Содержание
-
Краткий курс лекцийпо физике Кузнецов Сергей Иванович доцент к. ОФ ЕНМФ ТПУ Сегодня: суббота, 29 октября 2016 г. pptcloud.ru
-
Тема 2. ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 2.1. Квантовомеханическая картина строения атома 2.2. Квантовые числа 2.3. Пространственное квантование (Магнитное квантовое число) 2.4. Спин электрона. Опыт Штерна и Герлаха х
-
Дополнение механической планетарной модели Резерфорда квантовыми постулатами Бора-Зоммерфельда -
-
приводит к согласию с экспериментальными данными Ангстрема, Бальмера, Зеемана и других исследователей.
-
И все же …. Теория Бора-Зоммерфельда использовала два принципиально различных подхода:
-
понятие непрерывной траектории механики Ньютона, - представление о дискретных квантовых состояниях.
-
Геометрическое (пространственное) описание (l=0) (l=1) S-орбита P-орбита (непрерывность)
-
Энергетическое описание ЕР - ЕS ЕР ЕS O + E - E (дискретность)
-
Аналогия теории Бора - Зоммерфельда как слияния двух описаний микромира (Feline)
-
Дальнейшее развитие квантовой механики привело к отказу от механической картины движения электрона в поле ядра.
-
Планетарная модель была заменена квантово-волновым описанием строения атома.
-
2.1. Квантовомеханическая картина строения атома х На прошлой лекции мы обсуждали ограниченность боровской теории строения атома. Рассмотрим теперь квантовомеханическую теорию атомов,гораздо более полную, чем старая теория Бора. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории. Например, электроны могут находиться в атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается (или поглощается) фотон. Но квантовая механика – не просто обобщение теории Бора. Она представляет собой гораздо более глубокую теорию и рисует совершенно иную картину строения атома.
-
Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов, как в теории Бора. В силу волновой природыэлектрон «размазан» в пространстве, подобно «облаку» отрицательного заряда. Для основного состояния атома можно вычислить: х где Ψ(r) – волновая функция положения, зависящая от расстояния r до центра; r1 - радиус первой боровской орбиты. (1)
-
Электронное облако в основном состоянии водорода сферически-симметрично как показано на рисунке х Электронное облако грубо характеризует «размеры» атома, но, поскольку облако может не иметь четко выраженные границы, атомы также не имеют ни точной границы, ни одного определенного размера. Рисунок 1
-
х Как мы увидим в дальнейшем, не все электронные облака сферически-симметричны. Обратите внимание на то, что хотя функция Ψ(r) при больших радиусах r, как следует из приведенного выше выражения сильно убывает, она не обращается в нуль на конечных расстояниях. Квантовая механика утверждает, что основная часть атома не представляет собой пустое пространство. Т.к. Ψ→0 только при r→∞, мы заключаем, что и во вселенной не существует в подлинном смысле пустого пространства.
-
х Электронное облако можно интерпретировать как с корпускулярной, так и с волновой точки зрения. Напомним, что под частицей мы понимаем нечто локализованное в пространстве: в любой момент времени частица занимает вполне определенное положение в пространстве. Следовательно, размытое в пространстве облако является результатом волновой природы электронов. Электронное облако можно также интерпретировать как распределение вероятностей для данной частицы.
-
х Если измерить положение электрона 1000 раз, то большинство результатов измерений соответствовало бы точкам, в которых вероятность велика, хотя электрон случайно может оказаться и там, где вероятность мала. Мы не можем предсказать траектории, по которой будет двигаться электрон. После измерения положения электрона точно предсказать, где будет находиться электрон в последующие моменты времени, невозможно.
-
х Мы можем лишь вычислить вероятность обнаружить электрон в различных точках. Ясно, что подобная ситуация в корне отличается от классической Ньютоновской физики. Как отмечал впоследствии Н.Бор, при испускании атомом светового фотона, бессмысленно даже спрашивать, как электрон переходит из одного состояния в другое. Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода (а также водородных систем: атома гелия He+, лития Li2+ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
-
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z= 1) х где r – расстояние между электроном и ядром. (2)
-
График функции U(r). С уменьшением r (при приближении электрона к ядру)функция U(r) неограниченно убывает. х Рисунок 2
-
х Шредингер Эрвин (1887 – 1961) – австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Основные работы в области статистической физики, квантовой теории, квантовой механики, общей теории относительности, биофизики. Разработал теорию движения микрочастиц – волновую механику, построил квантовую теорию возмущений – приближенный метод в квантовой механике. За создание волновой механики удостоен Нобелевской премии.
