Презентация на тему "Динамическая теория дифракции рентгеновских лучей в кристаллах"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Динамическая теория дифракции рентгеновских лучей в кристаллах (лекция) В. А. Бушуев Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия e-mail: vabushuev@yandex.ru Вторая Балтийская школа “Методы и инструменты рентгеновских исследований” Калининград, 3-7 октября 2013 года

• 
  Слайд 2
  

  Дорогие коллеги !!! Это не научный доклад в бешенном ритме. Это ЛЕКЦИЯ !!! Поэтому прошу задавать ЛЮБЫЕ вопросы прямо во время чтения лекции !!!!

• 
  Слайд 3
  

  1. Общие сведения о рентгеновском излучении 2. Уравнения Максвелла 3. Кинематическое приближение 4.А так ли нам она нужна, эта самая динами- ческая теория ?? 5.Основные положения и уравнения динамической теории дифракции. Два подхода к этой теории. 6.Граничные условия. Геометрии Брэгга и Лауэ. Коэффициенты отражения и прохождения. 7. Некоторые примеры Краткий план:

• 
  Слайд 4
  

  Рентгеновские лучи (X-rays) – электромагнитное излучение с длиной волны rатd 1 Ангстрема = 10-8 см = 0.1 нм. Именно поэтомуони применяются для ....   Энергия рентгеновских фотонов ћ 10 кэВ >> энергии связи не слишком глубоких электронов   Открытие X-rays – Вильгельм Конрад Рентген (1895 г.) Нобелевская премия (первая в мире) – 1901 г. ... и это всегда приятно напомнить другому физическому, но не рентгеновскому люду, а именно: оптикам, акустикам, магнетологам,радиофизикам, астрономам, гонцами за новыми элементарными частицами, искателями кварков и других темных и скрытых материй, энергий и действенных идей....) ...осмелюсь напомнить, что...

• 
  Слайд 5
  

  Схема эксперимента по регистрации кривой дифракционного отражения (КДО). 1 - рентгеновская трубка, СИ, РЛСЭ; 2 - кристалл-монохроматор, 3 - гониометр, 4 – исследуемый образец, 5 - детектор, S1-3 - щели. ...всегда надо “танцевать” от эксперимента...

• 
  Слайд 6
  

  , Микроскопические уравнения Максвелла (поле + заряды в вакууме) divE = 4πρ, divH = 0. E = E(r, t), H = H(r, t) – вещественные не усредненные функции координатыr и времениt (никакой мистики).   ρ(r, t) = eψψ* – плотность заряда, j(r, t) – ток зарядов, возмущенный эл.-магн. полем.

• 
  Слайд 7
  

  Макроскопическое уравнение Максвелла Введем поляризациюP и индукцию D: D = E + 4πP Уравнение одно, а неизвестных – два(E, D) ??

• 
  Слайд 8
  

  Материальное уравнение (линейный случай) χij – поляризуемость среды (в общем случаетензор второго ранга).   Для стационарных сред: τ = t - t΄. Для кристаллов (трансляционная симметрия) - теорема Блоха

• 
  Слайд 9
  

  Метод преобразований (интегралов) Фурье где фурье-амплитуды (частотно-угловой спектр) Вопрос: что такое kи ω ?? .....волновой вектор и частота – не правильно Немые переменныеинтегр: k = щ, ы; 1,2,3; синий, красный, серо-буро-малиновый и т.п.

• 
  Слайд 10
  

  Простейший случай. Излучение в вакууме (P = 0, D = E) Из уравнения Максвелла следует, что k2 = (/c)2 Обычно отвечают, что k = ω/c = 2π/λ. Правильно, но не совсем... Еще говорят, что k = (/c)n Уже лучше, учтена возможность наличия встречных (обратных) волн, но все равно ответ не полный ... кое-что мы потеряли ...

• 
  Слайд 11
  

  Мы чуть не упустили такое решение: k = k΄+ ik΄΄ (комплексный вектор, в вакууме, как это не звучит пародоксально !!!!)   Условие прежнее:   k2 = k΄2 - k΄΄2 + 2ik΄k΄΄ = ω2/c2 Отсюда:   k΄2 - k΄΄2 = k2;   k΄k΄΄ = 0. Это плоская неоднородная (эванесцентная) волна. Поверхности равных фаз и амплитуд взаимно ортогональны.

