Презентация на тему "Математический аппарат квантовой механики"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Лекция № 3 Математический аппарат квантовой механики Часть вторая 3 курс ХТФ Русакова Н.П.

• 
  Слайд 2
  

  Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемым (динамическим) величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве. Состояниям системы — классы нормированных элементов этого пространства Лекция № 3 Наблюдаемая величина - наибольшая абсолютная величина измеряемого числового значения физической величины (энергия, импульс, координата, момент импульса, оператор спина) 2

• 
  Слайд 3
  

  Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Описывается: — волновой функцией, вектором состояния, или полным набором квантовых чисел для определённой системы Комплексное сепарабельное гильбертово пространство – обоб-щение евклидова пространства (размерность – 3), допускающее бесконечную размерность . Характеризуется определённой топо-логией (дополнительной структурой: точка и её окрестности), за-дается комплексными числами (x + iy, где xи y  — вещественные числа, i  — мнимая единица, т.е. величина, для которой выполня-ется равенство: i2 = − 1) Лекция № 3 3

• 
  Слайд 4
  

  Лекция № 3 4

• 
  Слайд 5
  

  Представление наблюдаемых величин в виде операторов с накладываемыми на них ограничениями делается по двум причинам: 1. Собственные значения самосопряжённых операторов: соответствуют конкретным значениям физических величин; являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.). Лекция № 3 5

• 
  Слайд 6
  

  2.Согласно принципу суперпозиции одна и та же квантовая частица может находиться одновре-менно во множестве квантовых состояний. Эти состояния описываются множеством собствен-ных значений соответствующего оператора. Это множество собственных значений может быть: конечным (дискретный спектр значений); интервальным (непрерывный спектр значений); смешанным Лекция № 3 6

• 
  Слайд 7
  

  Состояние квантовой системы описывается волновой функцией Ψ(q1, q2, …, qn, t), которая зависит от координат всех образующих систему частиц и времени. Чистое сост. Волновая функция физического смысла не имеет, физи-ческий смысл несёт квадрат её модуля |Ψ(q1, q2, …, qn, t)|2. Он дает плотность вероятности обнаружить систему в положении, описываемом координатами q1 = q01, q2 = q02, … , qn = q0n в момент времени t. Волновая функция является комплексной функцией. Чтобы выявить какое-либо динамическое свойство систе-мы на волновую функцию действуют соответствующим оператором. Лекция № 3 7

• 
  Слайд 8
  

  Каждый из линейных операторов имеет собственные век-торы и собственные вещественные значения, которые и выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин Лекция № 3 Собственный вектор — определяется для квадратной матрицы как вектор, умножение матрицы на который или преобразование которого даёт колли-неарный вектор (тот же вектор, умножен-ный на некоторое скалярное значение). 8

• 
  Слайд 9
  

  Лекция № 3 Почему векторы? Потому что любое динамичес-кое свойство такой квантовой системы как атом или молеку-ла определяется характером движения электронов. А что может дать исчёрпываю-щую характеристику движения электронов? Только вектор. А преобразование векторов в пространстве описывается матрицей. 9

• 
  Слайд 10
  

  Всем динамическим свойствам в кв. мех. можно сопоста-витьэрмитовы матрицы. Они связаны с преобразованием векторов в n-мерном пространстве. Матрица – это прямоугольная система чисел. Размерность матрицы (m x n), m– кол. строк, n – столбцов Еслиm=n– матрица квадратная, а n – порядок матрицы Если преобразования в трёхмерном пространстве(3 х 3) Величины в скобках – элементы матрицы Лекция № 3 Для сокращённого обозначения матрицы A, размер которой равен m×n, используется запись Am×n. 10

• 
  Слайд 11
  

  Элементы a11, a22, …, ann   находятся на главной диагонали матрицы An×n   . Эти элементы назы-ваютсяглавными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы a1n, a2n−1, …, an1   находятся на побочной (второстепенной) диагонали; их называют побоч-ными диагональными элементами Лекция № 3 11

• 
  Слайд 12
  

  Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю Диагональная матрица называется единичной, если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1 Лекция № 3 12

• 
  Слайд 13

  Системы декартовых координат

  Лабораторная система и системы центра масс: А C В Rц.м Вектор Rц.мзадает положение центра масс молекулы в лабораторной системе координат. OXYZ Oxyz Ox’y’z’ 13

