Презентация на тему "Математическое моделирование"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 9.1 Основные понятия Математическая модель – приближенное описание какой-либо реальной системы, выраженное с помощью математического языка. языки естественные формальные математика … Математическое моделирование – метод исследования реальных систем с помощью построения и изучения их математических моделей.

• 
  Слайд 2
  

  История математического моделирования. Математическое моделирование использовалось давно (Вавилон, Египет), но широко – со времен Галилея. До Галилея в науке господствовал подход Аристотеля. Например: В основе всего лежат 4 элемента (сущности): Земля; Огонь; Воздух; Вода. Их свойства присущи всем вещам. Под действием притяжения (любовь) и отталкивания (ненависть) сущности могут комбинироваться. Такими комбинациями объясняются все явления в мире. (ср. с китайским Янь-Инь) А р и с т о т е л ь

• 
  Слайд 3
  

  Геоцентрическая модель мира Птолемея Клавдий Птолемей (Астроном, географ, геометр) Первая научная картина мироздания. Для хорошего согласования с экспериментом модель Птолемея была сильно усложнена – 77 кругов, эпициклы, деференты, … Господствовала в науке около 1.5 тыс. лет – до Коперника, который взялся ее упростить.

• 
  Слайд 4
  

  Дата рождения: 15 февраля 1564 Место рождения: Пиза, Герцогство Флоренция Дата смерти: 8 января 1642 (77 лет) Научная сфера: философ, физик, астроном, математик Начиная с XVII в. математическое моделирование занимает главенствующее положение в науке. Основоположники – Рене Декарт и Галилео Галилей. Галилео Галилей. При сотворении мира Бог вложил в него строгую математическую необходимость. Поэтому математическое знание не только истинно, но и священно. Методология Галилея. Камень падает вниз. Почему? – есть множество гипотез. Но не следует путаться в этих объяснениях, а проводить, где это возможно, количественные описания. Физические знания следует отделять от причинности!

• 
  Слайд 5
  

  h  h t  О пы т ы Г а л и л е я Начало математической модели

• 
  Слайд 6
  

  Простые формулы содержат много информации, но не объясняют причинной связи, не объясняют природы тяготения. Но именно формальное описание явлений оказалось самым плодотворным в науке. ГалилейИсаак Ньютон 1, 2, 3 законы Ньютона, закон всемирного тяготения, дифференциальное и интегральное исчисление, … Математическая модель. Описывает явление, но не объясняет его. Далее: электромагнитная теория Максвелла; теория относительности Энштейна; квантовая теория

• 
  Слайд 7
  

  9.2 Построение математических моделей реальная система 1 этап. Начинается с детального анализа исследуемого явления или объекта. По результатам предварительных оценок, экспериментов, интуитивных предположений все факторы, влияющие на реальную систему, делятся на две группы: существенные; несущественные. Реальная система 1 2 3 4 5 существенные факторы несущественные факторы факторы влияния учитываемые факторы Несущественными факторами пренебрегаем. Одновременно формулируются допущения, которые определяют границы применимости модели.

• 
  Слайд 8
  

  2 этап. Математическая модель записывается в математических терминах (на математическом языке). Обычно это алгебраические, дифференциальные или интегральные уравнения. Сколько можно построить математических моделей ? реальный объект модель 2 модель 1 модель 3 Много. Например, различной степени сложности. Проблема выбора модели: Должна быть достаточно полной, чтобы точнее описывать реальную систему. Должна быть достаточно простой, чтобы ее можно было решить с помощью имеющихся средств. Слишком простые и слишком сложные модели на практике бесполезны! ? модели Птолемея-Коперника

• 
  Слайд 9
  

  9.3 Этапы математического моделирования объект исследования (реаль. система) физическая модель (осн. факторы, допущения) математическая модель решение математической модели анализ результатов оценка адекватности да н е т комп.моделирование разработка численного алгоритма; компьютерная программа; отладка и тестирование программы; расчет на компьютере

• 
  Слайд 10
  

  Тестирование программы. Устраняются логические ошибки и ошибки численного метода. Для этого проводится расчет некоторых вариантов задачи, для которых имеются известные аналитические решения или надежные экспериментальные данные. Например, - аналитического решения нет Тестовые варианты: а) б) есть аналитические решения Оценка адекватности. Полученные результаты обрабатываются и анализируются. После этого делаются выводы: математическая модель удовлетворяет поставленным требованиям; модель требует уточнений – модифицируется (как правило, усложняется) и проводится новый цикл исследования.

• 
  Слайд 11
  

  9.4 Задача о развитии эпидемии Свиной Птичий грипп Постановка задачи В городе Б – Nжителей. В некоторый момент времени t0автобусом (поездом, самолетом, пешком,...) прибыло x0больных свиным гриппом. Построить модель распространения эпидемии и провести ее исследование. Основные допущения: иммунитета к болезни нет; летальных исходов нет; больные равномерно распределены среди здоровых; у всех болезнь протекает одинаково. больные N жителей x0 Математическая модель Введем обозначения: x– количество больных, t– время. Тогда количество вновь заболевших (скорость распространения эпидемии) будет .

• 
  Слайд 12
  

  Рассмотрим ? Можно утверждать, что для скорости распространения эпидемии справедливы: 1) 2)  (1) количество здоровых Здесь k – некоторый коэффициент (контактность) Введем параметр больных нет все больны (2) (задача Коши)

• 
  Слайд 13
  

  Безразмерные переменные: Задачу можно существенно упростить, если перейти к безразмерным переменным. Для этого введем некоторые характерные значения (масштабы) : t*- для времени, x *- для количества больных. В нашей задаче можно выбрать x *= N, t* = 1/kN. Тогда задача (2) в безразмерной форме будет (3) Здесь единственный параметр в начальный момент больных нет; все уже больны. предельные значения

• 
  Слайд 14
  

  Результаты численного моделирования 2. Влияние параметра  1.Тестирование 0 5 10 0 0.5 1 0 1 0.5  = 0.01 0.1  = 0   0 ,  = 1   1 Рассмотрим два частных случая: MC: Demo Мат Моделирование MC: Demo Мат Моделирование

• 
  Слайд 15
  

  3. Спад эпидемии Когда эпидемия идет на спад? время 0 5 10 0.5 1  асимптота Теоретически (свойство модели) эпидемия затухает на бесконечности. А как практически? Когда можно считать, что эпидемия пошла на спад?

• 
  Слайд 16
  

  0 5 10 0.5 1 точка перегиба max * * * Вариант №1. Задаем некоторое* и находим соответствующее Вариант №2. Находим точку перегиба и соответствующее * *