-
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера: х E – полная энергия электрона в атоме. - потенциальная энергия Уравнения типа (3) имеют решение, удовлетворяющее однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии: (3) где n = 1, 2, 3,…, т.е. дискретного набора отрицательных значений энергии.
-
Как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней: При E E1, (n = 2, 3, 4,…) – возбужденные.
-
При E > 0 движение электрона становится свободным; область E > 0 соответствует ионизированному атому. Из графика следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n ∞ E∞ 0.
-
Итак, если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера:
-
В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции, определяемые тремя квантовыми числами: главным n, орбитальным l магнитным m. Как уже сказано в предыдущих параграфах – главноеквантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы (n = 1, 2, 3,…). х 2.2. Квантовые числа
-
Главное квантовое число n характеризует расстояние электрона от ядра – радиус орбиты. х В атомной физике состояния электрона, соответствующие главному квантовому числу n, (n = 1, 2, 3, 4,…) принято обозначать буквами K, L, M, N,….
-
Состояния, соответствующие орбитальному числу l = 0, 1, 2, 3,…, также обозначаются буквами s, p, d, f,…. Орбитальное квантовое число l = 0, 1, 2,...n – 1 характеризует эллиптичность орбиты электронаи определяет момент импульса электрона L sharp,principal, diffuse,fundamental
-
Эллиптические орбиты А. Зоммерфельда 1915 г.
-
Квадрат модуля функции характеризует вероятность найти электрон в заданной точке. Область пространства, в которой высока вероятность обнаружить электрон (не менее 0,95), называюторбиталью.
-
Орбиталичасто называют подоболочкамиоболочек, поскольку они характеризуют формы разных орбит, на которых можно обнаружить электроны, находящиеся в одной оболочке (при заданном квантовом числе n).
-
х Решая последовательно задачу об электроне в прямоугольной потенциальной яме мы доказали только то, что энергия и положение электронаквантуются, т.е. принимают дискретные значения. Решая уравнения Шредингера для атома можно получить выражения для энергии, момента импульса и других динамических переменных электрона без привлечения каких-либо постулатов.
-
Рассмотрим (без вывода) движение электрона в потенциальном поле Стационарное уравнение Шредингера х (1) Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой координат: r, θ, φ.
-
Воспользуемся сферической системой с координатами (r, θ, φ), которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рисунка, соотношениями: ; ; .
-
Подставим в (1) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение Шредингера в виде: х (2) Уравнение (2) имеет решение при всех значениях E> 0, это соответствует свободному электрону: При Е
-
В квантовой механике широко используется понятие – оператор. Под оператором понимают правило, посредством которого одной функции φ сопоставляется другая функция fт е. х – символ обозначения оператора. Есть операторы импульса, момента импульса и т.д. – оператор скорости; – ускорения. Если S – путь, то – скорость и т.д.
-
х С помощью оператора стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде (4) Здесь – оператор энергии. Это традиционный вид записи уравнения Шредингера.
-
х Для момента импульса в квантовой механике вводятся четыре оператора: оператор квадрата момента импульса итри оператора проекций момента импульса на оси координат Воздействуя на Ψ – функцию, полученную при решении уравнения (2) оператором момента импульса (движение электрона вокруг ядра осуществляется по криволинейной траектории) можно получить выражение для момента импульса.
-
х Решение этого уравненияявляется очень трудным Ограничимся только конечным результатом: Собственное значение орбитального момента импульса электрона Le (5) l – орбитальное квантовое число(l = 0, 1, 2,… n – 1) Из этого выражения видно, что момент импульса электрона в атоме тоже квантуется. Уравнение для момента импульса электрона.
