Презентация на тему "Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм."

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Конъюнкция и дизъюнкция высказываний.Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.

  Работу выполнила: Студентка 1 курса группы 1НИЯ Филиппова Наталья

• 
  Слайд 2

  Конъюнкция высказываний

  Выясним смысл, который имеет в математике союз «и». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «и» составное высказывание. Полученное высказывание называют конъюнкцией и обозначают А∧B (читают: «А и В»). Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ∧ В, которое истинно, когда оба высказывание истины, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

• 
  Слайд 3
  

  Пример: найти значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», Решение: данное высказывание состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным. Данное определение конъюнкции не расходится с общепринятым пониманием союза «и». В обыденной речи конъюнкция также может выражаться, но не только с помощью союза «и», но и другими, например, «а», «но», «однако», «не только…, но и …». Пример: «Число 15 делится не только на 3, но и на 5».

• 
  Слайд 4

  Дизъюнкция высказываний.

  Выясним теперь, какой смысл имеет в математике союз «или». Пусть А и В – произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное высказывание. Полученное высказывание называют дизъюнкцией и обозначают А ∨ В (читают: «А или В»). Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ∨ В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

• 
  Слайд 5
  

  Пример: найти значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Решение: Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению, оно истинно. Из определения дизъюнкции следует, что в математике союз «или» используется как неразделительный, т.е. допускается возможность одновременного выполнения обоих условий. Так, высказывание «15 кратно 3 или 5», согласно определению, считается истинным, поскольку оба высказывания «15 кратно 3» и «15 кратно 5» истинны.

• 
  Слайд 6
  

  Образование составного высказывания с помощью логической связка называется логической операцией. Операция, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией; операция, соответствующая союзу «или», - дизъюнкцией. Заметим, что названия логический операция и их результаты (составные предложения) называются одинаково. Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний. Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1 ∧ А2 ∧ … ∧ ∧ А1которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания. Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А1 ∨ А2 ∨ … ∨∨ А1, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания.

• 
  Слайд 7

  Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

  В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами. Конъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения Х высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ– множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции ТА∧В, то, по всей видимости, ТА∧В = ТА⋂ ТВ. Докажем это равенство. 1. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а∈ ТА∧В. По опредлению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(а) ∧ В(а) также истинно. Это означает, что а ∈ ТА иа ∈ Тв. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ∈ ТА ⋂ ТВ. Таким образом, мы показали, что ТА∧В = ТА ⋂ ТВ. 2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА ⋂ ТВ. По определениюпересечения множеств это означает, что а ∈ ТАиа ∈ Тв, откуда получаем, что А(а) и В(а) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) ∧ В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) ∧ В(х), т.е. а ∈ ТА∧В. Таким образом, мы доказали, что ТА ⋂ ТВ⊂ ТА∧В. Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства ТА∧В = ТА ⋂ ТВ, что и требовалось доказать. Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

• 
  Слайд 8
  

  Приведем пример использования этого правила. Найдем множество истинности конъюнкции двух неравенств 2х> 10 и 4 + х 10 ∧ 4+ х 10, Т2 - множество решений неравенства 4+ х

• 
  Слайд 9
  

  Характеристические свойства элементов пресечения и объединения множеств А и В представляют собой соответственно конъюнкцию и дизъюнкцию характеристических свойств данных множеств: А ⋂ В = {х|х ∈ А ∧ х∈ В}, А ∪ В = {х| х ∈ А ∨ х∈ В}, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.