Презентация на тему "Санкт-Петербургский архитектурно-строительный колледж"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Санкт-Петербургский архитектурно-строительный колледж

  Математика (повышенный уровень)

• 
  Слайд 2

  Литература

  Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы.– М.: Наука, 1989. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.– СПб.: Питер, 2007 Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005 Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н. Яковлева. Ч.2 – М.: Наука. 1988

• 
  Слайд 3
  

  Матрицы и действия над ними

• 
  Слайд 4

  Матрицы и действия над ними

  Определение Матрицей называется системаmnэлементов, расположенных в прямоугольной таблице из mстрок и nстолбцов. Элементами матрицы могут быть числа, функции, символы к которым применимы алгебраические операции

• 
  Слайд 5

  Термины и обозначения

  А =

• 
  Слайд 6

  Термины и обозначения

  Элемент матрицыaik i– номер строки(от 1 до m) k – номер столбца (от 1 до n) Матрица называется квадратной, если количество строк равно количеству столбцов (m = n)

• 
  Слайд 7
  

  Строчная матрица (m = 1) Столбцовая матрица (n = 1)

• 
  Слайд 8
  

  Диагональная матрица (m = nи ненулевые элементы расположены только на главной диагонали)

• 
  Слайд 9
  

  Единичная матрица (диагональная матрица, ненулевые элементы которой равны единице) Е =

• 
  Слайд 10
  

  Симметричная матрицаaik=aik(элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны) Нулевая матрицаaik=0(все элементы матрицы равны нулю)

• 
  Слайд 11
  

  Транспонирование матрицы (поменять местами строки и столбцы ) Ат =

• 
  Слайд 12

  Действия над матрицами

  Сложение (вычитание) матриц Действие определено только для матриц одинакового размера А = В =

• 
  Слайд 13
  

  Сложение (вычитание) матриц C = А  B = = Cik = Aik Bik

• 
  Слайд 14
  

  Умножение матрицы на число В = А = = Вik = Aik На  умножаются все элементы матрицы

• 
  Слайд 15
  

  Произведение двух матриц Произведение имеет смысл для квадратных матриц одинакового размера, либо для прямоугольных матриц, где: число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В C = А  B

• 
  Слайд 16
  

  Произведение двух матриц pстолбцов A B C nстолбцов nстрок = mстрок mстрок pстолбцов 

• 
  Слайд 17
  

  Вычисление элементов матрицы С Элемент Сikравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на k-й столбец матрицы В

• 
  Слайд 18
  

  Вычисление элементов матрицы С i k Сik =  Сik = ai1b1k + ai2b2k + + ai3b3k + … + ainbnk

• 
  Слайд 19
  

  С11 = 16 + 27 + 38 = 44 С12 = 1(-3) + 21 + 37 = 20 С21 = 26 + (-4)7 + 58 = 24 С22 = 2(-3) + (-4)1 + 57 = 25

• 
  Слайд 20
  

  Частный случай: произведение строчки на столбец дает один элемент, при этом число столбцов матрицыАдолжно равняться числу строк матрицыВ  =

• 
  Слайд 21
  

  Частный случай: произведение столбца на строчку имеет смысл всегда, при этом число строк матрицыСравно числу строк матрицы А и число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицыВ  =

• 
  Слайд 22
  

  Свойство произведения матрицВ общем случае АВ  ВА ЕслиАВ = ВА, то такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Для квадратных матриц АЕ = ЕА = Агде Е – единичная матрица

• 
  Слайд 23

  Действия над матрицами

  Пример А = В = Ответ АВ = ВА = Найти АВ и ВА

• 
  Слайд 24

  Запись в матричной форме линейных уравнений

  2х1 – 3х2 + х3 = 3 4х1 + х2 = 8 3х1 + 4х2 + 2х3 = 20 =

• 
  Слайд 25
  

  =  А Х В АХ = В, откуда Х = А-1В

• 
  Слайд 26

  Функции EXCEL для работы с матрицами

  ТРАНСП() МУМНОЖ() МОБР() Порядок работы Записать исходную матрицу. Выделить область ячеек для помещения результата. Выбрать нужную функцию и записать аргументы. Завершить командой матричной операции Ctrl + Shift + Enter.