-
х Если обратиться к привычной нам модели атома, то: n – характеризует среднее расстояние электрона от ядра(радиус орбиты); l – характеризует эллиптичность орбиты:
-
Основным состоянием электрона в атоме водорода является s – состояние:
-
х Если вычислить наиболее вероятное расстояние от ядра для электрона вs –состоянии, получим: – это первый Боровский радиус в СИ: Для других значений n получим выражения, соответствующие следующим Боровским орбитам.
-
х Боровские орбиты электрона представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон. По теории Боравероятность нахождения электрона при любых других значениях r, кроме r= r1, равна нулю.
-
х Согласно квантовой механикеэта вероятность лишь достигает максимальное значение при r = r1 . Допускается нахождение электрона и на других расстояниях от ядра, но с меньшей вероятностью.
-
1S состояние
-
Из курса электричество магнетизма мы знаем, что орбитальный момент импульса электрона и пропорциональный ему магнитный момент ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты электрона и противоположно направлены. х 2.3. Пространственное квантование (магнитное квантовое число)
-
Между и х существует связь – орбитальное гиромагнитное отношение. Такая связь векторов сохраняется и в теории Бора.
-
В квантовой механике, естественно, не может быть указана ориентация и относительно плоскости электронной орбиты (орбиты, в буквальном смысле этого слова, нет). х
-
Для указанной ориентациии должно быть выбрано некоторое направление в пространстве, и расположение может быть задано углом между вектором и этим направлением. За указанное направление выбирается направление внешнего магнитного поля: х
-
В классической физике представлялось само собой разумеющимся, что вектор орбитального момента импульса электрона(или магнитного момента ) может быть ориентирован относительно выбранного направленияпроизвольным образом, т.е. плоскость Боровских орбит тоже может быть ориентирована произвольно. х
-
Однако, такое предположение оказалось ошибочным. В квантовой механике строго доказывается (это следует из решения уравнения Шредингера), что проекция (Lz) векторана направление внешнего поля (z) может принимать лишь целочисленные значения кратные ħ х (2.3.2) m = 0, ±1, ±2,…±l– магнитное квантовое число. l – орбитальное квантовое число, Таким образом,может принимать (2l+ 1) ориентаций в пространстве.
-
Определим величину модуля . Т.к. проекция не может быть больше модуля вектора, то, следовательно . Отсюда следует, что максимальное значение |m| = l(m – целое число). Итак, mтоже может принимать (2l + 1) значений (l = 0 дает одно «лишнее» значение), т. е. может принимать (2l + 1) ориентаций в пространстве. х
-
х Таким образом, пространственное квантование приводит к «расщеплению» энергетических уровней на ряд подуровней. Возможные ориентации вектора в состояниях s, p, d.
-
Расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П. Зееманом и получило название эффекта Зеемана. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом полетоже доказано экспериментально и называется эффектом Штарка.
-
Эффект Зеемана В магнитном поле P - S переход Триплет линий
-
Орбитальный магнитный момент
-
Вектор индукции магнитного поля В Возможные ориентации вектора орбитального магнитного момента (для орбиты с l= 1 ).
-
Эффект Зеемананормальный и аномальный (вид перпендикулярно направлению магнитного поля).а – синглет цинка; б – главный дублет натрия; в – нормальный триплет; г – аномальное расщепление.
-
х 2.4. Опыт Штерна и Герлаха. В 1922 году Штерн и Герлах поставили опыты, целью которых было измерение магнитных моментов Pm атомов различных химических элементов. Для химических элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева и имеющих один валентный электрон, магнитный момент атома равен магнитному моменту валентного электрона, т. е. одного электрона.
-
х Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в сильно - неоднородном магнитном поле. Неоднородность магнитного поля должна быть такова, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размера атома. Только при этом можно было получить силу, действующую на каждый атом в отдельности.
-
х В колбе вакуум 10–5 мм. рт. ст., К – серебряный шарик, который нагревался до температуры испарения. Рисунок 5 Атомы серебра летели с тепловой скоростью около 100 м/с В – щелевые диафрагмы А – фотопластинка.
