Содержание
-
-
Электротехника
Учебное пособие
-
Содержание
Введение Электрические цепи постоянного тока Основные свойства и методы анализа электрических цепей Переходные процессы в линейных электрических цепях Электрические цепи переменного тока Однофазный синусоидальный ток Трехфазный ток
-
Основные свойства и методы анализа электрических цепей
Состав электрической цепи Электрические схемы, их классификация, свойства и режимы работы Исследование линейных электрических цепей Расчет электрической цепи при помощи уравнений Кирхгофа Метод контурных токов Метод наложения Метод узловых напряжений Нелинейная цепь постоянного тока
-
Переходные процессы в линейных электрических цепях
Основные понятия о переходных процессах, законы коммутации и начальные условия Классический метод исследования переходных процессов
-
Однофазный синусоидальный ток
Основные понятия о переменном токе Синусоидальный ток Среднее значение переменного тока и напряжения Действующее значение переменного тока и напряжения Векторные диаграммы переменного тока Представление переменного тока в символическом виде Цепи синусоидального тока, их состав и свойства Применение законов Кирхгофа для цепей переменного тока Мощность цепи переменного тока
-
Трехфазный ток
Понятие о многофазных системах Соединение звездой Соединение треугольником Мощность симметричной трехфазной цепи
-
Электрические цепи постоянного тока
Состав электрической цепи: Источники электрической энергии (ИЭЭ); Приемники электрической энергии (ПЭЭ); Измерительные приборы (ИП); Коммутационную аппаратуру (КА); Соединительные линии, провода и вспомогательные элементы, т. е. электрическую сеть (ЭС). Основные свойства и методы анализа электрических цепей
-
В ИЭЭ осуществляется преобразование в электрическую энергию каких-либо других форм энергии. К ним относятся: Электромеханические генераторы; Электрохимические источники (аккумуляторы, гальванометрические элементы, топливные элементы); Термопреобразователи (термопары)
-
Условные обозначения источников электрической энергии
Гальванический элемент Аккумуляторная батарея Электрическая машина (генератор) постоянного тока с постоянными магнитами Генератор переменного тока (однофазный)
-
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Фотодиод Источник ЭДС Источник тока
-
В ПЭЭ электрическая энергия источников преобразуется в механическую (электродвигатели постоянного тока), тепловую (электропечь, электронагреватели), химическую и электрохимическую (электролизные ванны). Особую группу составляют приемники, в которых происходят обратимые преобразования электрической энергии в энергию электрического поля (конденсаторы, дроссели).
-
Условные обозначения приемников электрической энергии
- Двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением
-
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ПРИЕМНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Электрическая печь сопротивления Лампа накаливания (осветительная) Лампа сигнальная Резистор постоянный (нерегулируемый)
-
- Резистор переменный без разрыва цепи - Резистор постоянный с отводами - Резистор переменный с плавным регулированием сопротивления (реостат)
-
Резистор переменный с разрывом цепи Резистор нелинейный, сопротивление которого зависит от напряжения (варистор) Резистор нелинейный, сопротивление которого зависит от температуры (термистор)
-
Конденсатор постоянной емкости (нерегулируемый) Конденсатор переменной емкости (регулируемый) Конденсатор электролитический (поляризованный)
-
Катушка индуктивности (дроссель) без сердечника Катушка индуктивности с ферромагнитным сердечником
-
ИП служат для количественного определения параметров электрической цепи и контроля режима работы всех электротехнических устройств (определение тока, напряжения, мощности источника электроэнергии и т. д.).
-
Условные обозначения измерительных приборов
Общее обозначение измерительного прибора Амперметр Вольметр
-
КА и ЭС служат для передачи электрической энергии от источников, распределения её между приёмниками, защиты от перенапряжений или недопустимого значения тока и управления режимом электрической цепи.
-
Условные обозначения КА и ЭС
Разборное соединение проводов (зажим) Плавкий предохранитель
-
Выключатель Переключатель Штепсельный разъем повышающий (понижающий) трансформатор в линиях передачи электроэнергии на большие расстояния (силовой трансформатор)
-
трансформатор однофазный с ферромагнитныммагнитоприводом обмотка контактора, магнитного пускателя или реле контакт замыкающии контакт размыкающий
-
Принципиальная схема подключения лампы накаливания к аккумулятору (с измерительными приборами)
-
Принципиальная схема показывает назначение всех электротехнических устройств в цепи и их взаимодействие, но по ней нельзя рассчитать режим работы электротехнических устройств цепи. Для расчета необходимо каждое из электротехнических устройств представить схемой замещения. Схема замещения электрической цепи является её качественной моделью. Она состоит из совокупности различных идеализированных элементов, с помощью которых можно с достаточно хорошим приближением описать процессы в электрической цепи.
-
Представив все элементы принципиальной схемы цепи в виде соединений соответствующих идеализированных элементов, получим схему замещения цепи, состоящую из схем замещения отдельных устройств.
-
Геометрические понятия схемы замещения
Ветвь – один или несколько последовательно соединенных идеализированных элементов, каждый из которых имеет два вывода (начало и конец), т. е. ветвь – это участок цепи с одним значением тока. Узел – место соединения (точка) трех и большего числа ветвей, т. е. узел – это точка разделения тока. Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются больше одного раза.
-
Схема замещения на рисунке содержит три ветви, соединенные в двух узлах а и б: 1 ветвь: rЛ (сопротивление цепи лампы); 2 ветвь: rv(сопротивление цепи вольтметра); 3 ветвь: ra(сопротивление цепи амперметра); rв (внутреннее сопротивление гальванического элемента); E(ЭДС гальванического элемента). Контур цепи включает в себя все три ветви схемы.
-
рассмотрим Свойстваэлектрической цепи для схемы замещения
-
Непосредственной причиной возникновения электрического тока в цепи является ЭДС Е источника энергии. Направление тока Iв цепипринятосчитатьсовпадающимснаправлением ЭДС (показано стрелками). При этом: «+» - положительный зажим источника, через него ток «выходит» во внешнюю цепь; «-» - отрицательный зажим источника, через него ток из внешней цепи «входит» в источник.
-
Если мы замкнем выключатель,то по цепи пойдет ток: I = = , гдеE - ЭДС источника питания; R - полное сопротивление всей цепи; r -сопротивление приемника электрической энергии (нагрузки); rв - внутреннее сопротивление источника электрической энергии. Получили закон Ома для всей цепи. Закон Ома для участка цепи имеет более простой вид: I = , то есть ток в данном участке цепи равен отношению напряжения на участке к его сопротивлению.
-
Из закона Ома для полной цепи получаем: U = E – Irв , то есть напряжение на зажимах источника энергии меньше его ЭДС на величину внутренней потери напряжения, равной Irв. Как правило, внутреннее сопротивление источников питания очень мало rв → 0, поэтому, если ещё и пренебречь сопротивлением проводов, можно записать U ≈ E. Рассмотрим основные режимы работы электрической цепи.
-
1) режим холостого хода - внешняя цепь разомкнута, (rв → ∞), при этом Ix.x = 0, следовательно,Ix.xrв = 0, отсюда U = E, так как U = E – Irв , Irв = 0. Режим холостого хода для цепи не опасный.
-
Режим короткого замыкания очень опасен для электрической цепи и является аварийным, т.к. большие токи приводят к выходу из строя элементов цепи (например, перегрев проводов сети). 2) режим короткого замыкания (r→0 и r
-
Для определения номинального и согласованного режимов работы источника рассмотрим энергию и мощность цепи (понятия, определения, единицы измерения). В соответствии с законом Джоуля - Ленца энергия, Дж, выделенная в цепи с сопротивлением r, Ом, при протекании тока I, А, в течение времени t : A= I2rt, превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство. Мощность P, Вт, численно равна энергии, Дж, выделяемой в единицу времени P = = I2r. Учитывая, что I = , можно записать P = UI.
