Презентация на тему "Комбинаторика"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  «Число, положение и комбинаторика – тривзаимно пересекающиеся, но различныесферы мысли, к которым можноотнести все математические идеи»Джозеф Сильвестр (1844 г.)КОМБИНАТОРИКА

• 
  Слайд 2

  КОМБИНАТОРИКА

  - это раздел математики, в котором изучаются различного рода соединения элементов: перестановки, размещения, сочетания. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

• 
  Слайд 3
  
• 
  Слайд 4
  

  (1646 - 1716 ) Готфрид Вильгельм Лейбниц Лейбниц впервые ввёл термин «комбинаторика» и стал рассматривать комбинаторику как самостоятельный раздел математики.

• 
  Слайд 5

  Основное правило комбинаторики(правило умножения)

  Если некоторый выбор А можно осуществить m различными способами, а для каждого из этих способов другой выбор В можно осуществить n способами, то выбор А и В можно осуществить mn способами. Пример 1 К площади с неким памятником ведёт 6 улиц. По четырём из них разрешено двустороннее движение, а по двум одностороннее – к площади. Водитель собирается приехать на площадь, посмотреть на памятник, а затем покинуть площадь. Каким числом способов он может это сделать? 6 способов попасть на площадь и 4 способа уехать с площади. Значит, всего 6 х 4 = 24 способа.

• 
  Слайд 6
  

  Основное правило комбинаторикив общем виде Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до k –го действия, которое можно выполнить nk cпособами, то все k действий вместе могут быть выполнены n1x n2x n3x ….x nk Пример 2 Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 , если: а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза; б) цифры могут повторяться. а) Для первой цифры 5 вариантов – 1,2,3,4,5 (0 не может быть). Для второй цифры 5 вариантов, для третьей 4 варианта, для четвёртой 3 варианта. 5х5х4х3 = 300 чисел. б) 5 возможностей для первой цифры, 6 вариантов для других: 5х6х6х6 = 1080 чисел.

• 
  Слайд 7

  Сочетания

  Сочетание из n элементов по k- произвольное k-элементное подмножество n-элементного множества (комбинация). Порядок элементов в подмножестве не имеет значения. Число всех подмножеств множества из n элементов равно 2n. Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году. C – первая буква французского слова combinasion – сочетание. (1623-1662)

• 
  Слайд 8
  

  Термин «факториал» ввел в 1800 году французский математик АргобастЛуи Франсуа Антуан (1759-1803).

  N! n! (n-факториал) – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. n! = 1х2х3х…..х n 0!=1 1! = 1 Обозначение n! придумал чуть позже французский математик КристианКрамп (1760-1826) в 1808 году.

• 
  Слайд 9

  Сочетания

  Пример 3 Сколькими способами читатель может выбрать 3 книжки из 5? Число способов равно числу трёхэлементных подмножеств из 5 элементов: Пример 4 Сколькими способами из 7 судей можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

• 
  Слайд 10

  Перестановки

  Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n, где n – число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа. Перестановки – различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов. Термин “перестановка” употребил впервые Якоб Бернулли в книге «Искусство предположений». Р – первая буква французского слова permutation – перестановка. (1654-1705)

• 
  Слайд 11
  

  Пример 5 Перестановки множества А={a, b, c} из трёх элементов имеют вид: (a, b, c); (b, c, a); (c, a, b); (a, c, b); (b, a, c); (c, b, a), т. е. P3 = 3! = 1х2х3 = 6 перестановок. Пример 6 Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги? P4 = 4! = 1х2х3х4 = 24 способа.

• 
  Слайд 12

  Размещения

  Размещения из n элементов по k– упорядоченные k-элементные подмножества множества из n элементов. Различные размещения отличаются количеством элементов или их порядком. A – первая буква французского слова arrangement - размещение. Число всех k-элементных подмножеств множества А равно Каждое такое подмножество можно упорядочить k! способами. Значит, число размещений из n по k равно Пример 7 Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 мест?

• 
  Слайд 13

  Сочетания с повторениями

  Сочетаниями с повторениями называются такие сочетания, в которых некоторые элементы (или все) могут оказаться одинаковыми. Пример 8 Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеется 4 сорта пирожных?

• 
  Слайд 14

  Перестановки с повторениями

  Рассматривая перестановки ранее, мы предполагали, что nэлементов различны. Если среди n элементовесть n1элемент одного вида,n2 элементов другого вида и т.д., nkэлементов k-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число: Пример 9 Сколько различных «слов» можно составить из букв слова ДЕД? n=3, k=2, n1=2, n2=1

• 
  Слайд 15

  Размещения с повторениями

  Размещения изn элементов, в каждое из которых входит mэлементов, причём один и тот же элемент может повторяться в каждом размещении любое число раз, но не более m называются размещениями из n элементов по m с повторениями. Пример 10 Телефонные номера одной фирмы состоят только из цифр 2,3,5,7. Сколько всего может быть телефонных номеров, если каждый номер семизначный?