Презентация на тему "Системы линейных уравнений"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Системы линейных уравнений

  Лекция 3

• 
  Слайд 2
  

  Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

• 
  Слайд 3
  

  Совокупность значений неизвестных где i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

• 
  Слайд 4
  

  Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

• 
  Слайд 5

  Правило Крамера решения систем линейных уравнений

• 
  Слайд 6
  

  Рассмотрим систему линейных уравнений Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера,

• 
  Слайд 7
  

  Составим определитель из коэффициентов при неизвестных Назовем его определителем системы. Если Δ≠0, то система совместна

• 
  Слайд 8
  

  Далее составим три вспомогательных определителя: , ,

• 
  Слайд 9
  

  Решение системы (10) находим по формулам: , , которые называют формулами Крамера

• 
  Слайд 10
  

  Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.

• 
  Слайд 11

  Пример

  Решить систему уравнений

• 
  Слайд 12

  Решение систем линейных уравнений средствами матричного исчисления

• 
  Слайд 13
  

  Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

• 
  Слайд 14
  

  Составим из коэффициентов при неизвестных матрицу и назовем ее матрицей системы.

• 
  Слайд 15
  

  Матрицу называют матрицей-столбцом из свободных членов, а матрицу - матрицей-столбцом из неизвестных.

• 
  Слайд 16
  

  Запишем систему уравнений в виде матричного уравнения . Умножая обе части этого уравнения слева на , получим: .

• 
  Слайд 17
  

  Таким образом, если матрица А системы невырожденная, т.е. существует , то решение системы линейных уравнений можно найти по формуле .

• 
  Слайд 18

  Замечание

  Метод матричного исчисления обычно применяют для решения систем трех уравнений с тремя неизвестными. Решать этим методом системы с большим числом уравнений и неизвестных неудобно, так как он приводит к громоздким выкладкам.

• 
  Слайд 19

  Пример

  Средствами матричного исчисления решить систему линейных уравнений

• 
  Слайд 20

  Ранг матрицы

  Рангом матрицы называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы. Ранг матрицы A обозначается: или .

• 
  Слайд 21

  Элементарные преобразования матрицы

  Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:

• 
  Слайд 22
  

  1.Умножение всех элементов строк на одно и то же число не равное 0. 2. Перестановка строк местами. 3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число.

• 
  Слайд 23
  

  4.Отбрасывание одной из двух одинаковых строк. 5.Отбрасывание нулевой строки

• 
  Слайд 24
  

  Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований, называют эквивалентными (~).

• 
  Слайд 25

  Пример

  С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

• 
  Слайд 26

  Понятие о линейной зависимости

  Рассмотрим матрицу Обозначим ее строки Очевидно . Это равенство понимается в смысле поэлементного сложения.

• 
  Слайд 27
  

  Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие не равные нулю одновременно числа , что . Если таких чисел подобрать нельзя, то строки матрицы линейно независимы.

• 
  Слайд 28
  

  Если одна из строк матрицы линейно выражается через другие строки, то строки этой матрицы между собой линейно зависимы.

• 
  Слайд 29

  Пример

  Строки такой матрицы линейно независимы (лнз), так как их невозможно выразить одну через другую:

• 
  Слайд 30

  Теорема о ранге матрицы

  Ранг матрицы равен максимальному числу линейно – независимых строк матрицы.

• 
  Слайд 31
  

  Теорема. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти rлинейно независимых строк ( столбцов), через которые линейно выражаются остальные строки ( столбцы) матрицы.

• 
  Слайд 32
  

  Теорема. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки ( столбцы) были линейно зависимы.