрический смысл определенного интеграла. Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, можем утверждать, что для неотрицательной и непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a,b], численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции

• 
  Слайд 11
  

  Замечание 4. В отличие от неопределенного интеграла, который представляет собой семейство функций, определенный интеграл представляет собой вещественное число. Теорема 1. (Необходимое условие интегрируемости по Риману). Если функция y = f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Без доказательства.