Презентация на тему "Вращение твёрдого тела"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Лекция № 10Вращение твердого тела

  10/04/2012 АлексейВикторович Гуденко pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  План лекции

  Уравнение движения и равновесия твёрдого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении. Применение законов динамики твёрдого тела: скатывание тел с наклонной плоскости, маятник Максвелла. Гироскопы

• 
  Слайд 3

  Виды движения твёрдого тела. Поступательное движение.

  Абсолютно твёрдое тело – это тело, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь Поступательное движение – это такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. Все точки тела при этом имеют одинаковую скорость и описывают одинаковые траектории, смещённые по отношению друг к другу. Примеры поступательного движения: стрелка компаса, при перемещении компаса в горизонтальной плоскости; кабина на колесе обозрения

• 
  Слайд 4

  Вращательное движение твёрдого тела.

  При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на в плоскости, перпендикулярной оси вращения (ось вращения может находиться и вне тела). Угловые скорости всех точек ωодинаковы. ωнаправлена вдоль оси вращения в соответствие с правилом буравчика. Линейные скорости точек: v = ωх r, где r – радиус-вектор, проведённый из любой точки оси.

• 
  Слайд 5

  Плоское движение твёрдого тела

  Любое движение твёрдого тела – это суперпозиция поступательного и вращательного движений. При плоском движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Пример плоского движения – качение цилиндра.Скорость каждой точки цилиндра:v = v0 + ωxr (v0 – скорость оси)

• 
  Слайд 6

  Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси

  Lz = Σrimivi = ωΣmiri2 = Izω Iz =Σmiri2 = ∫r2dm – момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Mz – z-проекция момента внешних сил Основное уравнение динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной осиLzdω/dt = Mz

• 
  Слайд 7

  Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Работа момента сил

  Кинетическая энергия вращающегося телаK = Σmivi2/2 = ½Σmi(ωri)2 = Izω2/2 = Lz2/2I = ½ Lz ω. В общем случае K = ½ (Lω) Работа внешней силы при повороте:dA =(Fds) = Frdφ = Mzdφ

• 
  Слайд 8

  Плоское движение твёрдого тела

  Плоское движение есть суперпозиция движения центра масс и вращательного в системе центра масс Движение центра масс определяется внешними силами по закону Ньютона. Вращательное движение определяется моментом внешних сил

• 
  Слайд 9

  Свойства момента инерции

  Момент инерции – скалярная аддитивная величина. Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции ICотносительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния a до центра масс: I = Ic + ma2 Доказательство: по теореме Кёнигадля кинетической энергии: K = Iω2/2 =mvc2/2 + Icω2/2 = m(ωa)2/2 + Icω2/2 = ½ (ma2 + Ic)ω2  I = Ic + ma2

• 
  Слайд 10

  Теорема о взаимно перпендикулярных осях

  Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов относительно двух взаимноперпендикулярных осей x и y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью z: Iz = Ix + Iy

• 
  Слайд 11

  Моменты инерции различных тел

  Тонкий обруч, полый цилиндр (относительно оси симметрии): I = mr2 Диск: I = ½ mr2 Тонкий длинный стержень: I = 1/12 mL2 – относительно середины; I = 1/3 mL2 - относительно конца Плоский прямоугольник (параллелепипед): I = 1/12 m(a2 + b2) Сфера: I = 2/3 mr2 Шар: I = 2/5 mr2 Толстый цилиндр: I = ½ m(r2 + R2)

• 
  Слайд 12

  Скатывание с наклонной плоскости

  С каким ускорением скатывается цилиндр (круглое тело) с наклонной плоскости. Решение: уравнение моментов относительно мгновенной оси: IAdω/dt = MA IAa = MAr a = mgr2sinα/IA = gsinα/(1 + Ic/mr2) Труба: a = ½gsinα Сплошной цилиндр: a = 2/3 gsinα Полый шар: a = 3/5 gsinα Сплошной шар: a = 5/7 gsinα

• 
  Слайд 13

  Диск Максвелла

  R = 10 см; r = 0,5 см. С каким ускорением опускается диск. Решение:IAdω/dt =MA  IAdωr/dt =MAr IAdv0/dt =MAr a = mgr2/IA = g/(1 + R2/2r2) ≈ g/200 ≈ 5 см/с2

• 
  Слайд 14

  Свободные оси. Главные оси.

  Ось вращения, направление которой в пространстве остаётся неизменным без действия на неё внешних сил, называется свободной осью. Главные оси - три свободных взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс. При вращении вокруг главной оси L1 = Iω1 Для произвольной оси:L = I1ω1 + I2ω2 + I3ω3 Все оси симметрии твёрдого тела являются главными осями инерции.

• 
  Слайд 15

  Особенности вращения шаровых, симметричных и асимметричных волчков.

  Главными называются моменты инерции относительно главных осей. Шаровой волчок: I1 = I2 = I3. Любая ось, проходящая через центр масс – свободная (шар, куб) I1 = I2≠ I3 – симметричный волчок (диск, стержень) – при внешнем воздействии устойчиво вращается вокруг оси с наибольшим I I1≠ I2≠ I3 - асимметричный волчок (параллелепипед) – устойчиво вращается вокруг осей с Imaxи Imin I = I1cos2α + I2cos2β + I3cos2γ - момент инерции относительно произвольной оси.

• 
  Слайд 16

  Гироскоп

  Гироскоп – твёрдое тело, быстро вращающееся относительно оси симметрии. Гироскопическое приближение: L= I0ωили скорость прецессии Ω

• 
  Слайд 17

  Применение гироскопов

  В морской и авиа навигиции: гирогоризонт, гирокомпас – гироскоп в кардановом подвесе сохраняет своё направление. Стабилизация артиллеристского снаряда (в нарезном орудии) – вращающийся снаряд не кувыркается.

• 
  Слайд 18

  Условие равновесие твёрдого тела

  Тело будет оставаться в покое, если: Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣFi = 0 Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю:M = ΣMi = 0

• 
  Слайд 19

  Вращение твёрдого тела. Кинетическая энергия вращающегося тела.

  Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K =mv2/2 = p2/2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции Lz = Iωz– момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K =Iω2/2 = Lz2/2I dA = Mdφ