• 
  Слайд 12
  

  где В рентгеновском диапазоне вдали от краев поглоще- ния связь междуPи Eлокальная и изотропная (!!): 4P(r, ) = (r, )E(r, ), Индукция D = E + 4P = E, где  = 1 + ,  - диэлектрическая проницаемость.

• 
  Слайд 13
  

  При больших частотах смещение электрона x определяется вторым законом Ньютона md2x/dt2= eE. Отсюда смещение x = (e/m2)E, а поляризация P = exn(r), где n(r) - плотность электронов. Фурье-компоненты поляризуемости h где Vc объем элементарной ячейки. где n0 = Vc-1 плотность элементарных ячеек, r0 = e2/mc2

• 
  Слайд 14
  

  Оценим 0 для кристалла кремния (параметр решетки a = 5.43 A, 8 атомов в ячейке, 14 электронов в атоме). Так как r0 = 2.810-13 см, n0 = 1/a3 = 6.251021 см -3, F0 = 814, то для CuK-излучения ( = 1.54 A) получим, что 0 = 1.510-5. Видно, что величина 0 крайне мала и отрицательна. Последнее приводит, в частности, к явлению полного внешнего отражения (ПВО)РЛ (в отличие от полного внутреннего отражения в оптике видимого диапазона, для которого 0 > 0).

• 
  Слайд 15
  

  Есть два понятия (подхода) в физике рассеяния рентгеновских лучей: 1. Кинематическая теория (а лучше и правильнее сказать – приближение) 2. Динамическая теория (как наиболее точная и адекватная)

• 
  Слайд 16
  

  Аксиомы кинематической теории 1. Пренебрегаем поглощением (l

• 
  Слайд 17
  

  E = E0 + E1+ ... (E1

• 
  Слайд 18
  

  Fh = a fh(m)  exp(Wh(m))exp(ihrm ), fh(m) = m n(r)exp(ihr)dr .   Здесь Fh структурная амплитуда, fh(m) атомный фактор рассеяния m-го атома, rm координата m-го атома в элементарной ячейке, exp(Wh(m))  тепловой фактор Дебая-Валлера. Более строгая теория приводит к fh = fh0 + fh +ifh, где fh0 его потенциальная часть, fh и fh дисперси- онные поправки (их вклад возрастает сприближением энергии квантов к энергиям электронных переходов.

• 
  Слайд 19
  

  Динамическая дифракция Здесь самосогласованным образом учитывается все: 1. Поглощение, 2. Преломление, иными словами – граничные условия !! 3. И самое главное – многократность процессов рассеяния

• 
  Слайд 20
  

  Две схемы дифракции: геометрия Брэгга(“на отраже- ние”)и геометрия Лауэ (“на прохождение”). Граничные условия R(z = L) = 0 R(z = 0) = 0

• 
  Слайд 21
  

  Проблемы в динамической теории: (даже в случае идеальных кристаллов)

• 
  Слайд 22
  

  Y. Feldman, V. Lyahovitskaya, G. Leitus, I. Lyubomirsky, E. Wachtel, V.A.Bushuev, Yu.Rosenberg & G.Vaughan Synchrotron radiation–induced crystallization of amorphous Barium Titanate Oxide membranes // Appl. Phys. Lett. 95, 051919 (2009).

• 
  Слайд 23
  

  В итоге мы приходим к таким состояниям:

• 
  Слайд 24
  

  ....а в “кинематике” все просто:(!!!) ... А так как объекты малы, то и возникает крамольная мысль – а так ли нам она нужна эта самая динамическая теория ??