• 
  Слайд 27

  Домашнее задание

  Выучить конспект лекции. Учебник Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.– СПб.: Питер, 2007 § 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4 Подготовится к практической работе № 1 «Действия с матрицами»

• 
  Слайд 28
  

  Определители

• 
  Слайд 29

  Определители

  Определителем называется число, соответствующее квадратной матрице. Число есть сумма n! произведений элементов матрицы n-го порядка, взятых по одному из каждой строчки и каждого столбца. Знак каждого произведения определяется особым правилом.

• 
  Слайд 30
  

  А = |А| = = det A = Обозначения

• 
  Слайд 31
  

  |А|= Вычисление определителя второго порядка n = 2, n! = 2 = a11a22 - a12a21 -

• 
  Слайд 32
  

  |А|= Вычисление определителя третьего порядка n = 3, n! = 6 = a11a22 а33 + a12a23 а31 +a13a21 а32 -a13a22 а31 - a12a21 а33 -a11a23 а32 =

• 
  Слайд 33
  

  Правило Саррюса - a11a22 а33 + a12a23 а31 +a13a21 а32 -- a13a22 а31 - a12a21 а33 -a11a23 а32

• 
  Слайд 34
  

  Правило Саррюса (вариант) a11a22 а33 + a12a23 а31 +a13a21 а32 -- a13a22 а31 - a12a21 а33 -a11a23 а32  

• 
  Слайд 35
  

  Пример  =  = 5 – 8 + 12 – (-3 + 8 +20) = -16

• 
  Слайд 36

  Минор элемента определителя

  Минором какого либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного, путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.

• 
  Слайд 37
  

  Пример: минор к элементу а11 = М11= М22=

• 
  Слайд 38

  Алгебраическое дополнение

  Алгебраическим дополнениемэлемента определителя называется его минор, взятый со своим или противоположным знаком согласно правилу: если сумма номеров столбца и строки – четная, то минор берется со своим знаком, если нечетная то с противоположным.

• 
  Слайд 39
  

  Для выполнения этого правила перед минором записывается множитель (- 1)(i + k) Теорема Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

• 
  Слайд 40
  

  Для определителя 3-го порядка разложение по 1-й строке: = (-1)1+1 a1 + + (-1)1+2 b1 + (-1)1+3 c1  Второе слагаемое берется со знаком минус!

• 
  Слайд 41

  Свойства определителей

  Значение определителя при его транспонировании не изменяется. При перестановке двух столбцов (строк) знак определителя изменяется на противоположный. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

• 
  Слайд 42
  

  Множитель общий для некоторого столбца (строки) может быть вынесен за знак определителя. Значение определителя не изменяется, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить элементы другого столбца (строки), при этом прибавляемые элементы можно умножать на один и тот же ненулевой множитель.

• 
  Слайд 43

  Свойства определителей

  Указанные свойства упрощают вычисление определителей. 2 -3 = = Раскладываем по второму столбцу: = (-1)1+2 (-2) = 60

• 
  Слайд 44

  Функция EXCEL для работы с определителем

  МОПРЕД() Порядок работы Записать определитель. Выделить одну ячейку для помещения результата. Выбрать функцию МОПРЕД() и записать аргумент. Завершить командой ОК или Enter. (Операция не матричная!)

• 
  Слайд 45

  Обратная матрица

  Обратная матрица А-1к квадратной матрицеАсуществует только тогда, когда определитель|A|  0 Вычисление обратной матрицы связано с нахождением присоединенной (взаимной)матрицы

• 
  Слайд 46
  

  Присоединенной матрицей называется матрица, составленная из алгебраических дополнений к исходной, в строчках которой расположены соответствующие элементы столбцов (транспонированная) Обозначение :ẤилиА

• 
  Слайд 47
  

  А = А = , где

• 
  Слайд 48
  

  А11 = и т.д. А21 =

• 
  Слайд 49
  

  Теорема Для присоединенной матрицы А к квадратной матрицы А n-го порядка справедливо тождество А А = А  А = |А| Е А-1 = 1 |А| А Следствие:

• 
  Слайд 50
  

  А = А11 = 6 А12 = - 4 А21 = - 7 А22 = 5 Найти А-1 |А| = 30 – 28 = 2  0 А-1= ½ =

• 
  Слайд 51

  Вычисление обратной матрицы в EXCEL

  Записать исходную матрицу. Выделить область ячеек для обратной матрицы и задать формат ячеек – дробный. Выбрать функцию МОБР()и записать аргумент. Завершить командой матричной операции Ctrl + Shift + Enter.