-
За промежуток времени t = tK-tHпри любом законе изменения тока и напряжения энергия, отдаваемая источником или доставляемая приемнику, определяется как: Если {U, I, P} = constв течение времени t, то определение энергии упростится и A = Pt = I2rt = UIt. Энергия измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Вт∙с, соотношение единиц измерения энергии: 1 Вт∙ч = 3600 Дж; 1 кВт∙ч = 3,6*106 Дж; 1 мВт∙ч = 3,6*109 Дж;
-
3) номинальный режим работы это такой, при котором электрическое устройство может работать неопределенно длительное время или в определенном режиме без перегрева и других недопустимых последствий при указанных номинальных напряжении, токе и отдаваемой мощности. Естественно, что это устройство (приемник электрической энергии, соединительные линии и вспомогательные элементы) может работать и при меньших нагрузках, и при некоторых отклонениях напряжения от номинального; могут быть допущены и кратковременные перегрузки, например, переходные режимы при запуске электродвигателя или запуске генератора.
-
НОМИНАЛЬНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ
-
4) согласованный режим работы осуществляется в том случае, когда требуется получить от источника энергии с данными параметрами наибольшую мощность, например, от аварийного источника электрической энергии (аккумулятора или вспомогательной силовой установки), для подачи потребителю первой категории ВС или АП. Для простейшей электрической цепи мощность, доставляемая приемнику, определяется как так как то .
-
Наибольшая мощность будет при максимуме отношения изменяемого сопротивления нагрузки rк квадрату суммы сопротивлений тоесть,если примем , то max, max . Из условий экстремума, взяв производную по r от величины r/(r+rв)2и приравняв её к нулю, найдем: Алгебраически решив данное уравнение, получим rв = r*, где r* - сопротивление нагрузки, при котором источник отдает в цепь наибольшую мощность. Это - условие максимума мощности, получаемой приемником.
-
Умножив на I2левую и правую часть условия максимума мощности, находим мощность Pn, отдаваемую приемнику, равную мощности ∆Pпотерь в источнике энергии: ,где ,. отсюда . Следовательно, мощность, передаваемая приемнику источника, будет наибольшей при равенстве сопротивления нагрузки внутреннему сопротивлению источника энергии. Однако из экономических соображений этот режим работы практически не применяется в системах электроснабжения ВС и АП, потому что мощности источников энергии здесь находятся в соответствии с требованиями потребителей, и потери энергии в источниках были бы чрезмерно велики, не менее половины всей вырабатываемой энергии. Это можно показать, сделав несложные преобразования: ,то .
-
Подставляя последнее выражение в уравнение для получим: Следовательно, при согласованном режиме работы был бы очень низок КПД подобных систем, так как ЭДС источника используется на 50%. В достаточно мощных электроэнергетических системах эквивалентное сопротивление приемников в десятки раз больше сопротивления источников энергии: Rэп>>rв, что обеспечивает наиболее экономичные режимы эксплуатации авиационной техники, являющейся потребителем электрической энергии.
-
Исследование линейных электрических цепей Задачи и цели исследования
Задачи и цели исследования электрических цепей могут быть самыми различными: определение падения напряжения на зажимах приемника при нагрузке; определение колебаний напряжения в цепи при изменении нагрузки; определение тока нагрузки; определение тока в ветви при коротком замыкании в какой-либо точке цепи и т.д.
-
Из этих расчетов находятся требуемые сечения проводов или при данных сечениях проводов - падение и колебания напряжения в цепи, а также выбираются устройства защиты для отключения участков цепи при коротком замыкании. В простых цепях расчет проводников и проволочных резисторов состоит в определении длины и сечения проводов, обеспечивающих необходимое сопротивление и длительное протекание заданного тока при допустимом нагреве. Для сложных цепей - те же задачи, но для этого сначала определяются токи в ветвях цепи, что является наиболее трудоемкой задачей, решаемой специальными методами.
-
Последовательное соединение приемников электрической энергии
Часто при расчетах бывает целесообразно заменить одним сопротивлением целую группу различным образом соединенных между собой резисторов, но не изменяя токи и напряжения. Такое сопротивление называется эквивалентным Rэ заменяемой им группе сопротивлений.
-
В случае последовательного соединения приемников, применяя закон Ома к участку (ветви) цепи (к каждому отдельному сопротивлению r1, r2, r3,а также к эквивалентному сопротивлению Rэ), получим: ;;;;и так как; то . Разделив левую и правую часть уравнения на I, получим:
-
В общем случае для п последовательно соединенных сопротивлений: где п - общее количество последовательно соединенных сопротивлений; к-порядковый номер сопротивления в цепи, т.е. эквивалентное сопротивление равно сумме последовательно соединенных сопротивлений. Возвращаясь к выражению для напряжений, можно в удобной форме записать
-
Мощность цепи с последовательным соединением сопротивлений равна сумме мощностей, выделяемых на отдельных участках:
-
Параллельное соединение приемников электрической энергии
Для узла а: или Для узла б: или
-
При параллельном соединении U1=U2=Uаб=U, то есть при параллельном соединении резисторов напряжения на ветвях одинаковы; откуда т.е. токи ветвей обратно пропорциональны их сопротивлениям: откуда
-
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
-
Если цепь с внешним сопротивлением r (приемником электрической энергии) питается несколькими последовательно соединенными источниками энергии с ЭДС E1 и т.д. (на рисунке два источника энергии), то ряд последовательно соединенных источников энергии можно заменить одним источником с внутренним эквивалентным сопротивлением где т - общее количество последовательно соединенных источников энергии; к - порядковый номер источника энергии в цепи, и эквивалентной ЭДС:
-
Причем ЭДС того же направления, что и выбираемое для Еэ, следует считать положительным, а ЭДС другого направления - отрицательным. Ток в этой цепи определяется уравнением
-
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ
Тот элемент цепи, в котором ЭДС по направлению противоположна току (противоЭДС), является приемником энергии (например, аккумулятор, электродвигатель) и в нем происходит превращение электрической энергии в химическую (в заряжающемся аккумуляторе) или механическую (в электродвигателе).
-
-
Напряжение на зажимах источника, питающего приемник (аккумулятор, электродвигатель), будет так как где Uu- напряжение на зажимах источника; Un- напряжение на зажимах приемника; Вследствие внутреннего падения напряжения, напряжение на зажимах источника меньше его ЭДС Eu (UuEn), Eu , En - ЭДС источника и приемника. Rл - сопротивление каждого провода линии.
-
Умножив последнее уравнение на значение тока в цепи I, получим уравнение распределения мощности в цепи: здесь EuI- электрическая мощность, развиваемая в источнике электрической энергии. Часть ее теряется (превращается в основном в тепло) внутри самого источника, а остальная мощность Pu=UuIотдается во внешнююцепь. Мощность Pл=2I2Rл превращается в тепло при передаче (в проводах линии). Приемник получает мощность Pn=UnI,из которой I2rвп=Pвпсоответствует тепловым потерям в приемнике, а часть EnI=Pnпредставляетсобой мощность, преобразуемую в химическую (аккумулятор) или механическую (электродвигатель) форму. Общая мощность потерь в сети: ∆P=Pл+Pвn , ∆P=Pu- Pn.
-
ПОТЕРЯ НАПРЯЖЕНИЯ В ПРОВОДАХ
Как видно из предыдущих рассуждений, напряжение Uuв начале линии (на зажимах источника) меньше ЭДС на величину падения напряжения в источнике энергии (Uu=Eu-Irви),а напряжение Unна зажимах приемника меньше Uuна величину падения напряжения в линии. Уменьшение напряжения при передаче электроэнергии по проводам называется изменением или потерей напряжения в линии и для цепей постоянного тока равно падению напряжения на соответствующем участке цепи.