• 
  Слайд 25
  

  (безлинзовая X-ray микроскопия) Когерентная рентгеновская дифракция

• 
  Слайд 26
  

  Что важнее – амплитудаили фаза поля ?? Есть две фотографии – Исаак Ньютон и Бритни Спирс. ...Оцифровываем изображения и делаем прямые и обратные Фурье-преобразования...... F=A(Ньютон)exp[i(Бритни Спирс)] Что (кто) получится ??!! Преобразования Фурье

• 
  Слайд 27
  

  Фурье- амплитуды Фурье- фазы I(x, y) Прямое Фурье-преобразование

• 
  Слайд 28
  

  Теперь переходим в прямое пространство Фурье-фазы, авсе A=1 !! Фурье- амплитуды

• 
  Слайд 29
  

  Итерационный алгоритм восстановления фазы I.A.Vartanyants (DESY)

• 
  Слайд 30
  

  Пример реконструкции (I.Vartanyants, A. Efanov, DESY, 2010) Замена амплитуды FFT FFT1

• 
  Слайд 31
  

  (r) =  h h exp(ihr). Поле в кристалле E(r) = h Eh exp(iqhr). где qh = q0 + h rot rotE = grad divE  E E + k02E = k02(E), где k0 = /c = 2/- величина волнового вектораволны в вакууме с частотой  и длиной волны  (волновое число). Основное уравнение динамической теории:

• 
  Слайд 32
  

  Есть два подхода 1. Метод дисперсионного уравнения: E(r) = Aexp(ikr), где A = const, k – неизвестный вектор. 2. Метод уравнений Такаги: E(r) = A(r)exp(ikvacr), где A(r) – неизвестная медленно меняющаяся функция, kvac- известная (как в вакууме). ... Все это, конечно, хорошо, однако давно пора вернуться к основной теме лекции – к динамической теории дифракции

• 
  Слайд 33
  

  hEh = G hG EG , где h = (qh2k02)/k02 . Основное уравнение динамической теории (000) (hkl) k0 k0 + h Сфера Эвальда Что надо найти ?? Eh , qh

• 
  Слайд 34
  

  E(r) = e0E0exp(iq0r) + ehEhexp(iqhr) , Дисперсионное уравнение в двухволновом приближении (00)E0Cχ-h Eh = 0,   (h0)EhСhE0 = 0, (00)(h0) C 2χhχ-h= 0, C = 1 для -поляризации и C = cos2B для -поляризации.

• 
  Слайд 35
  

  q0 = k0 + k0n (200)E0Cχ-hEh = 0, (2h00)EhChE0 = 0,   (200)(2h0) Cχhχ-h= 0, 0 = k0z / k0 , h = (k0 + h)z /k0.   В геометрии дифракции Брэгга h  0. Учтем, что h = 2k0sinB, получим  = k02 (k0 + h)2k02  = 2 sin2B, где  =   B (!!!!)

• 
  Слайд 36
  

  1, 2 = (1/40){0(1+b) + b [(0(1b) b)2 + 4bC2χhχ-h]1/2}, Два корня решения дисперсионного уравнения где b = 0/h- коэффициент асимметрии брэгговского отражения. В геометрии Брэгга b  0. Два корня – автоматически ДВЕпроходящих и ДВЕ дифрагированных волны !!!! R1,2 = Eh(1,2)/E0(1,2)= (201,20)/Cχ-h 0 = sin(+B), h = sin(B).

• 
  Слайд 37
  

  Геометрия Брэгга Граничные условия для амплитуд полей: E0(z=0) = 1, Eh(l) = 0. Eg(r) = exp[i(k0 + g)r][Eg1exp(ik01z) + Eg2exp(ik02z)], Поле в любой точке кристалла: где g = 0 (проходящая волна), g = h (дифрагированная). Im(ε1)Im(ε2)

• 
  Слайд 38
  

  Коэффициент отражения E01 = 1/(1 p), E02 = p/(1 p), Eg1,2 = R1,2E01,2,   p = (R1/R2)exp[ik0(12)l]. REh(0)/E0(0) = (R1pR2)/(1 p). Ph () = (h /0)R2 (КДО)

• 
  Слайд 39
  

  a)- кривые дифракционного отражения (220) излучения CuK (1) и AgK (2) от толстого кристалла кремния, b = 1, b) - зависимость фазы отраженияот угловой отстройки.

