Презентация на тему "Векторы и операции над ними"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Векторы и операции над ними

  Выполнила: студентка 1 курса «Б» Гавриленко Елена

• 
  Слайд 2

  Определение

  Векторомназывается направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).

• 
  Слайд 3
  

  Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора. Обозначают: или Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Обозначают: Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными). Записывают: || - если векторы и коллинеарные, || - если векторы неколлинеарные. Векторы, лежащие на перпендикулярных прямых называются перпендикулярными (ортогональными) Векторы, лежащие в одной плоскости (или в параллельных плоскостях) называются компланарными.

• 
  Слайд 4
  

  Если векторы и - коллинеарные и их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала (для векторов лежащих на параллельных прямых) или один из лучей, АВ или CD, целиком содержит в себе другой (для векторов лежащих на одной прямой), то векторы называются сонаправленными.В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными. Записывают: ↑↑ - если векторы и сонаправленные, ↑↓ - если векторы противоположно направленные. ↑↑ ↑↑ ↑↓ ↑↓

• 
  Слайд 5

  Линейные операции над векторами

  К линейным операциям относятся операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Сложение векторов Суммой векторов и называется вектор = + с началом в точке A и концом в точке С (правило треугольника) (рис.1). Вычитание векторов - = + (- ) Умножение вектора на число Произведением вектора и действительного числа а называется вектор а , модуль которого равен , направление совпадает с направлением вектора , при а>0, и противоположно направлению вектора при а

• 
  Слайд 6

  Свойства линейных операций над векторами

  1. + = + , 2. ( + )+ = +( + ) , 3. + = , 4. +(- )=0, 5. λ1(λ2 • )= λ •λ2 • , 6. (λ1+λ2) • = λ1 + λ2 , 7. λ( + )= λ + λ , 8. 1 • =

• 
  Слайд 7
  

  В линейной алгебре множество элементов произвольной природы, на котором определены операции сложения и умножения на число, а также справедливы утверждения (1-8), называют линейным пространством, а сами элементы - векторами (в широком смысле) этого пространства. Таким образом, введенные векторы, как направленные отрезки, образуют линейное пространство. Линейной комбинацией векторов называют вектор   где - коэффициенты линейной комбинации. Если - комбинация называется тривиальной, если - нетривиальной. Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.  

• 
  Слайд 8

  Свойства линейной зависимости

  Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима. Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов. Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны. Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны. Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

• 
  Слайд 9
  

  Размерность линейного пространстваЛинейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем: 1) существует n линейно независимых векторов;  2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.  Обозначения : n = dimV; . Базис пространства . Координаты вектора Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .. Обозначение: Для каждого вектора существуют числа такие что: Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

• 
  Слайд 10
  

  Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. Ортонормированным (декартовым) базисом называется базис из попарно ортогональных (попарно перпендикулярных) векторов, длина каждого их которых равна единице. Базисные векторы декартова базиса называют ортами и в трёхмерном пространстве обозначают . Орты с общим началом в точке 0 образуют декартову систему координат. Если базисне ортонормирован, то система координат называется аффинной.

• 
  Слайд 11
  

  Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.

• 
  Слайд 12
  

  Координаты вектора ā V(2) (V(3)) в декартовом прямоугольном базисе i, j(i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

• 
  Слайд 13

  Нелинейные операции над векторами

  1. Скалярное произведение векторов 2. Векторное произведение векторов 3. Смешанное произведение векторов

• 
  Слайд 14
  

  Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

• 
  Слайд 15
  

  Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов   и любого числа λ справедливы равенства: причем (переместительный закон). (распределительный закон). (сочетательный закон).

• 
  Слайд 16
  

  Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор ,который обладает следующими свойствами: Его длина равна Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов , и – правая). Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

• 
  Слайд 17
  

  Свойства векторного произведения векторов векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору; векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору; координаты векторного произведения векторов и следующие: .

• 
  Слайд 18
  

  Смешанное произведение векторов Свойства смешанного произведения векторов Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е. Смешанное произведение также равно 1/6 объема образованной векторами треугольной пирамиды. Таким образом и .

• 
  Слайд 19
  

  Для любых векторов справедливо равенство: При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак. Смешанное произведение тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны. Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если . Если векторы заданы в координатной форме то можно показать, что их смешанное произведение находится по формуле: Т. о., смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.

• 
  Слайд 20