• 
  Слайд 14

  Взаимосвязь систем отсчета

  Лабораторная система позволяет определить поступательное движение, невращающаясясис-тема – рассмотреть вращение молекулы как целого, а вращаю-щаяся система центра масс –дать характеристику колебаниям ядер (атомов) М. – связанная совокупность К атомов, с mα (α = 1, 2, …, К) Xα, Yα, Zα –координаты ядер, позволяющие определить движение молекулы (поступательное, вращательное, колебательное) Параметры, характеризующие колебания атомов R1, R2, …, Rnотвечают геометрической конфигурации молекулы (расположению атомов). Координаты атома через эти параметры :xa = xa(R1, R2, …,Rn), ya = ya(R1, R2,…, Rn), za = za(R1, R2, …, Rn); гдеn для линейных молекул составляет 3К-5, для нелинейных 3К-6 Оптимизированное состояние молекул позволяет выделить переменные qiдля описания колебаний ядер ( колебательные координаты) z x y 0 14

• 
  Слайд 15
  

  Матрица, заданная в каждой точке трёхмерного простран-ства, описывающая неоднородность этого пространства, действующая на входящий вектор (изменяет его направ-ление и масштаб) – называется тензором второго ранга. Элементы тензора при смене систем преобразуются по определённому математическому закону Лекция № 3 При таком разнообразии сис-тем отсчета требуется матема-тический объект, который не будет меняться при смене сис-темы координат. И это - тензор 15

• 
  Слайд 16
  

  Классическое представление момента инерции Лекция № 3 16

• 
  Слайд 17
  

  Изолированная молекула из 3 атомов. Масса всех атомов различна. Приложив внешн. силу к центру масс сообщаем поступательное движение всей системе. Задаем первона-чальный импульс. Затем приложив внешн. силу к одному из атомов – сооб-щаем вращательное движение. Добавляем ещё импульс. И сами скорости и вектор скорости этих движений разные. Лекция № 3 Получаем неоднородное движение. Вектор заданный вращением может совпасть с направлением поступательного движения, а может быть противоположно направлен-ным ему. Однако система не выходит из состояния равновесия и её геометрия не меняется. 17

• 
  Слайд 18
  

  В этой системе есть некое математическое свойство, которое может поворачивать и масштабировать вектора, не меняя при этом остальных параметров молекулы. И этот объект – тензор. Матрица, преобразующая вектора. Её компоненты меняются, но их действие на вектор движения молекулы останется таким же Лекция № 3 Это выражение для тензора момента инерции относительно центра отсчёта лабораторной системы. 18

• 
  Слайд 19
  

  Лекция № 3 В двумерном пространстве любой вектор можно задать на плоскости с помощью двух неколлинеарных векторов а1, а2— коэффициенты раз-ложения, (контрвариантные координаты вектора ᾱ) . Век-торыē1 и ē2 называют базис-ными, угол между ними φ≠0 (произвольный), ненулевая длина ē1 и ē2 то же. Это косо-угольная систему координат на плоскости, с осями . 19

• 
  Слайд 20
  

  Лекция № 3 Вектор ᾱможнозадать ортогональными проекциями на оси (v,u) Эти же отрезки через базисные вектора: И проведём сравнение отрезков ОВ1и ОВ2, заданные двумя способами 20

• 
  Слайд 21
  

  Лекция № 3 1. Умножим первое выражение на ē1, а второе на ē2и преобразуем их : 2. Введём матрицу: 3. И тогда любую из ковариантных координат (а1, а2) можно выразить соотношением: Это выражение показывает связь между ковариантными контрва-риантными координатами вектора ᾱ. Она определяется лишь видом матрицы g, зависящей от длин взаимного расположения базисных векторов. 21

• 
  Слайд 22
  

  Набор контравариантных и ковариантных компонент, по сути, задают в выбранном базисе один и тот же вектор. При использовании контравариантных координат этот вектор задается матрицей-столбцома в ковариантной форме — матрицей-строкой. Лекция № 3 22

• 
  Слайд 23
  

  Спасибо за внимание! Лекция № 3 23

• 
  Слайд 24

  Задание на усвоение

  Охарактеризуйте тензор Почему оператор задается в матричной форме Как можно задать координаты вектора Фамилия, Имя 24