-
Практически обычно рассчитывают отклонение напряжения от номинального значения при колебаниях нагрузки. Отклонение напряжения в сторону уменьшения ограничено тем, что при снижении напряжения значительно ухудшаются выходные характеристики потребителей электрической энергии, резко уменьшается световой поток лампы накаливания, электрические двигатели требуют токи, превосходящие номинальные. При отклонении напряжения в сторону увеличения лампы накаливания, например, могут быстро выйти из строя, а электродвигатели будут работать в недопустимых условиях.
-
Поэтому отклонения напряжения в промышленных сетях имеют жесткие допуски: - в сторону уменьшения - 2,5 ... 5%; - в сторону увеличения - 5%; в бортовых сетях: - постоянный ток (+5 ... - 10%) = 28 В; - переменный ток (+2 ... - 3%) ~ 200 В; в трехфазных генераторах последнего поколения ± 0,5%.
-
Расчет линии по отклонениям напряжения для наибольшей и наименьшей нагрузок следующий: определение сечения проводов (может быть поставлена обратная задача: определение потерь и отклонения напряжения для линии при данных сечениях проводов и нагрузок); выбор или проверка сечения проводов линии без их перегревания при протекании тока (здесь также может быть поставлена обратная задача - проверка имеющихся проводов определенного сечения на отсутствие перегрева).
-
ПОТЕРЯ НАПРЯЖЕНИЯ В ПРОВОДАХ
-
Напряжение в начале двухпроводной линииUu, соединяющей источник энергии с каким - либо приемником (например, электродвигателем, группой ламп и т.д., обозначаемых условно нагрузкой rn), определится из формулы: Un= Uu – 2 IRл , отсюда Uu= Un+ 2IRл , гдеUn- напряжение на конце линии (на зажимах приемника); Rл - сопротивление каждого провода линии. Разность напряжений в начале и конце линииUuиUnназывается потерей напряжения в линии и обозначается ∆Uл: ∆Uл= Uu-Un=2IRл .
-
Из физики известно, что , следовательно,, где L - длина одного провода в линии, м; S - площадь поперечного сечения проводов, мм2; - удельное сопротивление материалов проводов, Ом∙мм2/м; (в системе СИ единицей удельного сопротивления является Ом∙м, 10 мм = 106 Ом∙мм2/м). Относительная потеря напряжения в линии, т.е. потеря напряжения в процентах определяется как
-
Зная ток Iи наибольшую допустимую потерю напряжения ∆UЛдоп , можно найти необходимое сечение проводов∆UЛдоп=I отсюда Подсчитанное по этой формуле сечение проводника округляется до ближайшего стандартного (в сторону увеличения). Потери мощности в линии: ∆Pл= ∆UлI = 2I2Rл.
-
С потерей напряжения и мощности в линии тесно связан коэффициент полезного действия линии ηл, определяемый как отношение отдаваемой линией приемнику мощности Рn к получаемой ею от источника энергии мощности Pu: или в процентах Чем меньше потери напряжения в линии ηл=100-𝛯 , тем больше КПД линии.
-
Вместо КПД линии часто рассматривается величина (коэффициент) относительной потери мощности в ней. то есть относительная потеря мощности в двухпроводной линии постоянного тока равна относительной потере напряжения в ней. Из выражения для 𝛯 получаем при умножении числителя и знаменателя на Uu Отсюда видно, что при передаче данной мощности потери напряжения в проводах обратно пропорциональны квадрату напряжения источника энергии.
-
Как видно из последнего выражения, с увеличением длины провода для передачи требуемой мощности при заданных потерях и приемлемом сечении проводов необходимо повышать напряжение Uu. источника энергии. При этом относительная величина потери напряжения уменьшается обратно пропорционально квадрату напряжения. Поэтому передача больших мощностей на дальнее расстояние осуществляется по линиям высокого напряжения.
-
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПРИ ПОМОЩИ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА
Существует ряд методов расчета токов в разветвленной цепи. Все эти методы исследования цепей основаны на применении закона Ома и двух законов Г.Р. Кирхгофа, немецкого физика, основоположника спектрального анализа (1824-1887). Первый закон Кирхгофа выражает факт непрерывности тока: ни в одной точке цепи не происходит накопление электрических зарядов. Таким образом, в узле электрической цепи А, где сходятся п проводов, не может быть накопления зарядов, поэтому сумма зарядов, притекающих в любой момент времени к узлу А, равна сумме зарядов, уходящих от узла.
-
-
Алгебраическая сумма токов в проводах, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю, т.е. математически это можно выразить следующей записью: где п - общее количество проводов, сходящихся в узле электрической цепи; к - порядковый номер провода. При этом токи, текущие к узлу цепи, следует брать с одним знаком (обычно считают их положительными), а токи, текущие от узла, с другим знаком (отрицательными).
-
Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой электрической цепи. Этот закон в математической форме выражает то, вытекающее из закона сохранения энергии положение, когда изменение потенциала при обходе замкнутого контура равно нулю, то есть устанавливается математическая связь между ЭДС, действующей в замкнутой электрической цепи, и произведениями токов в ветвях цепи на сопротивление ветвей.
-
ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА
-
В рассматриваемой на рисунке замкнутой электрической цепи ABCD действуют три ЭДС : E1, Е2 и Е4 , причем две из них Е1и Е2 действуют согласно в одном направлении (по ходу контура), а третья Е4 - навстречу. Следовательно, выбрав направление обхода контура ABCDпо часовой стрелке (показано внутри контура) и считая ЭДС, действующие в направлении обхода, положительными, а ЭДС, действующие в обратном направлении, - отрицательными, определим результирующую ЭДС: Е = Е1 + Е2 - Е4. Результирующая ЭДС Е будет затрачиваться на проведение тока в ветвях цепи и в соответствии с законом Ома будет равна сумме произведений токов на сопротивления ветвей:
-
В правой части равенства произведения токов I3и I4на соответствующие сопротивления взяты со знаком минус, т.к. эти токи протекают против принятого направления обхода контура. Для цепи, имеющей п ветвей, получим равенство: математически выражающее второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура.
-
ЦЕПЬ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТОРОВ
-
Для электрической цепи с последовательным соединением резисторов по второму закону Кирхгофа можно записать выражение: Uu=U1+ U2+ U3+ U4=Ir1+ Ir2+ Ir3+ Ir4=I(r1+ r2+ r3+ r4)=IRэпосл или Eu=I(Rэпосл+rв) . Отсюда следует, что при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений этих резисторов:
-
ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ РЕЗИСТОРОВ
-
Для электрической цепи с параллельным соединением резисторов напряжение на их зажимах одинаково: Uu= U1= U2= U3= U4=Ir1= Ir2= Ir3= Ir4=U . В соответствии с первым законом Кирхгофа ток цепи I равен сумме токов параллельных ветвей: I=I1+ I2+ I3+ I4. Применяя закон Ома для каждой ветви (участка цепи) получим: где - общая (эквивалентная) проводимостьцепипри параллельном соединении резисторов.
-
Отсюда следует, что при параллельном соединении резисторов общая проводимость цепи равна сумме проводимостей параллельных ветвей:
-
Из выражения для токов в каждой параллельной ветви получим: ………………………………………………………;
-
Отсюда можно заметить, что если дан общий токI, то отдельные токи в ветвях I1, I2,…, Inраспределяются пропорционально проводимостям резисторов. Мощность цепи с параллельным соединением резисторов складывается из мощностей отдельных ветвей:
-
Смешанное соединение резисторов в цепи постоянного тока
-
В начале вычислим сопротивление участка а - б с параллельным соединением резисторов: Общее сопротивление цепи определится как эквивалентное сопротивление при последовательном соединении резисторов: Из данного примера для смешанного соединения резисторов в простой электрической цепи следует метод определения эквивалентного сопротивления в общем случае при сколь угодно большом числе участков цепи.
