Презентация на тему "Теория множеств"

Содержание

• 
  Слайд 1

  2. Элементы теории множеств

  Понятие множества pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Элементы теории множеств 2 © Аликина Е.Б. Основу теории математики составляют понятия и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.

• 
  Слайд 3

  Определение

  Элементы теории множеств 3 © Аликина Е.Б. Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку: множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д..

• 
  Слайд 4
  

  Элементы теории множеств 4 © Аликина Е.Б. Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами например, буква К – элемент множества букв русского алфавита. Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

• 
  Слайд 5
  

  Элементы теории множеств 5 © Аликина Е.Б. Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений: А; {а, b, c}; {∗,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

• 
  Слайд 6
  

  Элементы теории множеств 6 © Аликина Е.Б. Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа  (в противном случае используется символ ∉). Запись а А означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: Δ{Δ,ο}. Запись 4∉{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

• 
  Слайд 7
  

  Элементы теории множеств 7 © Аликина Е.Б. Основными способами задания множества являются: 1) перечисление всех его элементов: А={а1, а2, …, аn}; 2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеетсяу всех элементов данного множества и не свойственен элементам, невходящим в данное множество.

• 
  Слайд 8
  

  Элементы теории множеств 8 © Аликина Е.Б. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования присчете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мыуказываем характеристическое свойство его элементов: М={х∈ N | х׃2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству,делится на два.

• 
  Слайд 9
  

  Элементы теории множеств 9 © Аликина Е.Б. Определение3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов (одинаковыми). Пишут А=В. Определение4 Множество, которое не содержит ни одного элемента,называется пустым и обозначается символом ∅.

• 
  Слайд 10
  

  Элементы теории множеств 10 © Аликина Е.Б. Слово «много»и математический термин «множество» имеют различный смысл. Множество может состоять из небольшогоколичества элементов. Будем обозначать количество элементовв некотором множестве А через m(А). Например, если А={а, b, c}, тоm(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.

• 
  Слайд 11

  Подмножество. Основные числовые множества

  Элементы теории множеств 11 © Аликина Е.Б. Определение 1. Множество В, состоящее из некоторых элементовданного множества А (и только из них), называется подмножеством(частью) этого множества. Иначе, если любой элемент множества Впринадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Это записывается так: В⊂ А или А⊃В. Говорят, что «В – подмножество А» или «В содержится в А» или «А содержит В». Заметим, чтоm(В) ≤m(А).

• 
  Слайд 12
  

  Элементы теории множеств 12 © Аликина Е.Б. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: В⊄А. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. а[а, b], но а∉(а, b].

• 
  Слайд 13
  

  Элементы теории множеств 13 © Аликина Е.Б. Из опр. 1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АА. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.

• 
  Слайд 14
  

  Элементы теории множеств 14 © Аликина Е.Б. Знак  называется знаком включения. Отметим основные свойства отношения включения между множествами: 1) ∅⊂А для любого множества А; 2) АА для любого множества А (рефлексивность); 3) из того, что ВА не следует АВ (не симметричность); 4) если АВ и ВА, то А=В (антисимметричность); 5) если А⊂В и В⊂С, то А⊂С (транзитивность).

• 
  Слайд 15

  Основные числовые множества:

  Элементы теории множеств 15 © Аликина Е.Б. N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел; Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z; Q={x ׀х = p/q, где p∈Z, q∈N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q; R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа.

• 
  Слайд 16
  

  Элементы теории множеств 16 © Аликина Е.Б. Действительные числа изображаются точками координатнойпрямой (числовой оси). Координатная прямая – это всякая прямая(обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.

• 
  Слайд 17
  

  Элементы теории множеств 17 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 18

  Операции над множествами

  Элементы теории множеств 18 © Аликина Е.Б. Два множества могут иметь одинаковые элементы, из всех элементов двухмножеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во второммножестве нет.

• 
  Слайд 19
  

  Элементы теории множеств 19 © Аликина Е.Б. Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети,В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различныхнаклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которыхнет у Васи. Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разностидвух множеств.

• 
  Слайд 20

  Определение

  Элементы теории множеств 20 © Аликина Е.Б. Пересечениеммножеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х ׀ хА и хВ}. Обозначается А∩В.

• 
  Слайд 21
  

  Элементы теории множеств 21 © Аликина Е.Б. Объединениеммножеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х׀ хА или хВ}. Обозначается, АВ.

• 
  Слайд 22
  

  Элементы теории множеств 22 © Аликина Е.Б. Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (А∩В=∅), то m(АВ) = m(A) + m(B) (1). В противном случае, когда множества имеют m(А∩В) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой: m(АВ) = m(A) + m(B) - m(А∩В) (2).

• 
  Слайд 23

  Определение

  Элементы теории множеств 23 © Аликина Е.Б. Разностьюмножеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х ׀ хА и х∉В}. Обозначается, А\В. В случае, когда В является подмножеством А, т.е. В⊂А, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).

• 
  Слайд 24
  

  Элементы теории множеств 24 © Аликина Е.Б. Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают U. При работе с числовыми множествами в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

• 
  Слайд 25
  

  Элементы теории множеств 25 © Аликина Е.Б. Дополнением множества А называется разность U\А.. Обозначается, А’ или А и читается «неА» . Иначе, дополнением множества А называется множество А’, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

• 
  Слайд 26
  

  Элементы теории множеств 26 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 27

  Диаграммы Эйлера-Венна

  Элементы теории множеств 27 © Аликина Е.Б. Для наглядного представления множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера). При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества– точки внутри соответствующего круга.

• 
  Слайд 28
  

  Элементы теории множеств 28 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 29
  

  Элементы теории множеств 29 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 30
  

  Элементы теории множеств 30 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 31
  

  Элементы теории множеств 31 © Аликина Е.Б. Формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств: m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (А∩В) – m (А∩С) – m (В∩С) + m (А∩В∩С)

• 
  Слайд 32

  Примеры

  Элементы теории множеств 32 © Аликина Е.Б. Пример 1. Записать множество всех натуральных делителей числа 15 и найти число его элементов. Решение: А={1, 3, 5}, m (А)=3.

• 
  Слайд 33

  Пример 2

  Элементы теории множеств 33 © Аликина Е.Б. Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8,16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти А∪В, С∪D, В∩С, А∩D,А\С, D\В, А∪В∪С, А∩В∩С, В∪D∩С, А∩С\D. Решение: Учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем объединение или разность. Получим АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16}, С∪D={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20}, В∩С={16}, А∩D=∅, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20}, А∪В∪С={1, 2, 3,4, 5, 8, 12, 13, 15, 16}, А∩В∩С=∅, В∪D∩С={1, 3, 4, 8, 16},А∩С\D={13, 15}

• 
  Слайд 34

  Пример 3.

  Элементы теории множеств 34 © Аликина Е.Б. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4? Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (A∪B)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А∩В. Из формулы (2) находим m (A∩B) = m (A) + m (В) - m (A∪B) = 210 + 180 – 250 = 140.

• 
  Слайд 35

  Пример 4.

  Элементы теории множеств 35 © Аликина Е.Б. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах? Решение: Множество учеников школы будем считать основным множеством U, А и В – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках .

• 
  Слайд 36
  

  Элементы теории множеств 36 © Аликина Е.Б.

• 
  Слайд 37
  

  Элементы теории множеств 37 © Аликина Е.Б. Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’∩В’= (А∪B)’ m (А∪B) = m(U) - m (А∪B)’=1340. m (А∩B) = m (А) + m (В) - m (А∪B) = 862

• 
  Слайд 38
  

  Элементы теории множеств 38 © Аликина Е.Б.