Презентация на тему "Транспортная задача"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

  Лекции 10,11

• 
  Слайд 2
  

  Транспортная задача является частным случаем задачи линейного программирования и может быть решена симплекс-методом. Однако, в силу особенностей этой задачи, она решается с помощью так называемого распределительного метода и его модификаций

• 
  Слайд 3
  

  Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления А1, А2,…, Аm в nпунктов назначения B1, B2,…,Bn. При этом в качестве критерия оптимальности берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки.

• 
  Слайд 4
  

  Рассмотрим транспортную задачу, в которой в качестве критерия оптимальности берется минимальная стоимость перевозок всегогруза. Обозначим через тарифы или стоимости перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через  – запасы груза в i-м пункте отправления, через  – потребности в грузе j-ым пунктом назначения, через  – количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения (перевозки).

• 
  Слайд 5

  Математическая модель транспортной задачи

  Найти при ограничениях

• 
  Слайд 6
  

  Первое ограничение означает, что все потребности должны быть удовлетворены , а второе - , что все запасы должны быть перевезены.

• 
  Слайд 7
  

  Определение. Всякое неотрицательное решение системы ограничений транспортной задачи, определяемое матрицей размераm×n , называют допустимым решением (или планом) транспортной задачи.

• 
  Слайд 8
  

  Определение. План , при котором целевая функция принимает минимальное значение, называется оптимальным.

• 
  Слайд 9
  

  Тарифы или стоимости перевозок единицы груза также задаются матрицей, которая называется матрицей транспортных издержек или матрицей стоимостей

• 
  Слайд 10

  Транспортная таблица

• 
  Слайд 11

  Необходимое и достаточное условие разрешимости транспортной задачи

  Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, то есть, чтобы выполнялось равенство --балансовые условия.

• 
  Слайд 12
  

  При выполнении этого условия модель транспортной задачи называется закрытой. Если балансовое условие не выполняется, то есть , то модель транспортной задачи называется открытой.

• 
  Слайд 13
  

  В случае открытой транспортной задачи выполнение балансового условия достигается введением фиктивного поставщика или фиктивного потребителя с соответствующими тарифами, равными нулю.

• 
  Слайд 14
  

  Любое решение транспортной задачи представляет собой распределение перевозок в транспортной таблице. Оптимальному решению транспортной задачи соответствует оптимальное распределение перевозок. Перераспределение перевозок в транспортной таблице осуществляется до тех пор, пока не будет найдено оптимальное распределение перевозок.

• 
  Слайд 15

  Пример

• 
  Слайд 16
  

  Все грузы должны быть перевезены, поэтому Это три первых уравнения. Все потребности должны быть удовлетворены и, значит, Это четыре последних уравнения. Здесь закрытая модель: сумма запасов равна сумме потребностей.

• 
  Слайд 17
  

  А целевую функцию составили по матрице С- матрице тарифов перевозок.

• 
  Слайд 18

  Пример. Задача организации оптимального снабжения .

  Три фермерских хозяйства ежедневно могут доставлять в город соответственно 60, 60 и 50 ц молока для обеспечения пяти торговых точек : Стоимость перевозки 1ц молока и потребности торговых точек в молоке указаны в таблице

• 
  Слайд 19

  Таблица

• 
  Слайд 20

  Экономико-математическая модель задачи.

  Переменные : - количество молока , поставляемое i-м фермерским хозяйством в j-ю торговую точку. Целевая функция –суммарные транспортные издержки, которые необходимо минимизировать

• 
  Слайд 21
  

  Эта задача является задачей открытого типа, так как запасы молока у фермерских хозяйств (поставщиков) больше потребностей в молоке у торговых точек. В этом случае изменяется вид системы ограничений.

• 
  Слайд 22

  Функциональные ограничения:

  По поставщикам (их 3) по потребителям (их 5)

• 
  Слайд 23

  Этапы решения транспортной задачи

  Составляют математическую модель задачи. Находят исходное опорное решение. Проверяют это решение на оптимальность. Переходят от одного опорного решения к другому.

• 
  Слайд 24
  

  Будем называть переменные , стоящие в занятых клетках распределительной или транспортной таблицы,базисными, а переменные находящиеся в пустых клетках, свободными.

• 
  Слайд 25

  Определение исходного допустимого решения

  1. Метод «северо-западного угла» Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с левой верхней клетки (северо-западная часть таблицы) для перевозки и продолжают вниз и вправо, заканчивая клеткой для перевозки . При этом способе распределения на тарифы не обращают внимания.

• 
  Слайд 26
  

  2. Метод «наименьшей стоимости» Метод заключается в том, что заполнение клеток таблицы начинают с клетки, имеющей наименьшую стоимость перевозки. Если таких клеток несколько, то следует выбрать любую из них.

• 
  Слайд 27

  Найти опорный план транспортной задачи методом наименьшей стоимости

• 
  Слайд 28
  

  Минимальный тариф, равный 1 , находится вклетке . Положим . Запишем это значение в соответствующую клетку и временно исключим из рассмотрения строку . Потребности пункта назначения считаем временно равными 30 ед.

• 
  Слайд 29
  

  В оставшейся части таблицы с двумя строками и и c четырьмя столбцами клетка с наименьшим тарифом находится на пересечении строки и столбца , где Положим Внесем это значение в соответствующую клетку таблицы.

• 
  Слайд 30
  

  Временно исключим из рассмотрения столбец и будем считать запасы пункта равными 120 ед. После этого рассмотрим оставшуюся часть таблицы с двумя строками и и тремя столбцами , и . В ней минимальный тариф находится в клетке на пересечении строки и столбца и равен 3.