-
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ
-
Распределение тока нагрузки I между параллельно соединенными источниками зависит от их ЭДС и внутренних сопротивлений. Напряжение Uна зажимах а, б связано с ЭДС и внутренними сопротивлениями источников следующими соотношениями: Отсюда или Причем по первому закону Кирхгофа или . Подставляя выражение для I2 в предыдущее уравнение, получим
-
Отсюда: или Аналогично для тока I2 получим:
-
Первый член правых частей выражений для I2 и I1 представляет собой ток соответствующего источника при отсутствии нагрузки (если I=0, то r→ ∞, что может быть при разрыве цепи нагрузки), при этом если E1 = Е2, токи источников равны нулю, т.е. I1 = I2 = 0. Второй член правой части этих выражений определяет по существу распределение тока I между двумя параллельно включенными сопротивлениями rв1и rв2,при этом если E1=E2=0 (при условии 0 ≤ r ≤ ∞), ток нагрузки распределяется между источниками энергии обратно пропорционально их внутренним сопротивлениям, а если E1 ≠ E2, то в цепи источников появляется ещё уравнительный ток, выражаемый первым членом правой части рассматриваемых формул:
-
Направление уравнительных токов зависит от знака числителя в формулах, определяющих их количественное значение, т.е. численного соотношения Е1 и Е2. Рассмотрим применение законов Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Общей задачей расчета является определение токов во всех участках сложной цепи (т.е. цепи, имеющей сложную конфигурацию) при заданных параметрах элементов цепи и известной её конфигурации. Рассматриваемый метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи. При решении этих уравнений находятся неизвестные токи ветвей.
-
Общее правило составления уравнений: общее число уравнений исходя из правил их решения должно быть равно числу неизвестных токов (определяемых значений токов в ветвях цепи), т.е. числу ветвей цепи; число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, равно числу узлов цепи, уменьшенному на единицу; недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, При этом следует начинать с наиболее простого контура и следить за тем, чтобы каждый следующий контур, для которого пишется уравнение, содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в уже обойденные контуры.
-
Практически число уравнений, которые можно составить по первому и второму законам Кирхгофа, всегда больше числа неизвестных токов, равного числу ветвей цепи. Поэтому желательно заранее составить рациональную систему уравнений, то есть установить, сколько уравнений следует написать по первому и сколько по второму законам Кирхгофа для получения системы уравнений, имеющей определенные решения.
-
СЛОЖНАЯ ЦЕПЬ
-
Будем считать неизвестными значения ЭДС Е1, Е2, Е3, внутренние сопротивления источников энергии rв1, rв2, rв3, а также сопротивления ветвей r1, r2, r3. Следует определить токи в трех ветвях цепи I1, I2, I3. Предварительно зададимся направлением токов в ветвях (на рисунке токи I1 и I2 направлены вверх к узлу А, а ток I3 - к узлу В). Если выбранные (предположительно) направления токов окажутся противоположными действительным (реальным), то при решении уравнений получим значение этих токов со знаком минус. Это будет свидетельствовать о том, что соответствующие токи текут в обратных направлениях.
-
Так как цепь имеет два узла (А и В ), то по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение (число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов в цепи). Это правило вытекает из следующих тривиальных рассуждений: каждая ветвь цепи всегда соединяет два узла, и ее ток является для одного из этих узлов положительным (направленным к узлу, например, токи I1 и I2 к узлу А), для другого отрицательным (те же токи, направленные от узла В). Поэтому если написать по первому закону Кирхгофа уравнения для всех узлов цепи (в нашем случае для узлов А и В), то каждый ток войдет в эти уравнения дважды: один раз как положительный, а другой как отрицательный, а сумма левых частей полученных уравнений будет тождественно равна нулю. Отсюда выходит, что уравнения для узлов А и В совершенно одинаковы:
-
I1 + I2 - I3=0 – для узла А или - I1 - I2 + I3=0 – для узла B. Первую запись уравнения (для узла А) берем за основу и включаем в составляемую систему (хотя в принципе безразлично, какая запись уравнения войдет в систему). Для определения трех неизвестных токов надо составить еще два уравнения по второму закону Кирхгофа. Эти оставшиеся два уравнения можно составить для любых двух контуров из имеющихся грех для данной конфигурации цепи. Целесообразнее написать два уравнения для контуров 1 и 2.
-
Казалось бы, что третье уравнение можно составить и для контура 3, (хотя оно и лишнее, так как для определения трех неизвестных уже есть достаточное количество уравнений), но это третье уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа явилось бы следствием первых двух, то есть для данной цепи можно составить только два линейно- независимых уравнения, так как в третьем контуре уже нет ветвей, встречающихся впервые при составлении уравнения по второму закону Кирхгофа. Выбрав положительное направление обхода этих контуров (по часовой стрелке), составим уравнения:
-
Совместное решение уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, дает возможность определить токи I1, I2, I3. Для упрощения записи при проведении расчетов примем укороченную запись выражений, входящих в эти уравнения, например: В результате получим систему
-
Решив полученную систему уравнений путем несложных математических преобразований, можно найти все три тока в ветвях цепи:
-
Метод расчета цепи, состоящей, как показано на примере, только из трех ветвей, путем решения уравнений по законам Кирхгофа является достаточно трудоемким. Усложнение конфигурации цепи значительно усложняет и ее расчет. Так, например, для цепи, имеющей пятнадцать ветвей, требуется составить и решить систему из 15 уравнений. Поэтому непосредственное применение законов Кирхгофа для определения токов в сложных разветвленных цепях требует совместного решения значительного числа уравнений, что естественно связано с большой затратой времени при ручном расчете (т.е. без применения вычислительной техники с соответствующим программным обеспечением). Существует, однако, ряд методов, в основе которых лежат те же законы Кирхгофа, но они позволяют избежать решения системы уравнений или уменьшить число уравнений, подлежащих решению и, таким образом, значительно упростить процесс расчета сложных электрических цепей. К таким методам относятся наиболее распространенные в практике вычислений методы контурных токов, наложения и узловых напряжений.
-
МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Этот метод значительно упрощает расчеты сложных цепей, так как позволяет сократить число уравнений. В соответствии с ним используется только второй закон Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи.
-
Общие правила расчета:
выбираются независимые контуры; в каждом контуре предполагается наличие контурного тока, положительное направление которого указывается стрелкой произвольно. Контурный ток - это ток, нереальный, задаваемый исключительно в целях упрощения расчетов; составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа для каждого контура, и определяются контурные токи; реальные токи находятся как алгебраическая сумма контурных токов в данной ветви.
-
На рисунке показана сложная система, имеющая шесть ветвей (обозначим их условно индексами a, в, aв, ac, вc, c), в которых необходимо определить токи Ia, Iв, Iaв, Iac, Iвc, Ic.
-
Искомые токи в ветвях цепи должны удовлетворять системе уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Число узлов в схеме равно четырем (А, В, С и D), поэтому по первому закону Кирхгофа можно было бы написать три уравнения. Но при расчете сложных цепей методом контурных токов этого не делается, а сразу составляются оставшиеся три уравнения по второму закону Кирхгофа.
-
Если каждому контуру (2 1 3) на рисунке приписывать некоторый идеализированный ток произвольно выбранного направления (I1, I2, I3), называемый контурным током, то действительный ток в любом общем элементе, например резисторе, двух соединительных контуров можно рассматривать как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов. Следовательно, исходя из принципа наложения будем считать, что в каждом контуре протекают контурные (идеализированные) токи I1, I2, I3, из которых образуются действительные (реальные) токи ветвей Ia, Iв, Iaв, Iac, Iвc, Ic.
-
Составим уравнение для первого контура, обходя его в направлении собственного контурного тока и учитывая падение напряжения от всех контурных токов (естественно, смежных контуров), протекающих в резисторах первого контура. От тока I1 будем иметь суммарное падение напряжения, равное I1(ra+ raв+ rac). По резистору rав проходит еще и контурный ток I2 смежного контура 2 в направлении, совпадающем с обходом контура 1, создающий падение напряженияI2raв.По резистору rаспротекает ток I3также в направлении обхода контура 1. Падение напряжения от этого тока равно I3rac.Поэтому уравнениедляпервогоконтура,составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид: I1(ra + raв+ rac) + I2raв+ I3rac = Ea – Eac. В правой части уравнения получаем Ea – Eac, т.к.Eaсовпадает с направлением обхода контура, аEac имеет противоположное направление.
