Презентация на тему "Теория бесконечных множеств"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ §1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. МножестваА иВназываютсяравномощными (обозначим: ), если существует биекция : АВ.

• 
  Слайд 2
  

  Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности. Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

• 
  Слайд 3
  

  Рефлексивность выполняется, так как отображение IA: AA осуществляет биекцию множества А на себя, то есть. Симметричность. Пусть , то есть существует биекция , тогда существует отображение , которое также является биекцией, то есть

• 
  Слайд 4
  

  Транзитивность. Пусть , , то есть существуют биекции и Тогда является биекцией, причем , то есть . Транзитивность, а вместе с ней и теорема доказаны.

• 
  Слайд 5
  

  Примеры.1)       Докажем, что то есть докажем, что любые два интервала равномощны, то есть, грубо говоря, состоят из одного и того же количества точек, независимо от их длины. Рассмотрим функцию y(0) = a, y(1) = b. Так как эта функция линейна и отлична от константы, то биективно отображает (0;1) на (a, b). Заметим, что по теореме 2 для любых открытых промежутков

• 
  Слайд 6
  

  2)       , то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом деле, отображение, определяемое функцией есть не что иное, как биекция между R и .

• 
  Слайд 7
  

  Определение 3. Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел, то есть =. Другими словами, множество Асчетно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами, то есть представить в виде: А=

• 
  Слайд 8
  

  Теорема 4. Любое подмножество счетного множестваиликонечноили счетно(т.е. не может содержать никаких других бесконечностей).

• 
  Слайд 9
  

  Доказательство. Пусть А – счетное множество и ВА. Перенумеруем все элементы множества А: "Передвигаясь" в перечне элементов множества Аот с меньшими номерами кэлементам с большими номерами, будем выбирать из этого спискаэлементы подмножества В:

• 
  Слайд 10
  

  Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то В является конечным множеством, состоящим из к элементов: Если же для каждого элемента из В в списке А всегда найдется следующий элемент то мы получаем список (множество) который занумерован числами 1,2,3,…,k,….

• 
  Слайд 11
  

  Если переобозначить то Теорема доказана.