Презентация на тему "Задачи на делимость натуральных чисел"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Задачи на делимость натуральных чисел

  (по материалам ЕГЭ) Кретова Д.Н. МОУ «Лицей №47» г.Саратов

• 
  Слайд 2
  

  Задача 1. Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).

• 
  Слайд 3
  

  Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа : где y-количество делителей - показатель степени в разложении на простые множители-

• 
  Слайд 4
  

  1) Разложим число 42 на простые множители: 42 = 2 · 3 · 7 2) Пусть А - некоторое число. Раз 42 – делитель числа А, то число А делится на 2, 3 и 7, значит разложение числа А на множители можно записать в виде: где Q- некоторое число 3) Применим формулу нахождения количества делителей какого-либо числа: где у = 42 Получим:

• 
  Слайд 5
  

  4) Заменим 42 на его разложение на простые множители: 5) Т.к. 42 раскладывается на 3 простых множителя, значит k = 3 5) Т.к. левая и правая части состоят из произведения одинакового числа простых множителей, тогда сами множители равны с точностью до порядка.

• 
  Слайд 6
  

  6) Найдем показатели степеней в разложении числа A:

• 
  Слайд 7
  

  7) Решив системы, получим, что

• 
  Слайд 8

  Задача 2.

  Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящиеся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

• 
  Слайд 9

  Решение

  Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.

• 
  Слайд 10
  

  1) Запишем все цифры подряд: 9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5. 9+7+3+1=25 , 8+6+4+2+0=20 , 25-20=5 2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры. Ответ: Да.

• 
  Слайд 11

  Задача3.

  Натуральные числа удовлетворяют условию ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

• 
  Слайд 12
  

  Решение. Выразим переменную а через остальные переменные из равенства : . Подставим этот результат в выражение

• 
  Слайд 13
  

  Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.

• 
  Слайд 14
  

  В этом случае можно утверждать, что ( , аналогично – cn). Следовательно, числоa+b+c+d=mn, гдеm,n>1. Значит, это число не простое. Ответ: это число не может быть простым.

• 
  Слайд 15

  Задача 4.

  Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.

• 
  Слайд 16
  

  Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b 3.Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78b=13 Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

• 
  Слайд 17

  Задача 5.

  Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).

• 
  Слайд 18
  

  Решение 1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных делителей и кол-во делителей определяется по формуле p=(m+1)(n+1), где m, n кратности простых делителей.

• 
  Слайд 19
  

  2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и 5. 3. 15=(m+1)(n+1); m=2, n=4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям). Существуют 2 числаи Ответ: 2500; 400

• 
  Слайд 20

  Задача 6.

  Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55.

• 
  Слайд 21
  

  Решение Пусть m и n натуральные числа и, тогда (m-n)(m+n)=5∙11 или (m-n)(m+n)=55∙1. Рассмотрим системы: 1) 3) 2) 4) 2 из 4 систем не имеют решения в натуральных числах, следовательно m=8, n=3 и m=28, n=27. Ответ: m=8, n=3 и m=28, n=27.