-
Аналогично составим уравнение для второго и третьего контуров: I1raв+ I2(raв+ rвc+ rв) – I3rвc= Eв; I1rac - I2rвc+ I3(rc+ rвc+ rac) = Ec + Eac. Члены уравнений I3rвcиI2rвcвзяты с отрицательными знаками, так как ток I3 в резистореrвcпротивоположен по направлению обхода второго контура, а ток I2 в резистореrвcпротивоположен по направлению обхода третьего контура. Сумму всех сопротивлений какого- либо контура условимся называть собственным сопротивлением этого контура и обозначим двоичным индексом номера контура, например, r11 - собственное сопротивление первого контура, r22 - собственное сопротивление второго контура и т.д.
-
В нашем случае собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров запишутся соответственно как: r11 = ra+ raв+ rac; r22 = rв+ raв+ rвc; r33 = rc+ rac+ rвc; или в общем случае rkk=
-
Сопротивления резисторов, которые одновременно входят в состав двух контуров, будем называть взаимными и считать их положительными, когда направления контурных токов в них совпадают, и отрицательными, когда направления токов противоположны, в частности: r12 = r21 = raв- взаимное сопротивление 1...2 контуров. В резисторе rab направления токов I1 и I2 совпадают, поэтому значение взаимного сопротивления raвпишем со знаком плюс и считаем его положительным; r23 = r32 = -rвc- взаимное сопротивление 2...3 контуров. Токи I2 и I3 в резисторе rвcнаправлены противоположно, соответственно значение взаимного сопротивления rвcберется со знаком минус и считается отрицательным; r13 = r31 = rac - взаимное сопротивление 1…3 контуров. Токи I1и I3 в резисторе rac направлены одинаково, и его можно считать положительным. В общем случае можно написать rmi= rim,что выражает очевидные равенства взаимных сопротивлений резисторов контуров т и i.
-
Алгебраическую сумму всех ЭДС, действующих в каком-либо контуре, будем называть контурной ЭДС; Е1 = Еа + Еас - контурная ЭДС первого контура. Е2 = Ев- контурная ЭДС второго контура. Е3 = Еа- Еас - контурная ЭДС третьего контура. Или в общем виде для k-го контура Ek= В результате система уравнений для схемы на рисунке примет вид: I1r11 + I2r12 + I3r13 = E1; I1r21 + I2r22 + I3r23 = E2; I1r31 + I2r32 + I3r33 = E3;
-
Для сложной цепи из п контуров может быть написана в общем виде система из п уравнений: I1r11 + I2r12 + I3r13 +…+ Ikr1k +…+Inr1n = E1; I1r21 + I2r22 + I3r23 +…+ Ikr2k +…+Inr2n = E2; ……………………………………………………; I1rn1 + I2rn2 + I3rn3 +…+ Ikrnk +…+Inrnn = En; Полученная система уравнений является математической формулировкой метода контурных токов. Так как число контурных токов определяется количеством контуров и всегда меньше числа токов в ветвях, то применение метода контурных токов уменьшает число неизвестных величин в решаемой системе уравнений, что в значительной степени упрощает анализ сложных электрических цепей.
-
Приведенную систему уравнений можно переписать в более удобном виде: j=1,n; i=1,n или в матричных обозначениях RI = E: R = [rij] - матрица сопротивлений (квадратная матрица, т.к. число строк и столбцов равно n, т.е. n x n); I = [Ij] - матрица токов [n x l]; E = [Ei] - матрица ЭДС [n x l].
-
Решая эти уравнения относительно любого контурного тока Ikизвестными математическими методами, получим: Ik = E1 + E2 +…+Ek + En; где ∆ - главный определитель матрицы сопротивлений; ∆mk- алгебраическое дополнение, получаемое при вычеркивании в главном определителе т-й строки и к-гостолбца и умножении полученного определителя (минора) на (-1)m+k, ∆mk= (-1)m+kMmk, где Mmk - минор элемента rmk, т.е. определитель квадратной матрицы, полученной из Rвычеркиванием т-й строки и к-гостолбца.
-
-
Запишем решение системы уравнений для нашего частного примера на рисунке в общем виде: Ik = E1 + E2 + E3; r11 r12 r13 ∆ = r21 r22 r23 = r11r22r33 + r21r32r13 + r31r12r23 – r11r32r23 – r21r12r33 – r31r22r12 r31r32r33 = r11∆11 + r21∆21 + r31∆31. Алгебраические дополнения определителя: ∆11= r22r23 = r22r33 – r23r32;∆21= ∆12 = -(r12r33 – r23r13); r32 r33 ∆31= ∆13 = r12r23 – r22r13.
-
Вычислив значение контурных токов I1 = E1 + E2 + E3; I2 = E1 + E2 + E3; I3 = E1 + E2 + E3; определим действительные значения токов во всех ветвях. Ток в каком-либо резисторе равен алгебраической сумме контурных токов. При этом положительным считается такой контурный ток, который в данном резисторесовпадает по направлению с результирующим током. Так, для нашего примера имеем: Ia= I1; Iaв= I1 + I2; Iв= I2; Iac= -I1 - I3; Iвc = I2 - I3; Ic = I3.
-
Метод наложения
-
Таким образом, это уравнение показывает, что ток в любом контуре, а значит, и в любой ветви получается от наложения частных токов, возникающих в этой ветви под независимым действием каждой ЭДС электрической цепи. Общие правила расчета по методу наложения в цепи с несколькими источниками энергии: расчет сложной цепи заменяется расчетом нескольких простых цепей с одним источником энергии в каждой; поочередно определяются частичные токи, создаваемые действием каждой ЭДС в отдельности (остальные ЭДС всякий раз полагаются равными нулю); алгебраически складываются (накладываются) частичные токи, создаваемые в одних и тех же ветвях отдельными ЭДС.
-
Так определяются результирующие токи (действительные токи в каждой ветви), создаваемые совместным действием всех ЭДС. Рассмотрим расчет по методу наложения на конкретном примере электрической цепи, содержащей два источника энергии.
-
Вначале исключим из рассмотрения ЭДС Е2, т.е. определим токи в ветвях цепи при наличии только ЭДС E1, ( Е2 = 0). Это дает возможность рассматривать цепь как схему со смешанным соединением приемников и определить все частичные токи I’1, I’2, I’3, создаваемые действием одной только ЭДС Е1.
-
-
-
Действительные токи в ветвях I1, I2 и I3 определяются какалгебраические суммы частичных токов в данной ветви (I1’ и I1’’, I2’, и I2’’, I3’и I3’’),вызываемых каждой из ЭДС в отдельности, например, I1 = I1’ – I1’’ Здесь ток I1’’ вычитается из токаI1’ потому что направление тока I1’’ обратно направлению тока I1’, принятому за положительное. Аналогично определяются остальные токи: I2 = I2’ – I2’’; I3 = I3’ – I3’’.
-
Несмотря на свою простоту, метод наложения обладает некоторыми недостатками. Основной недостаток состоит в том, что частичные токи, имеющие в какой-либо ветви различные направления, часто оказываются по абсолютной величине в несколько раз больше результирующего тока, благодаря чему небольшая (в процентном выражении) возможная ошибка в определении частичных токов приводит к недопустимо большой ошибке в величине результирующего тока. Также при наличии большого числа источников и потребителей энергии метод наложения несколько громоздок и неудобен для расчета. Вместе с тем, в ряде случаев применение этого метода позволяет быстро определить ток в одной ветви, исследовать влияние изменения одной из ЭДС на изменение токов в ветвях и решать другие частные задачи.
