Презентация на тему "Основы индуктивного подхода"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Основы индуктивного подхода

  МЮИ Группа МОС. 2015. 09. Б+.с. З.В / СО-2015 Олой Анастасия

• 
  Слайд 2

  Метод математической индукции.

  Одним из самых важных методов математических доказательств является метод математической индукции. Подавляющее большинство формул, относящихся ко всем натуральным числам n, могут быть доказаны методом математической индукции (к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии Индукцией называют переход от частных утверждений к общим. Напротив, переход от общих утверждений к частным называется дедукцией.

• 
  Слайд 3
  

  Пример частного утверждения: 254 делится на 2 без остатка.Из этого частного утверждения можно сформулировать общие , причем как истинные, так и ложные. Более общее утверждение: все целые числа, оканчивающиеся четверкой, делятся на 2 без остатка, является истинным, все трехзначные числа делятся на 2 без остатка, является ложным. Индукция позволяет получить общие утверждения на основе известных или очевидных фактов,и установить их истинность (ложность)

  Рассмотрим числовую последовательность:  n – произвольное натуральное число. Тогда последовательность сумм первых n элементов этой последовательности будет следующая Исходя из этого факта, по индукции можно утверждать, что

• 
  Слайд 4
  

  В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции. Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если оно справедливо для n = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n= k следует его справедливость для n = k+1. То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа: во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1); во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k; в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

• 
  Слайд 5
  

  Вернемся к предыдущему примеру и докажем формулу Метод математической индукции предполагает доказательство в три пунктаПроверим равенство для n = 1. Имеем  Это равенство верное.Предположим, что  есть справедливая формула.Докажем, что  отталкиваясь от справедливого равенства из второго пункта.Сумма k+1 первых членов последовательности представляется как сумма первых k членов исходной числовой последовательности и k+1 ого члена:

• 
  Слайд 6
  

  Так как  из второго пункта, то Осталось привести дроби к общему знаменателю, привести подобные слагаемые, воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы и произвести сокращение: Доказано равенство третьего пункта. Выполнены все три шага метода математической индукции и тем самым доказано наше предположение о формуле