Презентация на тему "Системы линейных уравнений: методы решения"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 3. Тема: Системы линейных уравнений: методы решения. Цель: Рассмотреть понятие СЛАУ.

• 
  Слайд 2
  

  Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: Здесь x1, x2, , xn– неизвестные величины; aij(i = 1,2, … , m; j =1,2, … , n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс - номер уравнения, второй — номер неизвестной); b1, b2, …, bm– числа, называемые свободными членами.

• 
  Слайд 3
  

  Решениемсистемыбудем называть упорядоченный набор чисел x1, x2, …, xn, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство. Решитьсистему— значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая решение, называется совместной.

• 
  Слайд 4
  

  Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной). Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

• 
  Слайд 5
  

  Система, у которой все свободные члены равны нулю (b1 = b2 =…= bn= 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы. Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

• 
  Слайд 6
  

  Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентнымиили равносильными .

• 
  Слайд 7
  

  Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентнымили равносильным преобразованием.

• 
  Слайд 8

  Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса).

  Если система совместна, т. е. rang A = rang A* = (r),то r-уравнений СЛАУ линейно-независимы, а остальные (n - r) являются линейными комбинациями. Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные, придавая различные значения свободным неизвестным.

• 
  Слайд 9

  Общий метод решения однородной СЛАУ.

  Теорема: Если ранг матрицы однородной СЛАУ = r, то система имеет (m - r) линейно - независимых решений. Опр.: Совокупность решений, т. е. совокупность называется фундаментальной системой решений однородной СЛАУ.

• 
  Слайд 10

  Теорема об общем решении неоднородной СЛАУ.

  Теорема: Если фундаментальная система решений соотв-щей однор. СЛАУ; - некоторое решение неоднор. СЛАУ, то сумма - решение неоднор. СЛАУ. Полученное решение называется общим решением неоднородной СЛАУ.

• 
  Слайд 11

  Матричный способ решения СЛАУ.

  СЛАУ запишем в виде А х Х=В. Если det A≠0, то для матрицы А сущ. обратная А-1. Умножим обе части СЛАУ слева на А-1: А-1 х А х Х = А-1 х В; Е х Х = А-1 х В; Х = А-1 х В.

• 
  Слайд 12

  Метод Крамера.

  СЛАУ имеет вид А х Х=В при det A≠0 ; Х=А-1 х В. х1 A11 A12 … An1 b1 х2 = A21 A22 … An2 х b2 = хn A1n A2n … Ann n х n bn n х 1 A1n х b1 + A2n х b2 + Ann х bn A11 х b1 + A21 х b2 ……… A12 х b1 + A22 х b2 ………

• 
  Слайд 13
  

  1. 2. Числители - величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b1, b2 … bn, а остальные столбцы – это столбцы матрицы А и т.д. Если det A≠0, то СЛАУ имеет единственное решение и определяется формулами:

• 
  Слайд 14

  Элементарные преобразования матрицы

  1) перемена местами двух строк; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

• 
  Слайд 15
  

  Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместнаиопределенна.

• 
  Слайд 16
  

  Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной.

• 
  Слайд 17
  

  Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений.

• 
  Слайд 18
  

  Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базисными. Остальные неизвестные называются свободными.

• 
  Слайд 19
  

  Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением.

• 
  Слайд 20
  

  Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом системы.

• 
  Слайд 21
  

  Вопросы: 1)Когда система имеет единственное решение? 2)Какие элементарные преобразования матрицы можно делать при решении СЛАУ?