-
Метод узловых напряжений
Общие правила расчета по этому методу состоят в следующем: определяются напряжения между узлами сложной электрической цепи путем решения уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа; полученные напряжения между узлами электрической цепи (узловые напряжения) алгебраически складываются с ЭДС каждой ветви цепи (если эти ЭДС имеются); по закону Ома для участка цепи вычисляются токи в каждой ветви электрической цепи, используя полученные узловые напряжения и ЭДС источников питания.
-
Для пояснения сказанного рассмотрим применение данного метода для электрической цепи с двумя узлами А и В. При наличии nветвей между точками А и В для вычисления токов в ветвях по методу контурных токов необходимо было бы составить n-1 уравнений. Применение же метода узловых напряжений позволит ограничиться составлением и решением только одного уравнения для определения напряжения UАВ между узлами А и В, Токи в ветвях находятся по известным параметрам в соответствии с законом Ома.
-
-
-
По первому закону Кирхгофа сумма всех токов n ветвей, сходящихся в узле А (или В), должна быть равна нулю: = (UAB - Ek)qk= 0 или UAB = Из этого равенства определяется искомое узловое напряжение где слагаемые Ekqk(E1q1, E2q2,..)берутсясо знаком плюс,если ЭДС действуетот А к В, и со знаком минус при обратном направлении ЭДС. Для полученного напряжения UAB определяются токи ветвей Ik(I1, I2,..) по приведенному выражению для тока Ikв k-й ветви.
-
Для цепи с тремя узлами можно составить два уравнения для определения напряжений между одним из узлов, принятым в качестве исходного, и двумя другими. Применение метода эффективно при наличии значительного числа ветвей, включенных между небольшим числом узлов электрической цепи. Решение уравнений для исследования достаточно сложных цепей методами контурных токов, наложения и узловых напряжений целесообразно производить при помощи ЭВМ по разработанным алгоритмам. Приведенные уравнения в этом случае служат для автоматизированного решения задач, то есть для разработки программного обеспечения ЭВМ. Подобный подход автоматизированного расчета сложных электрических цепей исключает ошибки вычислений и обеспечивает решение поставленных задач.
-
Нелинейная цепь постоянного тока
В состав электрической цепи часто входят такие элементы (как правило, потребители электрической энергии), для которых несправедлив закон Ома, то есть ток не пропорционален приложенному напряжению. Такие элементы цепи называются нелинейными. Нелинейные элементы, где сопротивления зависят от значения тока, нашли широкое применение в современной авиационной технике. Нелинейная цепь содержит один или несколько нелинейных элементов.
-
Линейные элементы (например, резисторы) имеют линейные вольт-амперные характеристики (ВАХ) и ампер-вольтные характеристики (АВХ), т.е. у них зависимость тока от напряжения I = U/rи обратная зависимость U= Irлинейная.
-
У нелинейных элементов эти зависимости и соответствующие характеристики нелинейные. Примером нелинейного элемента цепи может служить лампа накаливания, широко применяемая как осветительный прибор в бортовом и наземном электрооборудовании. Ее сопротивление не является постоянным, а сильно зависит от температуры накаляемой нити, и следовательно, от тока. Сопротивление нелинейного элемента может быть управляемым, т.е. зависеть от управляющего воздействия (например, сопротивление транзистора).
-
Характеристики нелинейных элементов могут быть симметричными, то есть знак функции изменяется при изменении знака аргумента, абсолютные же значения функции при изменении абсолютных значений аргумента остаются неизменными. В то же время характеристики других нелинейных элементов могут быть и несимметричными, т.е. при изменении знака аргумента кривая функции меняет свою конфигурацию.
-
На рисунке показана АВХ полупроводникового диода, обладающего свойством односторонней проводимости. Ток в проводящем направлении диода (участок 1 - прямой ток I+ ) во много раз превосходит ток в обратном (участок 2 - обратный ток I-), непроводящем направлении при тех же значениях напряжения U+и U-.
-
Рассмотрим АВХ и ВАХ основных нелинейных элементов. Диоды в электрических цепях применяются в основном для выпрямления переменного тока, ограничения напряжения в электронных схемах и других устройствах. Как видно из графика, ампер-вольтные характеристики полупроводниковых диодов несимметричные. При значительном увеличении прямого тока большой величины (участок 1 при I> I+) напряжения на зажимах диода мало изменятся (т.е. АВХ графически параллельна оси I). Обратный ток диода (участок 2 характеристики) мал при небольших напряжениях, а при значительных напряжениях (U>U-)резко возрастает, и диод теряет свойство односторонней проводимости.
-
В стабилизаторах напряжения используются свойства стабилитронов, напряжение на которых в определенном диапазоне изменения тока остается практически неизменным. На рисунке приведена ампер-вольтная характеристика полупроводникового стабилитрона.
-
Большое применение в авиационной технике получили управляемые нелинейные элементы, обладающие семейством вольт-амперных характеристик, каждая из них соответствует определенному значению параметра управляющего сигнала. На следующем рисунке показано семейство вольт- амперных характеристик терморезистора (термистора). На начальном участке характеристика практически линейна, после перегиба кривой сопротивление термистора уменьшается при возрастании тока.
-
Управляющим параметром для термистора является температура окружающей среды t°. Сопротивление термисторов при изменении температуры меняется в гораздо большей степени, чем у металлов. Они применяются в измерительных устройствах, где необходимо получить значения температуры, скорости истечения и температуры выхлопных газов и т.п.
-
Бареттеры применяются для стабилизации тока в устройствах стабилизации напряжения источников энергии и в др. Вольт-амперная характеристика бареттера приведена на рисунке.
-
В некоторых пределах изменения напряжения ∆U(от точки а до точки б характеристики) ток бареттера Iст практически остается стабильным. Конструктивно бареттеры выполняются в виде стеклянных баллонов, внутри которых помещена нить накала. Характеристики нелинейных элементов определяются экспериментально и дают исчерпывающую информацию о свойствах элементов для дальнейшего расчета цепей.
-
-
-
-
Нелинейные электрические цепи можно исследовать при помощи графических и аналитических методов. В графическом методе токи в цепях при заданных напряжениях или напряжения при заданных токах определяются из вольт-амперных и ампер-вольтных характеристик нелинейных элементов: строится результирующая ВАХ или АВХ для конкретной конфигурации цепи (последовательного, параллельного или смешанного соединения резисторов).
-
Аналитический способ исследования обычно заключается в решении задач в соответствии с законом Ома. По понятным причинам для нелинейных цепей в прямом смысле он неприемлем. В этом случае можно решать задачу для небольших приращений тока Iа в точке а характеристики. Таким образом, на небольшом отрезке нелинейной функции происходит аппроксимация зависимости в линейную, и расчет электрической цепи производится известными методами исследования электрических цепей. Но даже при такой кусочной аппроксимации задача исследования цепи становится трудной из-за большого объема вычислений и в ряде случаев разрешима только с помощью средств вычислительной техники.
-
Основные понятия о переходных процессах, законы коммутации и начальные условия
До сих пор рассматривались электрические цепи постоянного тока в установившемся режиме. Переходный процесс - это процесс перехода электрической цепи из одного режима в другой.
