Содержание
-
Понятие об алгебре высказываний
-
Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке немецкий математик Готфрид Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить правила оперирования этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений.
-
Прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIXвека благодаря труду английского ученого Джорджа Буля. В трудах Дж. Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра – алгебра высказываний.
-
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
-
Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например: Х = Число 12345 кратно 3. Если высказывание А истинное, то будем писать «А=1». Если высказывание А ложно, то будем писать «А=0».
-
Примеры:
А = Солнце светит для всех В = Все ученики любят информатику С = Некоторые ученики любят информатику Д = А ты любишь информатику? Е = Посмотри в окно Ж = (х*х0 = 1 = 0 = 1 = 0 не является высказыванием не является высказыванием не является высказыванием И = Крокодилы летают очень низко высказывание
-
Последний пример показывает, что истинность или ложность высказывания необязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен.
-
Логические операции
Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных выражений.
-
Логическое отрицание (инверсия)
Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…»
-
Обозначение:
Обозначение инверсии: НЕ А, А, А Таблица истинности: Графическое изображение: А А
-
Примечание
Дважды или четырежды отрицающееся высказывание имеет то же самое значение истинности, что и исходное высказывание, трижды отрицающееся – что и отрицающееся один раз. Высказывание А = Неверно, что математика не царица наук имеет то же значение истинности, что и высказывание В = Математика – царица наук.
-
Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
-
Логическое умножение (конъюнкция)
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Пример. Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А = На автостоянке стоит «Мерседес» В = На автостоянке стоят «Жигули» (А конъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».
-
Обозначение: А И В; А^В; А & В; А*В; А and В. Таблица истинности: Графическое обозначение: А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе А&В – множество отличников, занимающихся спортом
-
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.
-
Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Пример. Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания: А = На автостоянке стоит «Мерседес» В = На автостоянке стоят «Жигули» (А дизъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».
-
Обозначение: А или В; Аor В; А V В; А I В; А + В. Таблица истинности: Графическое обозначение: А – множество отличников в классе В – множество спортсменов в классе АVВ – множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами
-
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
-
Логическое следование (импликация)
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…». Примеры. Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания. С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5 Х = Если я - Наполеон, то у кошки четыре ноги.
-
Обозначение: А => В; А В. Таблица истинности: А = На улице дождь. В = Асфальт мокрый.
-
Дано высказывание: Если коровы летают, то 2 +2 =5 Форма высказывания: Если А, то В. Где А = Коровы летают = 0 В = (2+2=5) = 0 На основании таблицы истинности определим значение высказывания: 0=>0 = 1, т.е. высказывание истинно.
-
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
-
Логическое равенство (эквивалентность)
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда…». Примеры эквивалентностей: Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900 Две прямы параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются. Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона) Голова умеет думать тогда и только тогда, когда язык отдыхает.
-
Обозначение: А В; А В, А В. Таблица истинности: А = Число делится на 3 без остатка. В = Сумма цифр числа делится нацело на 3. (А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3.
-
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.