• 
  Слайд 31
  

  Заполним описанным выше способом эту клетку и аналогично заполним ( в определенном порядке) клетки, находящиеся на пересечении строки и столбца .

• 
  Слайд 32
  

  В результате получим опорный план При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составляет .

• 
  Слайд 33

  Условие невырожденности плана

  Если число заполненных клеток равно m + n – 1, то план является невырожденным. Если число заполненных клеток меньше этого значения, то план (решение) называется вырожденным. В случае вырожденности плана условно считают одну (или несколько) из пустых клеток занятой, записывая в нее нулевую перевозку так, чтобы число занятых клеток стало равным m + n – 1.

• 
  Слайд 34
  

  В нашей задаче число заполненных клеток равно m + n – 1=3 + 4 – 1 = 6, а пустых клеток – m × n – (m + n – 1), где m – количество пунктов отправления, n – количество пунктов назначения, что в нашем случае 3 × 4 – 6 = 6. Значит, найденный план является невырожденным.

• 
  Слайд 35

  Метод потенциалов проверки решения на оптимальность

  Предположим, что каждый пункт отправленияAi вносит за перевозку единицы груза какую-то сумму , а каждый пункт назначения вносит сумму . Эти платежи передаются некоторому третьему лицу, например, перевозчику. Величины и свяжем равенствами , где  – тарифы для базисных клеток.

• 
  Слайд 36
  

  Совокупность уравнений , составленных для всех базисных переменных, представляет совместную систему линейных уравнений, причем одну из переменных можно задавать произвольно и тогда остальные переменные из системы уравнений находятся однозначно.

• 
  Слайд 37
  

  Обозначим через , где назовем псевдостоимостями или косвенными стоимостями (тарифами). Псевдостоимости находятся для всех свободных клеток. Платежи и не обязательно должны быть положительны, поскольку не исключено, что «перевозчик» сам платит тому или иному пункту какую-то премию за перевозку.

• 
  Слайд 38

  Теорема «о платежах».

  Для заданной совокупности платежей и суммарная косвенная стоимость перевозок при любом допустимом плане сохраняет одно и тоже значение В этой формуле с зависит только от совокупности платежей и не зависит от того, каким именно допустимым планом пользуемся.

• 
  Слайд 39

  Теорема оптимальности.

  Если для всех базисных клеток а для всех свободных клеток , то допустимый план является оптимальным и никаким способом улучшен быть не может.

• 
  Слайд 40

  Пример

  Найти опорное решение методом минимальной стоимости и проверить оптимальность решения методом потенциалов.

• 
  Слайд 41
  
• 
  Слайд 42
  
• 
  Слайд 43
  

  Находим потенциалы базисных клеток

• 
  Слайд 44
  

  Положим и решим систему. Получим Найдем псевдостоимости пустых клеток План перевозок оптимален

• 
  Слайд 45

  Пример 2.

  На складах имеются запасы продукции 90, 400 и 110 тонн соответственно. Потребители должны получить эту продукцию в количествах 140, 300 и 160 тонн соответственно. Найти такой план закрепления поставщиков к потребителям, при котором суммы затрат на перевозки минимальны.

• 
  Слайд 46
  

  Расходы на перевозки 1 т продукции заданы матрицей (у.е.) Сумма потребностей и сумма запасов равны 140+300+160=90+400+110=600. Модель закрытая.

• 
  Слайд 47
  
• 
  Слайд 48
  

  План

• 
  Слайд 49
  

  2)Проверим план на оптимальность методом потенциалов. В таблице занято клеток Для них найдем потенциалы.

• 
  Слайд 50
  

  Положим Решим систему:

• 
  Слайд 51

  Внесем в таблицу потенциалы занятых клеток

• 
  Слайд 52
  

  Найдем оценки свободных клеток. Решение не оптимально, т.к. имеется отрицательная оценка.

• 
  Слайд 53
  

  3)Переход к другому решению. Перераспределим грузы, перемещая их из занятых клеток в свободные. Свободная клетка становится занятой, а занятая- свободной. Для свободной клетки с отрицательной оценкой строится цикл(цепь, многоугольник), все вершины которого, кроме одной находятся в занятых клетках. Углы прямые, число вершин четное

• 
  Слайд 54
  

  Около свободной клетки цикла ставится (+), а затем поочередно(-) , (+).У вершин со знаком (-) выбирают минимальный груз, его прибавляют к грузам, стоящим у вершин со знаком (+) и отнимают от грузов у вершин со знаком (-). В результате перемещения получают новый опорный план. Это решение проверяют на оптимальность и т. д. до тех пор ,пока не получится оптимальное решение.

• 
  Слайд 55
  
• 
  Слайд 56
  
• 
  Слайд 57
  
• 
  Слайд 58
  

  Получили новое решение Проверим его на оптимальность, вычислив потенциалы базисных клеток.

• 
  Слайд 59
  

  Потенциалы заполненных клеток

• 
  Слайд 60
  

  Оценки свободных клеток План не оптимален, т.к. оценка клетки (21) отрицательна.

• 
  Слайд 61
  
• 
  Слайд 62
  
• 
  Слайд 63
  

  Новый план Снова проверяем его на оптимальность. Для занятых клеток Находим

• 
  Слайд 64
  

  Для свободных клеток псевдостоимости равны

• 
  Слайд 65
  

  Оценки свободных клеток

• 
  Слайд 66
  

  Все оценки положительны, поэтому план оптимален. Ответ: . При этом По сравнению с первоначальным планом расходы уменьшились на величину 1610-1280=330у.е.