-
-
Классический метод исследования переходных процессов
-
-
Решение дифференциального уравнения состоит из частного решения и общего решения одного уравнения (при условии U = 0). Частное решение уравнения производится при условии i = const, где i - вынужденный ток (ток установившегося режима). Так как i = const, то = 0, и, следовательно, L = 0 = UL. Отсюда U= iyrи iy=U/r, iy =iч - установившийся ток в цепи Получим частное решение уравнения: iч =U/r Общее решение уравнения заключается в выполнении условия U=0; ir+ L =0
-
Решив это уравнение, получим свободный ток iсв, имеющий место в течение времени протекания процесса.Ток в цепи определится как: i= iч + iсв Оба тока iч и iсвв общем случае являются функциями времени: где А - произвольная постоянная,А= -U/r =-iч; τ - электромагнитная постоянная времени, τ = L/r, с, так как Отсюдаiсв= -U/r Окончательно получим:i= iч + iсв =
-
-
Свободный ток icвубывает по экспоненциальному закону, τ является мерой инерционности цепи: чем больше Lи чем меньше r, тем медленнее изменяется ток цепи, τ можно определить, проведя касательную к экспоненте; точка пересечения сiчдает величину τ. Угол наклона касательной рассчитывается по формуле: α=-r/L. Переходные процессы в электрических цепях называют экстремальными режимами работы, поэтому их необходимо учитывать при работе электрических установок и устройств бортового и наземного электрооборудования.
-
Основные понятия о переменном токе
-
График переменного тока
-
В области производства, передачи энергии переменный ток имеет по сравнению с постоянным два основных преимущества: возможность (при помощи трансформаторов) просто и экономично повышать и понижать напряжение, что имеет решающее значение для передачи энергии на большие расстояния; конструктивную простоту устройства электродвигателей и генераторов, что обусловливает их меньшую стоимость при более высокой эксплуатационной надежности. Источниками электрической энергии в цепях переменного тока являются генераторы переменного тока.
-
Синусоидальный ток
Переменная ЭДС генератора и переменный ток могут, как отмечалось ранее, иметь самую различную кривую своего измерения во времени, в значительной степени зависящую от конструктивных особенностей генератора переменного тока (например, формы полюсов, ротора). Таким образом, имеется возможность выбирать форму кривой переменной ЭДС генератора. В настоящее время все генераторы рассчитываются на получение синусоидальной кривой ЭДС. Выбор синусоидальной формы получаемых ЭДС и тока не случаен.
-
Синусоида-единственная периодическая функция, имеющая подобную себе производную. Техническое значение этого обстоятельства заключается в том, что во всех звеньях линейной электрической цепи форма кривых напряжений и токов получается одинаковой: синусоидальной или гармонической
-
Таким образом, преимущества синусоидальных токов - относительная простота расчетов цепей переменного тока и отсутствие нежелательных побочных явлений, имеющих место при несинусоидальных токах. Рассмотрим процесс индуктирования ЭДС при вращении витка 1 в однородном магнитном поле, когда ось вращения 2 перпендикулярна магнитным линиям. При этом в соответствии с законом электромагнитной индукции, открытым Фарадеем, вдоль проводников возбуждается электрическое поле, обусловливающее возникновение ЭДС и определяющееся при помощи закона Ленца.
-
-
При вращении проводника индуктированные ЭДС будут изменяться по значению и направлению. После поворота витка на 180° от исходного положения направление ЭДС изменяется на обратное. Конструктивно генератор переменного тока устроен так: между полюсами электромагнита или постоянного магнита 3 генератора переменного тока расположен цилиндрический ротор (якорь) 4, набранный из листов электротехнической стали. На якоре укреплена катушка 5, состоящая из определенного числа витков проволоки. Концы этой катушки соединены с контактными кольцами 6, которые вращаются вместе с якорем. С контактными кольцами связаны неподвижные контакты 7 - щетки (токосъемники), с помощью которых катушка (витки якоря) соединяются с внешней цепью (нагрузкой R).
-
Когда якорь вращается в магнитном поле с угловой скоростью ω, в активных сторонах катушки наводится ЭДС индукции E = 2BLVsinα , где B - магнитная индукция однородного магнитного поля, Т; L - длина активной части витка, м (левая или правая; суммарная активная часть витка равна 2L); V- окружная скорость витка, м/с; α - угол между направлением магнитных линий и вектором скорости V, угол α принято отсчитывать от положения витка, когда его плоскость перпендикулярна магнитным линиям и проводник находится слева.
-
При равномерном движении ротора с угловой частотой ω угол поворота витка равен α = ωt. Обозначим 2BLV = Em,тогда получим e= Emsinωt. Здесь e- мгновенное значение ЭДС, то есть соответствует текущим значениям ЭДС в различные моменты времени t; Ет- амплитудное значение ЭДС (амплитуда ЭДС), то есть наибольшее значение ЭДС за период Т (рис.2.2). Как мы уже говорили, частота переменных ЭДС и тока f = измеряется в единицах в секунду (1/с) и выражается в герцах (Гц). При частоте 50 Гц, например, в течение секунды происходит 50 полных циклов изменений ЭДС и тока (т.е. за одну секунду пятьдесят раз периодически меняется ЭДС с T = 0,02с).
-
Диапазон частот переменного тока, применяемых в технике, достаточно широк. Стандартной промышленной частотой в России и некоторых европейских странах является частота 50Гц, в США, Франции, Японии и других странах - 60 Гц. В бортовом электрооборудовании воздушных судов ГА оптимальным вариантом системы переменного тока считается система частотой 400 Гц. Звуковые частоты, применяемые в проводной связи, лежат в диапазоне 300...5000Гц. В радиотехнике используются самые большие частоты от 105Гц(100 кГц ) - длинные волны, до нескольких миллиардов герц — сантиметровые волны. Если замкнуть цепь витка, концы которого выведены к щеткам, на внешнее сопротивление R, то в цепи будет протекать переменный ток i, выражение для мгновенного значения которого будет подобным выражению для ЭДС: i= Imsinωt, где Im - амплитудное значение тока.
-
Учитывая, что отсчет времени t может начинаться в любой момент, когда ЭДС и ток не проходят через нуль, напишем ; где Ψiи Ψe - углы, зависящие от момента, принятого за начало отсчета времени (t = 0) для ЭДС и тока. В течение времени Т одного периода фаза ЭДС и тока изменится на угол 2π, следовательно, t = 2π, откуда Величина называется угловой частотой переменного тока и измеряется в радианах в секунду (рад/c).
-
В однородном магнитном поле угловая частота переменного тока ω равна угловой частоте вращения витка. Различные стадии синусоидального процесса (возрастание, убывание, переход через ноль или максимум) называются его фазами. Фазами ЭДС и тока являются аргументы синуса и таким образом, фаза процесса, описываемого синусоидальными функциями, в заданный момент tопределяется углом или ,стоящим под знаком синуса. Величины и , определяющиеся значением ЭДС и тока в начальный момент времени (t = 0), называются начальными фазами ЭДС и тока.
-
На рисунке изображены графики синусоидальных ЭДС, имеющих различные фазы.
-
-
-
Среднее значение переменного тока и напряжения
Среднее значение переменного напряжения, ЭДС и тока за период равно нулю, так как площади отрицательных и положительных полуволн синусоид равны по величине и различны по знаку.
-
-
Если ЭДС изменяется по синусоидальному закону e = Emsinωt, то можно установить простую зависимость между средним значением ЭДС Eср и его амплитудным значением Em: Так как ωT= 2π и ω = 2π/T, то Аналогично получим средние значения напряжения и тока: ;
-
Действующее значение переменного тока и напряжения
В электротехнике часто приходится иметь дело с тепловыми и механическими действиями переменного тока. Механическая сила взаимодействия двух проводников с одинаковыми токами и тепловое действие тока пропорциональны квадрату мгновенных значений тока. Для переменного тока тепловое или механическое действие определяется средним значением квадратов токов за период, называемым действующим значением тока. Иначе говоря, действующее значение переменного тока равняется постоянному току, выделяющему за время, равное периоду, в каком - либо проводнике такое же количество тепла, что и данный переменный ток.
