Презентация на тему "Плоскость и прямая в пространстве"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Плоскость и прямая в пространстве

  Лекция 10

• 
  Слайд 2
  

  Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

• 
  Слайд 3
  

  Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль

• 
  Слайд 4

  Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

  Пусть точки и лежат на плоскости . Тогда и, значит, их скалярное произведение равно нулю: это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

• 
  Слайд 5
  

  М

• 
  Слайд 6

  общее уравнение плоскости

  Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости

• 
  Слайд 7

  Частные случаи общего уравнения

  1. плоскость проходит через начало координат. 2. плоскость параллельна оси OX. 3. плоскость параллельна плоскости XOY. 4. Плоскость проходит через ось OX. 5. плоскость является плоскостью XOY. Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.

• 
  Слайд 8

  Уравнениев отрезках

  Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые Введя соответствующие обозначения , имеем .

• 
  Слайд 9
  
• 
  Слайд 10

  Уравнение плоскости, проходящей через три точки

  Пусть точки , , лежат на плоскости. Точка - текущая точка плоскости. П

• 
  Слайд 11

  Запишем координаты векторов:

  Эти векторы компланарны, т.к. лежат в одной плоскости. Следовательно их смешанное произведение равно нулю. Получаем уравнение:

• 
  Слайд 12

  Уравнение плоскости, проходящей через три точки

• 
  Слайд 13

  Взаимное расположение плоскостей

• 
  Слайд 14

  Угол между плоскостями

  Даны две плоскости и : Тогда:

• 
  Слайд 15

  Условие перпендикулярности плоскостей

  Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы

• 
  Слайд 16

  Условие параллельностиплоскостей

  Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны их нормальные векторы:

• 
  Слайд 17

  Расстояние от точки доплоскости

• 
  Слайд 18

  Пример

  Найти уравнение плоскости, проходящей через точки .

• 
  Слайд 19

  Решение

  В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек: Раскладывая определитель по элементам первой строки, имеем .

• 
  Слайд 20

  Прямая в пространстве.

• 
  Слайд 21
  

  M

• 
  Слайд 22

  Канонические уравнения прямой.

  -направляющий вектор прямой, -точка прямой. Тогда

• 
  Слайд 23

  Параметрические уравнения(вывести самостоятельно)

  t-переменный параметр.

• 
  Слайд 24

  Уравнение прямой, проходящейчерез две точки

  Точки и лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.

• 
  Слайд 25

  Общее уравнение прямой

  Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

• 
  Слайд 26
  

  каждое уравнение отдельно- это уравнение плоскости, которые пересекаются по прямой.

• 
  Слайд 27

  Пример

  Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система примет вид

• 
  Слайд 28
  

  Сложив уравнения, получим Тогда из второго уравнения Точка на прямой А(1; -2; 0).

• 
  Слайд 29
  

  Найдем направляющий вектор этой прямой: Получим канонические уравнения прямой

• 
  Слайд 30

  Взаимное расположение прямых в пространстве

• 
  Слайд 31

  Угол между прямыми

  Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами

• 
  Слайд 32

  Параллельность прямых

  Если то

• 
  Слайд 33

  Перпендикулярность прямых

  Если то

• 
  Слайд 34

  Взаимное расположение прямой и плоскости

• 
  Слайд 35

  Угол между прямой и плоскостью

  φ

• 
  Слайд 36
  

  Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость

• 
  Слайд 37

  Угол между прямой и плоскостью

  -нормаль плоскости П, -направляющий вектор прямой .

• 
  Слайд 38

  Условие параллельности прямой и плоскости

  Если то

• 
  Слайд 39

  Условие перпендикулярностипрямой и плоскости

  Если то

• 
  Слайд 40

  Точка пересечения прямой и плоскости

  Пусть требуется найти точку пересечения прямой и плоскости Запишем параметрические уравнения прямой и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.

• 
  Слайд 41
  

  Получим уравнение вида относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.

• 
  Слайд 42
  

  Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

• 
  Слайд 43

  Пример

  Найти точку пересечения прямой и плоскости

• 
  Слайд 44
  

  Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0. А В М

• 
  Слайд 45
  

  Показать, что прямая лежит в плоскости Решение. Используем параметрические уравнения прямой

• 
  Слайд 46
  

  Подставим в уравнение плоскости: - Получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.

• 
  Слайд 47

  Пример

  Найти уравнение перпендикуляра к плоскости , проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.