Презентация на тему "Задачи линейного программирования"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Задачи линейного программирования

  Лекция 3

• 
  Слайд 2

  Линейное программирование

  Методы линейного программирования используют в прогнозных расчетах, при планировании и организации производственных процессов. Линейное программирование – это область математики, в которой изучаются методы исследования и отыскания экстремальных значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения.

• 
  Слайд 3
  

  Такая линейная функция называется целевой, а набор количественных соотношений между переменными , выражающих определенные требования экономической задачи в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений. Слово программирование введено в связи с тем, что неизвестные переменные обычно определяют программу или план работы некоторого субъекта.

• 
  Слайд 4
  

  Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называется математической моделью задачи оптимизации. ЗЛП записывается в общем виде так: при ограничениях

• 
  Слайд 5
  

  Здесь -неизвестные, -заданные постоянные величины.Ограничения могут быть заданы уравнениями. Наиболее часто встречаются задачи в виде: имеется ресурсов при ограничениях. Нужно определить объемы этих ресурсов , при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), т. е. найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом имеются естественные ограничения >0.

• 
  Слайд 6
  

  При этом экстремум целевой функции ищется на допустимом множестве решений, определяемом системой ограничений, причем все или некоторые неравенства в системе ограничений могут быть записаны в виде уравнений.

• 
  Слайд 7
  

  В краткой записи ЗЛП имеет вид: при ограничениях

• 
  Слайд 8
  

  Для составления математической модели ЗЛП необходимо : 1)обозначить переменные; 2)составить целевую функцию; 3)записать систему ограничений в соответствии с целью задачи; 4)записать систему ограничений с учетом имеющихся в условии задачи показателей. Если все ограничения задачи заданы уравнениями, то модель такого вида называется канонической. Если хоть одно из ограничений дано неравенством, то модель неканоническая.

• 
  Слайд 9

  Примеры задач, которые сводятся к ЗПЛ.

  задача оптимального распределения ресурсов при планировании выпуска продукции на предприятии (задача об ассортименте); задача на максимум выпуска продукции при заданном ассортименте; задача о смесях (рационе, диете и т.д.); транспортная задача; задача о рациональном использовании имеющихся мощностей; задача о назначениях.

• 
  Слайд 10

  1.Задача оптимального распределения ресурсов.

  Предположим, что предприятие выпускает различных изделий. Для их производства требуется различных видов ресурсов (сырья, рабочего и машинного времени, вспомогательных материалов). Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период условных единиц. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i-го ресурса требуется для производства изделия j-го вида. Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j-го вида , равна . В планируемый период все показатели предполагаются постоянными.

• 
  Слайд 11
  

  Требуется составить такой план выпуска продукции, при реализации которого прибыль предприятия была бы наибольшей. Экономико-математическая модель задачи

• 
  Слайд 12
  

  Целевая функция представляет собой суммарную прибыль от реализации выпускаемой продукции всех видов. В данной модели задачи оптимизация возможна за счет выбора наиболее выгодных видов продукции. Ограничения означают , что для любого из ресурсов его суммарный расход на производство всех видов продукции не превосходит его запасы.

• 
  Слайд 13

  Примеры

• 
  Слайд 14
  

  Допустим, что будет изготовлено изделий вида А, -изделий вида В и -изделий вида С. Тогда для производства такого количества изделий потребуется затратить станко-часов фрезерного оборудования. Так как общий фонд рабочего времени станков данного типа не может превышать 120, то должно выполняться неравенство

• 
  Слайд 15
  

  Рассуждая аналогично, можно составить систему ограничений

• 
  Слайд 16
  

  Теперь составим целевую функцию. Прибыль от реализации изделий вида А составит 10 , от реализации -изделий вида В -14 и от реализации -изделий вида С-12 Общая прибыль от реализации всех изделий составит

• 
  Слайд 17
  

  Таким образом, приходим к следующей ЗЛП: Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция принимает максимальное значение.

• 
  Слайд 18

  Пример 2

  Продукцией гормолокозавода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в тару. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно1010,1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часов.

• 
  Слайд 19
  

  Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 часов. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции нет ограничений.

• 
  Слайд 20
  

  Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи.