-
Количество теплоты, выделяемое постоянным током в резисторе с активным сопротивлением r за промежуток времени T, равный периоду переменного тока, составляет: Количество теплоты, выделяемое переменным током в том же элементе за промежуток времени dt, равно: Количество теплоты, выделяемое за период T, равно:
-
Приравнивая количество теплоты, выделяемое постоянным и переменным током, получим: ; ; . Отсюда получаем действующее значение тока: Аналогично для напряжений и ЭДС переменного тока имеем:
-
Выражения для I, Uи Е определяют в общем виде действующие периодические токи, напряжения и ЭДС при любом законе их изменения. Для синусоидального переменного тока i = Imsin(ωt+Ψi)будем иметь: Второй интеграл равен нулю, и для действующего синусоидального тока имеем:
-
-
Векторные диаграммы переменного тока
Как было уже установлено, гармонически изменяющееся напряжение в общем виде определяется выражением: Зная амплитуду напряжения Umи аргумент синусоидальной функции можно с помощью несложных математических операций определить мгновенные значения напряжения u в любой момент времени. Наряду с аналитическим способом расчётаможно произвести расчет и графически, например, по временной диаграмме гармонической переменной. Однако при различных расчётах бывает удобнее пользоваться методом векторных диаграмм. Применение векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые расчёты.
-
Векторная диаграмма для исследования цепей переменного тока
-
Синусоидальный ток и напряжение можно представить как вектор, движущийся по окружности со скоростью ω. Мгновенные значения будут равны проекции этого вектора на ось Y. Суть данного метода заключается в следующем: если какая-нибудь точка движется с постоянной скоростью по окружности, то её проекция на любой диаметр (горизонтальный - воображаемая ось X или вертикальный - ось Y) совершает гармонические (синусоидальные) колебания. Радиус-вектор (в дальнейшем для краткости будем называть просто вектор) этой точки вращается с постоянной угловой скоростью ω.
-
-
Если этот вектор в известном, произвольно выбранном масштабе изображающий амплитуду напряжения Um(тока и ЭДС), занимает в начальный момент времени (t=0) горизонтальное положение, вправо от центра вращения 0 и вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω, то в произвольный момент времени t,когда он образует с горизонталью угол ωt,проекция его на вертикальную ось Y в том же масштабе покажет соответствующее мгновенное напряжение: Если же вектор mв начальный момент расположен не горизонтально, а образует с осью абсцисс X угол , то проекция на ось Y покажет мгновенное значение напряжения ,опережающее предыдущее на часть периода/2π .
-
Представим этот случай графически. Расположим под углом Ψuотносительно положительной оси абсцисс вектор , длина которого в заранее выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины.
-
Положительные углы (начальные фазы напряжения Ψu>0,а также только Ψi>0или ЭДС Ψe>0)принято откладывать в направлении против часовой стрелки, а отрицательные (Ψu0). Предположим, что вектор , начиная с момента времени t=0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω, равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени tвектор повернётся на угол ωt и будет расположен под углом ωt+Ψuпо отношению к оси абсцисс X. Проекция этого вектора на ось координат Y в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения u"=Um sin(ωt+ Ψu).
-
Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором. При начальной фазе, равной нулю (ΨU= 0), когда и'=0, вектор для t=0 расположен на оси абсцисс. При ΨUбольше или меньше 0 положение вектора для t=0 определяется знаком и величиной начальной фазы напряжения. Обычно при расчёте цепи используют действующие ЭДС, напряжения и токи (или амплитуды этих величин), а также их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядней. Такая диаграмма называется векторной.
-
Иными словами векторная диаграмма является совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС, напряжения и токи или их амплитудные значения. Углы сдвига по фазе φоткладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительны (например, φ=(Ψe– Ψi)>0), и в обратном направлении, если они отрицательны (φ0 и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока. Мгновенные значения ЭДС и тока в начальный момент отсчёта е0 и i0(для t(e)=0 и t(i)=0) определяются проекциями амплитудных значений их векторов и m на ось ординат Y в заданном масштабе расчётных параметров е и i.
-
Рассмотрим сложение ЭДС, токов и напряжений на векторной диаграмме. При исследовании цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи и напряжения одной и той же частоты.
-
Предположим, что требуется сложить две ЭДС: Такое сложение можно осуществить аналитически (путём математических вычислений) и графически с помощью векторных диаграмм. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е1 и е2 в определённом масштабе представлены векторами и .
-
Сложение ЭДС графически с помощью векторных диаграмм
-
При вращении этих векторов с одинаковой частотой вращения, равной угловой частоте переменного тока ω, взаимное расположение вращающихся векторов относительно друг друга остаётся неизменным. Сумма проекций вращающихся векторов и на ось ординат (e1 и е2) равна проекции на ту же ось Y вектора , равного геометрической сумме векторов и : Указанный способ сложения двух ЭДС универсален, его можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС, напряжений и токов одной частоты. При этом операцию вычитания можно представить в виде сложения, проведя элементарные преобразования. Например, e1-e2+e3=e1+(-e2)+e3, то есть уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком.
-
На практике векторные диаграммы, как правило, строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС, напряжений и токов, а для действующих величин Е, Uи I, пропорциональных амплитудным значениям Еm, Umи Im, так как все расчёты цепей выполняются для действующих значений ЭДС, напряжений и токов.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Применение законов Кирхгофа для цепей переменного тока
Как мы уже отмечали, законы Ома и Кирхгофа справедливы для мгновенных токов и напряжений. Из этого, а также из предыдущих рассуждений об адекватности закона Ома для комплексных напряжений и токов следует вывод о справедливости законов Кирхгофа для этих величин.
-
Сумма комплексных токов в проводах, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю: Сумма комплексных ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных падений напряжения в ветвях этого контура: В расчётах цепей переменного тока используются комплексные ЭДС, напряжения, токи и полные сопротивления (Ė, Ů, İ, Z).
-
Мощность цепи переменного тока
-
-
-
-
Для повышения нормального коэффициента мощности: догружаются двигатели переменного тока до номинальной мощности (или заменяются на двигатели меньшей мощности, если те недогружены); применяются синхронные двигатели (при большом возбуждении они вызывают в сети опережающий ток); включаются параллельно приёмникам конденсаторы.
-
Реактивная мощность имеет обратимый характер, т.к. в течение четверти периода она накапливается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора, а затем расходуется: ; для индуктивного элемента: для ёмкостного элемента: например, для цепи с последовательным соединением С и L: Q = – QС.
-
-
Построим треугольник мощностей где Ů = UejΨu- комплексное значение напряжения; İ=IejΨi- сопряжённое комплексное значение тока,
-
Понятие о многофазных системах
-
Многофазной системой называется совокупность нескольких электрических цепей, в которых действуют ЭДС одной и той же частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Если имеется m катушек, то получим m-фазную систему синусоидального тока. Наибольшее распространение получили трёхфазные (m=3) симметричные системы, дающие симметричные ЭДС и токи. При симметрии векторов ЭДС: Суммы мгновенных значений ЭДС и токов также равны нулю:
-
Схема трёхфазного генератора под нагрузкой.
На схеме изображены: А, В, С - начало фаз источника; X, У,Z- концы фаз источника; а, в, с - начало фаз приёмника; х, у, z - концы фаз приёмника.
-
-
Векторная диаграмма трехфазной цепи.
-
Соединение звездой
При таком соединении концы фаз соединены в одну нулевую точку (нейтраль) с координатами (0,0'), а начала выведены в линию 0-0'- нулевой, нейтральный провод.
-
-
Векторная диаграмма напряжений
-
-
Соединение треугольником
При таком соединении конец одной фазы соединен с началом другой.
-
-
Векторная диаграмма токов
-
-
Мощность симметричной трёхфазной цепи
Симметричная трёхфазная цепь - это цепь с симметричной (равномерной) нагрузкой, когда линейные токи Iа, Iв, Iс равны по величине и взаимно сдвинуты на равные углы 120°. При соединении треугольником, например, любой из фазных токов источника определяется как: Активная мощность трёхфазной цепи равна сумме активных мощностей её фаз, так как активная мощность всякой цепи равна сумме активных мощностей всех её участков. Для однофазной цепи мы получаем P = UIcosφ .
-
-
-
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.