-
х Если бы момент импульса атома (и его магнитный момент ) мог принимать произвольные ориентации в пространстве, т.е. в магнитном поле, то можно было ожидать непрерывного распределения попаданий атомов серебра на фотопластинку с большой плотностью попаданий в середине. Но на опыте были получены совершенно неожиданные результаты: на фотопластинке получились две резкие полосы – все атомы отклонялись в магнитном поле двояким образом, соответствующим лишь двум возможным ориентациям магнитного момента (рисунок 6).
-
-
х Рисунок 6
-
Этим доказывался квантовый характер магнитных моментов электронов. Количественный анализ показал, что проекция магнитного момента электрона равна х – магнетон Бора Т.е. для серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома (электрона) на направление магнитного поля численно равна магнетону Бора. Напомню:
-
х Опыты Штерна и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульсов в магнитном поле, но и дали экспериментальное подтверждение тому, что магнитные моменты электронов тоже состоят из некоторого числа «элементарных моментов», т.е. имеют дискретную природу. Единицей измерения магнитных моментов электронов и атомов является магнетон Бора (ħ – единица измерения механического момента импульса).
-
х Кроме того, в этих опытах было обнаружено новое явление. Валентный электрон в основном состоянии атома серебра имеет орбитальное квантовое число l= 0 (s – состояние). Но при l= 0, (проекция момента импульса на направление внешнего поля равна нулю). Возник вопрос, пространственное квантование какого момента импульса обнаружилось в этих опытах и проекция какого магнитного момента равна магнетону Бора?
-
х В 1925 г. студенты Геттингенского университета Гаудсмит и Уленбек предложили существование собственного механического момента импульса у электрона S (спина) и, соответственно, собственного магнитного момента электронаmS. Введение понятия спина сразу объяснило ряд затруднений, имевшихся к тому времени в квантовой механике и в первую очередь, результатов опытов Штерна и Герлаха.
-
Спин электрона S Собственный магнитный момент электрона
-
х Спин, как заряд и масса есть свойство электрона П.Дирак впоследствии показал, что существование спина вытекает из решения релятивистского волнового уравнения Шредингера. Из общих выводов квантовой механики следует, что спин S –спиновое квантовое число. Авторы дали такое толкование спина: электрон вращающийся волчок. Но тогда следует, что «поверхность» волчка (электрона) должна вращаться с линейной скоростью равной 300с, где с – скорость света. От такого толкования спина пришлось отказаться.
-
х Аналогично, проекция спина на ось z (LSz) (ось z совпадает с направлением внешнего магнитного поля) должна быть квантована и вектор LSz может иметь (2S+ 1) различных ориентаций в магнитном поле. Из опытов Штерна и Герлаха следует, что таких ориентаций всего две: 2S + 1 = 2, а значит S= 1/2.
-
х Для атомов первой группы, валентный электрон которых находится в s – состоянии (l= 0) момент импульса атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование момента импульса в магнитном поле является доказательством наличия у спина лишь двух ориентаций во внешнем поле. (Опыты с электронами в p – состоянии подтвердили этот вывод, хотя картина получилась более сложной) (желтая линия натрия – дуплет из-за наличия спина).
-
х Численное значение спина электрона По аналогии с пространственным квантованием орбитального момента (L) проекция LSz = mSħ, т.е. тоже должна быть квантованной величиной (аналогично, как m= e, то и mS = S). Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантовой величиной, определяется выражением: где – магнитное спиновое квантовое число. может принимать только два значения, что и наблюдается в опыте Штерна и Герлаха.
-
И так магнитное спиновое квантовое число может принимать два значения. Спиновое квантовое число S имеет только одно значение S= 1/2. Итак, проекция спинового механического момента импульса на направление внешнего магнитного поля может принимать два значения: х (2.4.1) Так как мы всегда имеем дело с проекциями, то говоря, что спин имеет две ориентации; имеем в виду, что две проекции.
-
Проекция магнитного момента электрона на направление внешнего поля: (часто говорят о собственном магнитном моменте электрона) Отношение – спиновое гиромагнитное отношение.
-
Лекция окончена!!!
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.