Презентация на тему "ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ4 часа"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ СИГНАЛЫ4 часа

• 
  Слайд 2
  

  Классификация сигналов

• 
  Слайд 3
  
• 
  Слайд 4
  
• 
  Слайд 5
  

  Тип передаваемых сообщений

• 
  Слайд 6
  

  Обобщённый ряд Фурье Для использования частотного метода анализа применяют разложение сигналов в обобщённый ряд Фурье: (1) где φj(t) – бесконечная система действительных попарно ортогональных на отрезке [а, b] функций: при n ≠ m; Обобщенный ряд Фурье при заданной системе функций φn(t) и при фиксированном числе слагаемых ряда обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума СКО) данной функции х(t).

• 
  Слайд 7
  

  Если в качестве ортогональных используются функции вида: то ряд (1) называется рядом Фурье: где – частота первой гармоники, T – период функции x(t). Периодическую функцию x(t)можно представить суммой гармоничес- ких колебаний с частотами, кратными основной частоте f1 = 1/T с амплитудами Аkи начальными фазами φk.

• 
  Слайд 8
  

  Совокупность амплитуд Аk(k = 0, 1, 2, ...) образует амплитудный спектр, а совокупность фаз φk (k = 0, 1, 2, ...) – фазовый спектр функции. Спектр периодического сигнала – дискретный. Амплитудный спектр периодического сигнала Спектр непериодического сигнала – сплошной и определяется интегралом Фурье – спектральная плотность сигнала.

• 
  Слайд 9
  

  – спектральная плотность энергии, – спектральная плотность мощности; Эти характеристики являются чётными функциями частоты, следовательно: где и – СПЭ и СПМ, определённые на положительных частотах.

• 
  Слайд 10
  

  Дискретизация и восстановление непрерывных сигналов. Теорема Котельникова. Дискретизация по времени– взятия отсчётов первичного сигнала s(t) в определённые дискретные моменты tk; непрерывная функция s(t) заменяет совокупностью мгновенных значений (отсчётов) {s(k)} или {s(tk)}.

• 
  Слайд 11
  

  Теорема Котельникова(отсчетов, Найквиста): непрерывный сигнал s(t), спектр которого ограничен сверху частотой Fв, полностью опреде- ляется отсчетами мгновенных значений s(k∆t) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы ∆t≤ l/2Fв. Интервал ∆t называется интервалом Котельникова (Найквиста), а fд = 1/∆t – частотой дискретизации. Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию s(t)в виде ряда Котельникова: – базисная функция отсчётов. Ряд Котельникова точно определяет функцию s(t) в точках отсчета (коэффициентами ряда являются сами выборки из функции s(k∆t)) и определяет функцию s(t) в любой момент t.

• 
  Слайд 12
  

  Представление сигнала рядом Котельникова

• 
  Слайд 13
  

  Теоретически отсчёты функции получаются в результате её пере- множения на периодическую последовательность -импульсов u(t) с пе- риодом спектр которой является дискретным: sд(t) =s(t)u(t) = – дискретный сигнал, – спектр дискретизированного сигнала sд(t), – спектр исходного сигнала s(t). Т = t,

• 
  Слайд 14
  

  Спектр исходного (а) и дискретизированного сигнала (б) Восстановление исходного сигнала по последовательности отсчетов осуществляется путем формирования для каждого отсчета s(k∆t) функции φk(t) с соответствующей амплитудой и последующим суммированием всех функций.

• 
  Слайд 15
  

  Восстановление исходного сигнала по последовательности отсчётов

• 
  Слайд 16
  

  Устройством, формирующим отклик вида (sin x)/x при воздействии δ-импульса, является идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ) с АЧХ и ИХ характеристиками, представленными на рис. АЧХ (а) и ИХ (б) ИФНЧ

• 
  Слайд 17
  

  Погрешности дискретизации и восстановления непрерывного сигнала 1. Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром, т. е. имеющих бесконечную длительность. Спектры реальных сигналов (конечной длительности) бесконечны. Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты в 2. Вторая причина возникновения погрешностей – неидеальность восстанавливающего ФНЧ: Вывод: чем выше и чем ближе характеристики восстанавливающего ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному.