• 
  Слайд 40
  

  B = Ch /b1/2sin2B– ширина КДО.  = (γ0γh)1/2/Ch - глубина экстинкции. Типичная ширина КДО B 0.1 – 10 угл. сек Типичная глубина экстинкции  1 – 10 мкм

• 
  Слайд 41
  

  КДО CuK-излучения от кристалла кремнияс толщиной l = 1 m (1), 2 m (2) и 10 m (3); симметричное отражение (220). 1 мкм 2 мкм 10 мкм

• 
  Слайд 42
  

  Кривые дифракционного отражения (220) CuK-излучения от кристалла кремния (a) и угловые зависимости глубины проникно- вения РЛ в кристалл (b). Коэффициент асимметрии отражения b: кривые 1 - 0.1, 2 - 1, 3 - 10.

• 
  Слайд 43
  

  Геометрия дифракции Лауэ Граничные условия: E01 = R2/(R1R2), E02 = R1/(R1R2). E0(0) = 1, Eh(0) = 0. Амплитуды полей в кристалле: 0 = cos( + B), h = cos(  B),

• 
  Слайд 44
  

  Кривые дифракционного отражения (1) и прохождения(2) в случае Лауэ для кристаллов с толщиной l = 23 m (a, тонкий кристалл) и l = 300 m (b, толстый кристалл, эффект Бормана). CuK-излучение, Si(220), b = 1.

• 
  Слайд 45
  

  ISP(z, ) = |1 + Rexp(ihzz)|2. Интенсивность полного поля в кристалле Вблизи поверхности (z ] – когерентная фракция φc = 2πm zc/d , zc – когерентнаяпозиция

• 
  Слайд 46
  

  a - КДО (1), угловая зависимость интенсивности полного поля в кристал- ле при z = 0 (2), z = d/4 (3), z = d/2 (4),z = 3d/4 (5); b – пространственное распределение стоячей волны при угловых отстройках  = B (1) и  = B (2). Вертикальные линии показывают положение атомных плоскостей. CuK-излучение, Si(220), b = 1.

• 
  Слайд 47
  

  Дифракция на бикристалле пленка подложка d d + Δd l 2dsinθB = nλ 2(d + Δd)sin(θB + Δθ0) = nλ Δθ0 = -(Δd/d)tgθB

• 
  Слайд 48
  
• 
  Слайд 49
  
• 
  Слайд 50
  

  Рекуррентная формула z Подложка 1 2 N N+1

• 
  Слайд 51
  

  Уравнения Такаги χd(r)= χ(r – u(r)) χ(r ) = Σhχhexp(ihr)

• 
  Слайд 52
  

  Слоистая среда χh – поляризуемость идеального кристалла, Φ(z) = hu(z) – фаза, u(z) – смещение атомных плоскостей, exp(-W(z)) – статический факторДебая- Валлера.

• 
  Слайд 53
  

  k0 – волновой вектор в вакууме, kh = k0 + h.

• 
  Слайд 54
  

  α = 2(θ – θB)sin2θB Уравнения Такаги

• 
  Слайд 55
  

  Уравнение Такаги-Топена

• 
  Слайд 56
  

  Трехкристальная (высокоразрешающая) рентгеновская дифрактометрия Монохроматор Кристалл-анализатор Образец Детектор ДР РТ    

• 
  Слайд 57
  

  Структура слоев пористого германия по данным высокоразреша- ющей рентгеновской дифрактометрии Б - брэгговское рассеяние, А – псевдопик кристалла анализатора, М – отраженное от подложки малоугловое рассеяние рентгеновского пучка на пористой структуре, КД - частично когерентное диффузное рассеяние, Д - диффузное рассеяние на нанокристаллитах и нанопорах. Радиуспор 25-30 нм, нанокристаллиты - 10 нм, степень пористости 56%. Bushuev, Lomov(2002)

• 
  Слайд 58
  

  Распределение интенсивности рассеяния CuK-излучения на кристалле Si с КТ из Ge в окрестности узла Si(111). (Dd/d = 0.04,r0 = 10 нм, az = 2 нм, l0 = 40 нм, s0 = 0.2d0 ) Bushuev (2007)

• 
  Слайд 59
  

  ....а если форма кристалла более сложная ??? “Пыль глотать замучаетесь..”(В.В.Путин)

• 
  Слайд 60
  

  Спасибо за внимание ... Но это еще не все – будет еще одна лекция....