Презентация на тему "Формула включений-исключений. Беспорядки"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  § 4. Формула включений-исключений. Беспорядки. Теорема 1 (формула включений-исключений). Пусть А = А1А2…Аm – конечное множество. Тогда

• 
  Слайд 2
  

  Доказательство. Возьмем элемент аА. Вчисло, стоящееслева,этотэлемент «вносит» единицу. Подсчитаем, какое число соответствует элементу в правойчасти доказываемого равенства. Если мы докажем, что оно также равно 1, то теорема будет доказана. Пусть a входит в k множеств Тогда в первое слагаемое элемент a «вносит» k единиц, во второе слагаемое элемент а «вносит»

• 
  Слайд 3
  

  единиц, так как a входит во все пересечения такие, чтои содержат a; число таких пересечений – число 2-хэлементных подмножеств k-элементного множества, т.е. В l-ое слагаемое a«вносит»единиц (l k). Еслиl > k, то aв такие пересечения уже не входит, те есть «вносит» в эти суммы 0. Таким образом a «вносит» в правую сумму следующее количество единиц:

• 
  Слайд 4
  

  Чтобы доказать теорему, осталось доказать равенство Но это равенство равносильно следующему :

• 
  Слайд 5
  

  которое верно, так как является следствием бинома Ньютона при х = -1. Теорема доказана.

• 
  Слайд 6
  

  Наиболее часто формулу включений-исключений применяют в несколько иной формулировке. Пусть имеется N предметов, каждый из которых может обладать или не обладать одним из свойств Р1, Р2, …, Рm. Введем следующие обозначения: N(Pi) – количество предметов, которые обладают свойством Pi, - количество предметов, которые не обладают свойством Pi, причем не важно, обладают они или нет другими свойствами, - количество предметов, которые обладают свойствами и не обладают свойствами , и т. п.

• 
  Слайд 7
  

  Теорема 2.

• 
  Слайд 8
  

  Пример. Вычислить количество натуральных чисел, не превосходящих 100, которые не делятся на 2, 3, 5. Решение.N = 100. Обозначим через N(2) количество чисел из N, которые делятся на 2и далее аналогично. Тогда N(2) = 50, N(3) = 33, N(5) = 20, N(2,5) = N(10) = 10, N(2,3) = N(6) = 16, N(3,5) = N(15) = 6, N(2,3,5) = N(30) = 3. По формуле включений-исключений получаем: N= 100 – N(2) – N(3) – N(5) + N(2,3) + N(3,5) + N(2,5) – N(2,3,5) = 100 – 50 – 33 – 20 + 16 + 10 + 6 – 3 = 32.

• 
  Слайд 9
  

  Определение 3. Пусть дано множество А = {1, 2, 3, …, n}. Перестановка (к1, к2,…, кn)называется беспорядком, если кi ≠ i для любого i n, то есть каждое число не стоит на своем месте. Пример. Пусть А = {1, 2, 3, 4}. Выпишем все беспорядки: (2,1,4,3), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (3,1,4,2), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,3,1,2), (4,3,2,1).

• 
  Слайд 10
  

  Теорема 4. Число беспорядков n-элементного множества равно Доказательство. Введем обозначения: N(i) – количество перестановок, у которых на i-м месте стоит число i. Поскольку все остальные (n-1) числа могут стоять произвольно, то N(i) = (n-1)! (i = 1, 2, 3, …, n). ПустьN(i, j) – количество перестановок, в которых числа i и j стоят на i-м и j-м местах соответственно, N(i, j) = (n – 2)!

• 
  Слайд 11
  

  ПустьN(i1, i2, …, ik ) – количество перестановок, в которых числа i1, i2, …, ik стоят на местах с этими же номерами соответственно, N(i1, i2, …, ik ) = (n – k)!. Отметим так же, что количество чисел вида N(i1, i2, …, ik ) существует столько же, сколько существуетk-элементных подмножеств n-элементного множества, то есть . Обозначив через Dn – количество беспорядков множества А, по формуле включений – исключений получаем:

• 
  Слайд 12
  
• 
  Слайд 13
  

  Пример. Вернемся к предыдущему примеру. Непосредственным подсчетом мы выясним, что число беспорядков D4 = 9. Вычислим D4, используя полученную формулу: