Содержание
-
Правильные многоугольники.
-
Определение правильного многоугольника.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все (внутренние) углы.
-
Формула для вычисления угла правильного n-угольника.
-
Окружность, описанная около правильного многоугольника.
Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.
-
Окружность, вписанная в правильный многоугольник.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
-
Пусть А1А 2 …Аn - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. Придоказательстве теоремы 1 мы выяснили, что ∆ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны. Поэтому окружностьс центром Ои радиусом ОН проходит через точки Н1 ,Н2, Нnи касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: влюбой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
-
Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О
-
А D B C O Дано: АВСD…Аn- правильный многоугольник. Доказать: около любого правильного многоугольника можно провести окружность, и притом только одну. Доказательство: Проведём биссектрисы ВО и СО равных углов АВС и ВСD. Они пересекутся, так как углы многоугольника выпуклые и каждый меньше 180⁰. Пусть точка их пересечения – О. Тогда, проведя отрезки ОА и OD, получим ΔВОА, ΔВОС и ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС по первому признаку равенства треугольников (ВО – общая, АВ=ВС, угол 2 = углу 3). Аналогично ΔВОС=ΔCOD. 1 2 3 4 Т.к. угол2 = углу 3 как половины равных углов, то ΔВОС - равнобедренный. Этому треугольнику равны ΔВОА и ΔCOD => они тоже равнобедренные, значит, ОА=ОВ=ОС=OD, т.е. точки А, В, С и D равноудалены от точки О и лежат на окружности (О;ОВ). Аналогично и другие вершины многоугольника лежат на этой же окружности.
-
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А, В, С. Т.к. через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника АВС...Аnможно описать только одну окружность. o A B C D
-
Следствия.
Следствие №1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие №2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
-
Формула для вычисления площади правильного многоугольника.
А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О Пусть S – площадь правильного n-угольника,a1– его сторона, Р – периметр, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем, что
-
Для этого, соединим центр данного многоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О А1 А2 А3 Аn Hn H1 H2 H3 О Следовательно,
-
Формула для вычисления стороны правильного многоугольника.
Выведем формулы: Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольном треугольнике А1Н1О O А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Следовательно,
-
Полагая в формуле n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
-
Задача №1 Дано: окружность(О; R) Построить правильный n- угольник. окружность разделим на n равных дуг. Для этого проведем радиусы ОА1, ОА2,…, ОАn этой окружности так, чтобы угол А1ОА2= угол А2ОА3 =…= угол Аn-1ОАn= угол АnОА1= 360°/n (на рисунке n=8). Если теперь провести отрезки А1А2, А2А3,…, Аn-1Аn, АnА1, то получим n- угольник А1А2…Аn. Треугольники А1ОА2, А2ОА3,…, АnОА1 равны друг другу, поэтому А1А2= А2А3=…= Аn-1Аn= АnА1. Отсюда следует, что А1А2…Аn- правильный n- угольник. Построение правильных многоугольников.
-
Задача №2 Дано: А1, А2...Аn - правильный n - угольник Построить правильный 2n-угольник Решение. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А1 и А2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса ОА1. Разделим дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 пополам Каждую из точек деления В1, В2, ..., Вn соединим отрезками с концами соответствующей дуги. Для построения точек В1, В2, ..., Вn можно воспользоваться серединным перпендикулярами к сторонам данного n - угольника.На рисунке таким способом построен правильный двенадцатиугольникА1 В1 А2 В2 ... А6 В6.
-
Задача №3 Дано: отрезок PQ. Построить правильный шестиугольник , сторона которого равна данному отрезку. Решение: Построим окружность (О;PQ) и отметим на ней произвольную точку А1 Не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А2, А3, А4, А5, А6 так, чтобы выполнялись равенства А1А2 =А2А3=А3А4=А4А5=А5А6. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А1А2А3А4А5А6. А6 А1 А2 А3 А4 А5
-
1.Любой правильный многоугольник является выпуклым 2.Любой выпуклый многоугольник является правильным 3.Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны 4.Треугольник является правильным, если все его углы равны 5.Любой равносторонний треугольник является правильным 6.Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным 7.Любой правильный четырехугольник является квадратом
-
правильно
-
неправильно
-
ПРЕЗЕНТАЦИЮ ВЫПОЛНИЛИ СЕЛЕЗНЁВА АЛЕКСАНДРА Милюкова александра Афонасенкоанастасия Ученицы 9а класса:
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.