Презентация на тему "Теоремы сложения и умножения вероятностей"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 10. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: Рассмотреть события и действия над ними на языке теории множеств. Разобрать теоремы сложения и умножения вероятностей.

• 
  Слайд 2

  Терминология

  Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( ). Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.

• 
  Слайд 3

  Пример

  Опыт – получение оценки на экзамене. , А= { ω:ω – положительная оценка}

• 
  Слайд 4

  Основные определения

  Определение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С, состоящее в выполнении события А или события B . Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий. Определение 2:Произведением нескольких событий называется событие C, состоящее в совместном выполнении всех этих событий

• 
  Слайд 5
  

  Определение 3: События А1, А2,….,Аn – образуют полную группу, если А1 А2 … Аn=Ω Определение 4: События А1, А2,….,Аn несовместные, если Аj∩Ai =Ø (i≠j) Определение 5: Противоположным по отношению к событию Aназывается событие , состоящее в не появлении А, а значит дополняющее его до Ω

• 
  Слайд 6

  Пример

  Опыт – получение оценки на экзамене. , Событие А : получение пятерки Событие :? : получение 2, 3, 4.

• 
  Слайд 7

  Теорема сложения вероятностей

  Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(AB) = P(A) + P(B) (AB=Ø) Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что он выберет билет с четным номером?

• 
  Слайд 8
  

  В случае, когда события А и B совместны, вероятность их суммы выражается формулой: Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что студент вытянет билет, номер которого делится на 2 или на 3?

• 
  Слайд 9
  

  Теорема 2: (Ai Aj = Ø, i ≠ j), . Если A1, …,An – несовместны, образуют полную группу, то Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

• 
  Слайд 10

  Определения

  Определение 6: Условной вероятностью события Апри наличии B называется вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие B произошло. Обозначается P(A׀B). Определение 7: События А и B называются независимыми, если появление одного не меняет вероятности появления другого. P(A ׀ B) = P(A), P(B ׀ A)=P(B), для независимых событий.

• 
  Слайд 11

  Теорема умножения вероятностей

  Теорема 3: Для независимых событий: P(AB) = P(A)∙ P(B), P(∩Ai) = ∏P(Ai) Для произвольных событий P(AB) = P(A)∙ P(B ׀A), P(A1∩A2∩A3…∩An) = = P(A1)∙P(A2׀A1)∙P(A3 ׀ A1A2)…P(An ׀ A1…An-1)

• 
  Слайд 12

  Примеры:

  Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что студент ответит на 3 вопроса? Студент знает половину билетов какая вероятность того, что он ответит на три вопроса? Студент знает половину материала. Вопросы задаются случайным образом по всему курсу. Какова вероятность ответить на три вопроса?

• 
  Слайд 13

  Примеры

  Студент сдает три экзамена. Ai– сдан i экзамен. Представить в виде суммы, произведения следующие события: А – все три экзамена сданы В – все три экзамена не сданы С – первый и второй не сдан D – хотя бы один сдан E – хотя бы один не сдан G – только 3-ий сдан F – не менее двух сдано H – не более одного сдано

• 
  Слайд 14
  

  Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого 0,6, второго – 0,7. Записать указанные события и найти вероятность того, что a) попадут оба стрелка b) промахнуться оба c) попадет первый и не попадет второй стрелок d) попадет только один стрелок Решение: a) P(А1А2)=P(A1)*P(A2)=0,6*0,7=0,42 b) c) d)

• 
  Слайд 15
  

  Вопросы: Чему равно произведение противоположных событий? Описать множество элементарных событий Ω для последнего примера.