• 
  Слайд 21

  Решение

  Пусть завод будет производить т молока, т кефира и т сметаны. Тогда ему необходимо кг молока. Так как завод может использовать ежедневно не более 136000 кг молока, то должно выполняться неравенство

• 
  Слайд 22
  

  Ограничения на время по расфасовке молока и кефира и по расфасовке сметаны . Так как ежедневно должно вырабатываться не менее100 т молока, то . По экономическому смыслу

• 
  Слайд 23
  

  Общая прибыль от реализации всей продукции равна руб. Таким образом, приходим к следующей задаче: при ограничениях Так как целевая функция линейная и ограничения заданы системой неравенств, то эта задача является ЗЛП.

• 
  Слайд 24

  Задача о смесях.

  Имеетсядва вида продукции , содержащие питательные вещества (жиры, белки и т.д.)

• 
  Слайд 25

  Таблица

• 
  Слайд 26

  Решение

  Общая стоимость рациона при ограничениях с учетом необходимого минимума питательных веществ

• 
  Слайд 27
  

  Математическая постановка задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений и минимизирующий целевую функцию. В общем виде к группе задач о смесях относятся задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Полученные смеси должны иметь в своем составе nразличных компонентов в определенных количествах, а сами компоненты являются составными частями m исходных материалов.

• 
  Слайд 28
  

  Введем обозначения: -количество j-го материала, входящего в смесь; -цена материала j-го вида; -это минимально необходимое содержание i-го компонента в смеси. Коэффициенты показывают удельный вес i-го компонента в единице j-го материала

• 
  Слайд 29

  Экономико-математическая модель задачи.

  Целевая функция представляет собой суммарную стоимость смеси, а функциональные ограничения являются ограничениями по содержанию компонентов в смеси: смесь должна содержать компоненты в объемах, не менее указанных.

• 
  Слайд 30

  Задача о раскрое

  На швейной фабрике ткань может быть раскроена несколькими способами для изготовления нужных деталей швейных изделий. Пусть при j-ом варианте раскроя изготавливается деталей i-го вида, а величина отходов при данном варианте раскроя равна Зная, что деталей i-го вида следует изготовлять штук, требуется раскроить ткань так, чтобы было получено необходимое количество деталей каждого вида при минимальных общих отходах. Составить математическую модель задачи.

• 
  Слайд 31
  

  Решение. Предположим, что по j-ому варианту раскраивается сотен ткани. Поскольку при раскрое ткани по j-ому варианту получается деталей i-го вида , по всем вариантам раскроя из используемых тканей будет получено Общая величина отходов по всем вариантам раскроя составит

• 
  Слайд 32
  

  Таким образом, приходим к следующей задаче: Найти минимум функции при условии, что ее переменные удовлетворяют ограничениям

• 
  Слайд 33

  Общая задача линейного программирования.

  Опр.1.Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (1) при условиях (2) где -заданные постоянные величины и

• 
  Слайд 34
  

  Опр.2.Функция (1) называется целевой, а условия (2)-ограничениями задачи. Опр.3. Совокупность чисел , удовлетворяющих ограничениям задачи (1)-(2), называются допустимым решением (или планом).

• 
  Слайд 35

  Основная задача ЛП

  Опр.4. Основной , или канонической ЗЛП называется задача, состоящая в определении значения целевой функции при условии, что система ограничений представлена в виде системы уравнений:

• 
  Слайд 36
  

  Если требуется для удобства или по смыслу задачи перейти от одной формы записи к другой , то поступают следующим образом. Если требуется найти минимум функции, то можно перейти к нахождению максимума, умножив целевую функции на (-1). Ограничение –неравенство вида можно преобразовать в равенство добавлением к его левой части неотрицательной дополнительной переменной , а ограничение неравенство вида - в ограничение- равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.

• 
  Слайд 37

  Пример.

  Записать в форме основной задачи ЛП задачу: найти максимум функции при условиях

• 
  Слайд 38
  

  Перейдем от ограничений –неравенств к ограничениям-равенствам. У нас имеется 4 неравенства, поэтому введем 4 дополнительные переменные. Тогда запишем уже основную задачу линейного программирования: максимизировать функцию при условиях

• 
  Слайд 39

  Свойства основной ЗЛП.

  Перепишем ЗЛП в векторной форме: найти максимум функции при условиях Здесь

• 
  Слайд 40
  

  План называется опорным, если все компоненты базисного решения системы ограничений канонической задачи линейного программирования неотрицательны. Число положительных компонент опорного плана не может быть больше m, т.е.числа уравнений в ограничениях.

• 
  Слайд 41
  

  Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонент. В противном случае он называется вырожденным. План, при котором целевая функция ЗЛП принимает свое максимальное (минимальное ) значение , называется оптимальным.