• 
  Слайд 18
  

  Случайные процессы и их основные характеристики Случайная функция– функция, значения параметров которой в любой момент времени заранее непредсказуемы с заданной точностью. Реализация случайной функции – вид случайной функции в конкрет- ном испытании x(i)(t). Случайная величина – значение случайной функции в конкретный момент времени Xk ={x(i)(tk)}.

• 
  Слайд 19
  

  Случайный процесс– совокупность случайных функций {x(i)(t)}. Для непрерывных СП X(t)распределение вероятностей в заданном сечении t1 характеризуется одномерной плотностью вероятностей: или интегральной функцией распределения(ИФР) F(x): Типовые графики одномерных ПВ (а) и ИФР (б)

• 
  Слайд 20
  

  – n-мерная ПВ Основные свойства ИФР и ПВ случайной величины

• 
  Слайд 21
  

  Основные числовые характеристики Математическое ожидание – усреднённое по множеству реализаций значение случайного процесса; физический смысл – среднее значение случайного процесса; размерность СП. Дисперсия – стандартное или среднеквадратическое отклонение значений СП от математического ожидания, характеризует разброс СВ относительно МОЖ; физический смысл – мощность переменной составляющей СП; размерность – квадрат СП. Функция корреляции– характеризует статистическую связь между значениями СП в моменты времени t1 и t2, разделённые интервалом τ =t2 - t1:

• 
  Слайд 22
  

  Ковариационная функция Функция корреляции СП с медленно (1) и быстро (2) убывающими связями Функция взаимной корреляции – характеризует статистическую связь между значениями двух СП в моменты времени t1 и t2, разделёнными интервалом τ =t2 - t1:

• 
  Слайд 23
  

  Стационарные, эргодические случайные процессы

• 
  Слайд 24
  

  Свойства функции корреляции стационарного эргодического СП 1. В(τ) 2. Bх(t1,t2) = Bх(τ). 3. ФК действительная и чётная Bх(τ) = Bх(-τ). 4. Bх(τ = 0) = Bх(0) = σх2 = Р~– мощность переменной составляющей СП. 5. Bх(τ) ≤ Bх(0). 6. Для статистически независимых сечений Bх(t1,t2) = 0. 7. Коэффициент корреляции

• 
  Слайд 25
  

  8. Интервал корреляции τкор. – минимальное расстояние между двумя сечениями,при котором значения СП можно считать некоррелирован- ными, определяется методом равновеликого прямоугольника: 9. Взаимная ФК двух процессов X(t) и Y(t) равна: 10. ФК суммы независимых СП Z(t) = X(t) + Y(t) равна:

• 
  Слайд 26
  

  Нормальные (гауссовские) случайные процессы Это распределение полностью определяется двумя параметрами: m1 и σх2. Свойства нормального СП: 1) ПВ положительная 2) ПВ симметрична относительно x = m1; 3) 4) При изменении m1кривая без изменения формы смещается вдоль оси х; 5) 6) Чем больше дисперсия тем меньше величина максимума ПВ и тем она шире.

• 
  Слайд 27
  

  7) ИФР, соответствующая нормальному закону, имеет вид: где Ф(z) – интеграл вероятности, неэлементарная табули- рованная функция, вероятность того, что нормированное случайное отклонение не превзойдет величину z. р(x1 ≤ X ≤ x2) = .

• 
  Слайд 28
  

  Аналитический (комплексный) сигнал Представление сложного (негармонического) сигнала s(t) в виде действи- тельной или мнимой части комплексного сигнала – функция, связанная с исходной соотношениями: – преобразования Гильберта, является обобщением символического метода. Экспоненциальная форма записи сигнала – огибающая сигнала, – полная мгновенная фаза, – мгновен- ная начальная фаза, – мгно- венная частота.

