Презентация на тему "Математика"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ВГУЭС

  Кафедраматематики и моделирования

• 
  Слайд 2

  МАТЕМАТИКАдля специальности 070601.65 «Дизайн»

  Преподаватель Пивоварова Ирина Викторовна

• 
  Слайд 3
  

  Содержание курса 3 Векторная алгебра Прямая на плоскости Кривые второго порядка Полярная система координат Прямая и плоскость в пространстве Поверхности второго порядка

• 
  Слайд 4
  

  Тема 1. Векторная алгебра

• 
  Слайд 5
  

  Определение. Вектором называется направленный отрезок. Обозначение: (А – начало вектора, В – конец вектора).

• 
  Слайд 6
  

  Определение. Нулевым векторомназывается вектор, начало и конец которого совпадают. Обозначение:

• 
  Слайд 7
  

  Определение. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Обозначение:

• 
  Слайд 8
  

  Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: векторы сонаправлены векторы противоположно направлены

• 
  Слайд 9
  

  Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

• 
  Слайд 10
  

  Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. Обозначение:

• 
  Слайд 11
  

  Определение. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и имеют равные длины. Обозначение:

• 
  Слайд 12
  

  Любой вектор в пространстве можно представить в виде где – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей); – координаты вектора: или

• 
  Слайд 13
  

  Модуль вектора вычисляется по формуле Если даны точки и , то

• 
  Слайд 14
  

  Определение. Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

• 
  Слайд 15
  

  Сложение векторов по правилу треугольника по правилу параллелограмма

• 
  Слайд 16
  

  вычитание векторов умножение вектора на число

• 
  Слайд 17
  

  Если , то 1) 2) 3) 4)

• 
  Слайд 18
  

  Свойства линейных операций: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

• 
  Слайд 19
  

  Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

• 
  Слайд 20
  

  Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов:

• 
  Слайд 21
  

  Свойства скалярного произведения: 1) 2) 3) 4) , или , или 5)

• 
  Слайд 22
  

  Ключевые понятия 22 Вектор, модуль вектора, коллинеарные векторы, компланарные векторы, координаты вектора, скалярное произведение векторов.

• 
  Слайд 23
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Векторная алгебра» 23 Дайте определения вектора, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, компланарных векторов, равных векторов, противоположных векторов, скалярного произведения векторов. Как определяются сумма векторов, разность векторов, произведение вектора на число? Как выражается скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов? Сформулируйте условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.

• 
  Слайд 24
  

  Тема 2. Прямая на плоскости

• 
  Слайд 25
  

  Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: – вектор, перпендикулярный прямой (нормальный вектор прямой), – заданная точка на прямой.

• 
  Слайд 26
  

  Общее уравнение прямой: – вектор, перпендикулярный прямой (нормальный вектор прямой).

• 
  Слайд 27
  

  Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой): – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой), – заданная точка на прямой.

• 
  Слайд 28
  

  Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: – заданные точки на прямой.

• 
  Слайд 29
  

  Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении: – угловой коэффициент прямой ( – угол между прямой и осью Ox), – заданная точка на прямой.

• 
  Слайд 30
  

  Уравнение прямой с угловым коэффициентом: – угловой коэффициент прямой ( – угол между прямой и осью Ox), b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

• 
  Слайд 31
  

  Угол между двумя прямыми: – угловые коэффициенты прямых.

• 
  Слайд 32
  

  Условие параллельности двух прямых: Условие перпендикулярности двух прямых: где – угловые коэффициенты прямых.

• 
  Слайд 33
  

  Расстояние от точки до прямой :

• 
  Слайд 34
  

  Ключевые понятия 34 Прямая, параллельные прямые, перпендикулярные прямые, нормальный вектор прямой, направляющий вектор прямой, угловой коэффициент прямой.

• 
  Слайд 35
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Прямая на плоскости» 35 Различные виды уравнений прямой на плоскости. Какой вектор называется нормальным, направляющим вектором прямой? Как определяется угловой коэффициент прямой? В каком случае k = 0? k не существует? Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

• 
  Слайд 36
  

  Тема 3. Кривые второго порядка

• 
  Слайд 37
  

  Окружность Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

• 
  Слайд 38
  

  Уравнение окружности: R – радиус окружности, – центр окружности.

• 
  Слайд 39
  

  В частности, если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности: R – радиус окружности, – центр окружности.

• 
  Слайд 40
  

  График окружности

• 
  Слайд 41
  

  Эллипс Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

• 
  Слайд 42
  

  Каноническое уравнение эллипса: a , b – большая и малая полуоси эллипса, c – половина расстояния между фокусами,

• 
  Слайд 43
  

  График эллипса

• 
  Слайд 44
  

  Гипербола Определение. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

• 
  Слайд 45
  

  Каноническое уравнение гиперболы: a , b – действительная и мнимая полуоси гиперболы, c – половина расстояния между фокусами, – асимптоты гиперболы.

• 
  Слайд 46
  

  График гиперболы

• 
  Слайд 47
  

  Парабола Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

• 
  Слайд 48
  

  Каноническое уравнение параболы (соответствие вида и графика): p – параметр параболы, (p > 0).