• 
  Слайд 52

  Домашнее задание

  Выучить конспект лекции. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов.– СПб.: Питер, 2007. §§ 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3 , 1.2.7, 1.5.1, 1.5.2 Подготовится к практической работе № 2 «Вычисление определителей, обратных матриц».

• 
  Слайд 53
  

  Системы линейных уравнений

• 
  Слайд 54

  Системы линейных уравнений

  а11х1 + а12х2 + … +а1nхn = b1 … … + aikхk +… = bi an1х1 + an2х2 + … + annхn = bn Постановка задачи Найти решение системы nуравнений с n неизвестными (х1, х2 … xn)

• 
  Слайд 55
  

  Обозначения: Хk(k = 1, 2, … n) – неизвестные аik , bi – коэффициенты i – порядковый номер уравнения k – порядковый номер неизвестной

• 
  Слайд 56
  

  Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решений, называется неопределенной.

• 
  Слайд 57
  

  Теорема Крамера Если определитель системы nуравнений с n неизвестными не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение: х1 = D1 D х2= D2 D хn= Dn D

• 
  Слайд 58
  

  где: D – определитель, составленный из коэффициентов аik D1, D2 … DN - определитель, полученный из D путем замены k-го столбца столбцом коэффициентов bi

• 
  Слайд 59
  

  3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 - х2 + х3 = 6 х1 + 5х2 = - 3 = D= -1 = = (-1)3+11 = -5 + 3 = -2  0 Пример:

• 
  Слайд 60
  

  = D1= -1 = = (-1)3+11 = 5 - 9 = - 4

• 
  Слайд 61
  

  = D2= -1 = = (-1)3+11 =3 - 1 = 2 -1

• 
  Слайд 62
  

  = D3= 5 = = (-1)2+2(-1) =-189+187 = -2 2

• 
  Слайд 63
  

  х1 = D1 D - 4 -2 = = 2 х2 = D2 D 2 -2 = = - 1 х3 = D3 D - 2 -2 = = 1

• 
  Слайд 64

  Матричное выражение формулы Крамера

  =  А Х В АХ = В, откуда Х = А-1В

• 
  Слайд 65
  

  =  1 D  Обратная матрица

• 
  Слайд 66

  Реализация матричного выражения формулы Крамера в EXCEL

  Записать матрицу коэффициентов и матрицу свободных членов уравнения. Выделить квадратную область и найти обратную матрицу (МОБР) Выделить столбец результата и поместить туда произведение обратной матрицы на матрицу коэффициентов (МУМНОЖ)

• 
  Слайд 67

  Матричное выражение формулы Крамера

  А = В = А-1= - 1 2 Тот же пример:

• 
  Слайд 68
  

  = = - 1 2 - 1 2  = = Ответ: х1 = 2 х2 = - 1 х3 = 1

• 
  Слайд 69

  Системы линейных уравнений

  Решение системы линейных уравнений методом исключения неизвестных (метод Гаусса) Метод основан на преобразовании расширенной матрицы коэффициентов уравнения в трапециевидную:

• 
  Слайд 70
  

    ʹ

• 
  Слайд 71
  

  хn= bʹn aʹnn и затем последовательному нахождению (хn , хn-1 … x2 , x1) Подставляя найденное значение хnв предыдущую строку, находим хn-1 и т.д., до нахождения x1

• 
  Слайд 72
  

  При преобразовании расширенной матрицы коэффициентов уравнения в трапециевидную, используются следующие действия, обеспечивающие равносильность исходной и преобразованной системы уравнений:

• 
  Слайд 73
  

  Умножение какой-либо строки на ненулевой множитель. Прибавление к какой-либо строке другой строки, в том числе умноженной на ненулевой множитель. Перестановка любых строк расширенной матрицы.

• 
  Слайд 74
  

  3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 - х2 + х3 = 6 х1 + 5х2 = - 3 Пример: -2 -3 = -1 =  Составляем матрицу и преобразуем к диагональному виду :

• 
  Слайд 75
  

  3х1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 - х2 + х3 = 6 х1 + 5х2 = - 3 Пример: -2 -3 = -1 = Составляем расширенную матрицу и преобразуем к диагональному виду :