• 
  Слайд 29
  

  Квазигармоническая форма записи сигнала – комплексная огибающая сигнала. Узкополосные сигналы Видеосигналы – спектр сосредоточен в области низких частот от 0 до Fв. Радиосигналы – спектр сосредоточен вблизи несущей частоты f0 ≠ 0, ∆f /f0

• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  

  Характеристики огибающей и начальной фазы узкополосного случайного сигнала ВЧ сигнал s(t) (1), с учётом можно представить в при суммы двух квадратурных составляющих: в виде – амплитуды соответственно косинусной и синусной составляющих колебания, φ(t) = – arctg Для отыскания ПВ и требуется знание соответствующих ПВ и а также (2)

• 
  Слайд 32
  

  Взаимная ФК между СП и при Следовательно, и в один и тот же момент времени являются независимыми величинами. Поэтому совместная и двумерная ПВ определяются выражениями: Плотность вероятности начальной фазы Начальная фаза узкополосного СП распределена равномерно на отрезке [0, 2π].

• 
  Слайд 33
  

  Интегрируя по переменной получаем одномерную ПВ: 0

• 
  Слайд 34
  

  Дисперсия огибающей т. е. средняя мощность огибающей равна удвоенной дисперсии исходного физического сигнала. Вероятность того, что огибающая превысит уровень С При вероятность превышения этого уровня составляет всего лишь примерно 1%. Поэтому можно считать, что ширина дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа, не превышает (5-6) . Функция корреляции огибающей узкополосного нормального процесса R0(τ) – коэффициент корреляции.

• 
  Слайд 35
  

  Представим в виде произведения А(t) и независимые СВ при их отсчёте в один и тот же моментt. Вероятность того, что огибающая превыситС При вероятность р(А > С) ≈ 1%,поэтому можно считать, что ширина дорожки, фактически наблюдаемой на экране осциллографа, не превышает (5-6). Функция корреляции фазы При τ = 0 ряд сходится к , т.е. дисперсия фазы

• 
  Слайд 36
  

  Функция корреляции узкополосного СП равна – нормированная огибающая, а0(τ) – огибающая, медленно изменяющаяся по сравнению с cosω0t. Интервал корреляции узкополосного СП ФК узкополосного СП Вид ФК свидетельстует о том, что отдельные реализации узкополосного СП представляют собой квазигармонические колебания, у которых огибающая A(t) и фаза φ(t) являются СФ, медленно изменяющимися во времени.

• 
  Слайд 37
  

  Пространства сигналов. Геометрическая трактовка процесса передачи сообщений в ТКС Вся совокупность встречающихся сигналов Lразбита на ряд множеств, объединённых каким-либо одним общим и единственным свойством P: LP= {s; P} – множество всех сигналов s, для которых справедливо свойство Р. Определив P,определяем множество сигналов. Множество гармонических сигналов L = {s; s(t) = A∙cos(ωt + φ), - ∞

• 
  Слайд 38
  

  Для сигналов одного и того же множества (элементов) указываются признак или признаки, отличающие их друг от друга. Наиболее подхо- дящим признаком, отличающим два элемента множества xи у, является расстояние между ними в некоторой системе координат. Множество с определённым расстоянием называется пространством. Если установлено правило для вычисления d(x,y), то пространство называется метрическим, а само правило – метрикой. Расстояние обладает следующими аксиоматическими признаками: d(x, y) x,yи z– элементы пространства. – неравенство треугольника, Так как сигналы x и y представляют собой функции, то – это функционал. d(x, y)

• 
  Слайд 39
  

  В метрическом пространстве сигналы можно представит в виде векторов, соединяющих начало координат с элементом (точкой) пространства. Каждо-му элементу x, y, z, … соответствует набор вещественных или комплексных чисел α1, α2, α3, …, β1, β2, β3, …, λ1, λ2, λ3, … и т. д., являющихся проекцией вектора на координатные оси. Различные взаимосвязи между элементами пространства могут быть определены с помощью операций векторной алгебры. Эти операции линейны, следовательно векторное пространство линейное. Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы 1) существует нулевой элемент Ø, что для всех x(t) L выполняется равенство x(t) + Ø = x(t); 2) для x(t) L и y(t) L существует s(t) = x(t) + y(t), s(t) L. При этом операция суммирования должна быть: – коммутативна: x(t) + y(t) = y(t) + x(t); – ассоциативна: x(t) + [y(t) + z(t)] = [x(t) + y(t)] + z(t); – однородна: x(t) + [– x(t)] = Ø.