• 
  Слайд 49
  

  Каноническое уравнение параболы (соответствие вида и графика): p – параметр параболы, (p > 0).

• 
  Слайд 50
  

  Ключевые понятия 50 Окружность, эллипс, гипербола, парабола, фокусы, директриса, центр линии, вершины кривых, большая и малая полуоси, действительная и мнимая полуоси.

• 
  Слайд 51
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Кривые второго порядка» 51 Определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Где располагаются фокусы эллипса, гиперболы, параболы? Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Графики окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Асимптоты гиперболы.

• 
  Слайд 52
  

  Тема 4. Полярная система координат

• 
  Слайд 53
  

  O – полюс, Op – полярная ось, r – полярный радиус точки M, – полярный угол точки M, r , – полярные координаты точки M.

• 
  Слайд 54
  

  Координатные линии: r = const – концентрические окружности с центром в полюсе

• 
  Слайд 55
  

  Координатные линии: – лучи, выходящие из полюса

• 
  Слайд 56
  

  Связь между полярными и декартовыми прямоугольными координатами точки

• 
  Слайд 57
  

  Ключевые понятия 57 Полюс, полярная ось, полярные координаты точки, полярный радиус, полярный угол, координатные линии

• 
  Слайд 58
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Полярная система координат» 58 Как определяются полярные координаты точки? Что такое полярный радиус, полярный угол точки? Какие линии определяют уравнения r = const,  = const ? Какие координаты имеет полюс? Как связаны декартовы прямоугольные и полярные координаты точки?

• 
  Слайд 59
  

  Тема 5. Прямая и плоскость в пространстве

• 
  Слайд 60
  

  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: – вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости), – заданная точка на плоскости.

• 
  Слайд 61
  

  Общее уравнение плоскости: – вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

• 
  Слайд 62
  

  Условие параллельности двух плоскостей: Условие перпендикулярности двух плоскостей:

• 
  Слайд 63
  

  Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение прямой): – вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой), – заданная точка на прямой.

• 
  Слайд 64
  

  Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: – заданные точки на прямой.

• 
  Слайд 65
  

  Условие параллельности двух прямых: Условие перпендикулярности двух прямых:

• 
  Слайд 66
  

  Условие параллельности прямой и плоскости: Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

• 
  Слайд 67
  

  Расстояние от точки до плоскости :

• 
  Слайд 68
  

  Ключевые понятия 68 Прямая, плоскость, параллельные прямые и плоскости, перпендикулярные прямые и плоскости, нормальный вектор плоскости, направляющий вектор прямой.

• 
  Слайд 69
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Прямая и плоскость в пространстве» 69 Различные виды уравнений прямой и плоскости в пространстве. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости, направляющим вектором прямой? Как определяется расстояние от точки до плоскости? Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости.

• 
  Слайд 70
  

  Тема 6. Поверхности второго порядка

• 
  Слайд 71
  

  Цилиндрические поверхности Определение. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой. Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой, - ее образующей.

• 
  Слайд 72
  

  Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости, то уравнение такой поверхности совпадает с уравнением направляющей L, то есть содержит только две переменных.

• 
  Слайд 73
  

  Уравнение эллиптического цилиндра: Направляющая этой поверхности – эллипс, лежащий в плоскости Оху, а образующие параллельны оси Оz .

• 
  Слайд 74
  

  Уравнение гиперболического цилиндра: Его направляющая – гипербола, лежащая в плоскости Оуz, образующие параллельны оси Ох.

• 
  Слайд 75
  

  Уравнение параболического цилиндра: Его направляющая – парабола, лежащая в плоскости Охz, образующие параллельны оси Оу.

• 
  Слайд 76
  

  Конические поверхности Определение. Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, - ее образующей.

• 
  Слайд 77
  

  В частности, если направляющей конической поверхности является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости z = c, а вершина находится в начале координат, то уравнение такой поверхности имеет вид:

• 
  Слайд 78
  

  Эллипсоид Определение. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

• 
  Слайд 79
  

  Однополостный гиперболоид Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

• 
  Слайд 80
  

  Двуполостный гиперболоид Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

• 
  Слайд 81
  

  Эллиптический параболоид Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

• 
  Слайд 82
  

  Гиперболический параболоид Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

• 
  Слайд 83
  

  Ключевые понятия 83 Цилиндрическая поверхность, коническая поверхность, эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды.

• 
  Слайд 84
  

  Вопросы для самопроверки по теме «Поверхности второго порядка» 84 Определения различных поверхностей второго порядка: цилиндрической поверхности, конической поверхности, эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов. Различные виды уравнений поверхностей второго порядка. Исследование формы поверхностей по их уравнениям.

• 
  Слайд 85
  

  Рекомендуемая литература 85 1. Голодная Н.Ю., Пивоварова И.В. Аналитическая геометрия. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2008. – 36 с. 2. Дубинина Л.Я., Никулина Л.С., Пивоварова И.В. Курс лекций по высшей математике. Часть 1. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2008. – 132 с.

• 
  Слайд 86
  

  86 Использование материалов презентации Использование данной презентации может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.