• 
  Слайд 40
  

  3) cуществует множество скалярных элементов a, для которых y(t) = x(t)– новый сигнал, x(t) L, у(t) L. Операция умножения должна быть: – ассоциативна: α[β·x(t)] = αβ ·x(t); – дистрибутивна: α[(x(t) + y(t)] = αx(t) + α y(t), (α + β)x(t) = α x(t) + βx(t); – пропорциональна: 1·x(t) = x(t), 0·x(t) = 0. В зависимости от значений скаляров линейные пространства могут быть вещественными или комплексными. α,β,λ, … В векторном пространстве длина вектора называется его нормой , а само пространство – нормированным. Свойства нормы: . только приx(t) = 0; , где k любое число; приx(t) L и y(t) L. Квадрат нормы носит название энергии сигнала:

• 
  Слайд 41
  

  Степень связи (сходства) по форме и положению сигналов x(t) и y(t) в пространстве сигналов отражается их скалярным произведением: φ – угол между двумя векторами. При φ = 0 (cos φ = 1) сигналы совпадают по направлению и расстояние между ними минимальное. При φ = π/2 (cosπ/2 = 0) сигналы перпенди-кулярны друг другу, т. е. ортогональны, и проекции сигналов друг на друга равны нулю. При φ = π (cosπ = – 1) сигналы противоположны по нап-равлению и расстояние между ними максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их различении в демодуляторах и селекции в многоканальных системах. (3)

• 
  Слайд 42
  

  Линейное пространстводискретных и цифровых сигналов со скалярным произведением (3) называется евклидовым пространством. Совокупность плинейно независимых векторов образует n-мерное евкли- дово пространство Rn. Любой вектор , относящийся к Rn, определяется совокупностью его координат = (x0,x1,…, xn-1). определить как множество точек, представленных концами векторов, норма которых равна Пространство Rnможно Расстояние между двумя векторами как норма разности векторов

• 
  Слайд 43
  

  При п→ ∞ пространство Rnпереходит в бесконечномерное простран-ство Гильберта L2, в частности, пространство всех непрерывных комп-лексных функций аргумента t, заданных на интервале , в котором скалярное произведение и квадрат нормы определяются выражениями: Если элементы этого пространства – вещественные сигналы s(t),определённые на интервале , то выполняется условие L2(T)

• 
  Слайд 44
  

  При Т → ∞ получаем пространство L2(∞).Если для сигналов этого про-странства последнее условие не выполняется, но выполняется условие то вводится скалярное произведение с размерностью мощности и Квадрат расстояния между двумя векторами в вещественном простран-ствеL2(T)определяется соотношениями:

• 
  Слайд 45
  

  Пространство L2представляет собой естественное обобщение прост-ранстваRn, получаемое путём перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента. Пространство L2имеет особое значение, т. к. оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и поме-хам, определённым как функции непрерывного аргумента. Пространство Хэмминга. Функция x(t), принимающая на каждом ин-тервале i∆t одно из т возможных значений на отрезке дли- тельностьюТ полностью определена значениями или совокуп-ностью коэффициентов , называемый n-на- бором . При m = 2 коэффициенты принимают значения 0 или 1, n-набор представляет собой просто кодовую комбинацию n-значного двоичного кода, отображающую символ передаваемого сообщения. Двоичные п-наборы отображаются векторами (точками) в простран-стве Хэмминга2n.

• 
  Слайд 46
  

  Скалярное произведение в этом пространстве задаётся функцией: Норма двоичного вектора (вес кодовой комбинации w) определяется ко-личеством содержащихся в нём единиц Расстояние в пространстве Хэмминга между двоичными векторами определяется по числу позиций в кодовой комбинации, в которых векторы имеют различные символы .