Презентация на тему "Спектральный анализ биомедицинских сигналов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Спектральный анализ биомедицинских сигналов

  ©А.В. Литвин

• 
  Слайд 2

  Геометрический смысл формулы Эйлера

  Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера - для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.

• 
  Слайд 3

  Производные формулы

  Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты. Благодаря формуле Эйлера появилась тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: x = a + ib = | x | (cos φ + isin φ) = | x | eiφ.

• 
  Слайд 4

  Комплексные числа

  Ко́мпле́ксныечи́сла (устар. Мнимые числа[2])— числа вида x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица; i^2=-1. complex(лат.)— тесно связанный. Идея о необходимости комплексных чисел возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число.

• 
  Слайд 5

  Геометрическая модель комплексного числа

  Комплексному числу z=x+iyсопоставим точку плоскости с координатами {x,y} . Радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, а мнимая часть изображается на вертикальной оси.

• 
  Слайд 6

  Модуль и аргумент комплексного числа

  Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением |z| = sqrt{x^2+y^2}. Часто обозначается буквами r или ρ. Угол ϕ(в радианах) называется аргументом  числа z и обозначается Arg (z)

• 
  Слайд 7

  Сопряжённые числа

  Если комплексное число z=x+iy, то число z*=x-iyназывается сопряжённым к z (часто обозначается также z*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением относительно вещественной оси. Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число: z* z*=|z|^2. z + z*=2Re(z).

• 
  Слайд 8

  Ряд Фурье

  Ряд Фурье — представление произвольной функции f (x) в виде ряда Этот ряд может быть также записан в видеучетом формулы Эйлера где ω=2πf – круговая частота    

• 
  Слайд 9

  Дискретное преобразование Фурье

  Для дискретных данных анализ Фурье выполняется с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). В системе Matlab ДПФ рассчитывается с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). Дискретное прямое преобразование Фурье входного вектора x(n) длиной N, является вектором X(k) , который определяется по формуле: где N — количество значений сигнала, измеренных за период; X(k)- выходной вектор, состоящий из N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал. X(k)  

• 
  Слайд 10
  

  В MATLAB расчет характеристик спектра выполняется функцией fft (thefastFouriertransform). Функция fft может быть использована в следующем виде: Y = fft(X) Выражение Y = fft(X) возвращает дискретное преобразование Фурье вектора X, рассчитанное по алгоритму быстрого преобразования Фурье. Если X является матрицей, функция fft определяет преобразование Фурье для каждого столбца матрицы.

• 
  Слайд 11

  Частота дискретизации

  Частота дискретизации входного сигнала определяется теормойКотельникова / Найквиста. Частота регистрации должна быть больше или равна удвоенной частоте процесса. Частота дискретизации сложного сигнала, состоящего из нескольких гармонических сигналов должна быть равна или быть больше удвоенной наибольшей частоте, составляющей сигнала: fs≥ fmax.

• 
  Слайд 12

  Спектральный анализ сигнала состоящего из 3-х синусоид

  % Сформирует вектор времени 6 с. с интервалом dt=0.01 с. fs=200; dt=1/fs; t = 0:dt:6; % Сформируем сигнал из синусоид с частотами 5, 15, 25 Гц f1=5; f2=15;f3=25; y = sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t)+ sin(2*pi*f3*t); % Построим график суммарного сигнала для 100 точек figure(1); plot(1000*t(1:100),y(1:100)); grid; title('Total Signal'); xlabel('Time, ms'); ylabel('Magnitude')

• 
  Слайд 13

  БПФ сигнала

  % Выполним БПФ сигнала. n=512; Y = fft(y,n); % Определим СМП сигнала. Pyy = Y.* conj(Y) / n; % Определим частотною ось. f = fs*(0:n/2)/n; % Построим график СМП. np=round(n/4)+1; figure(2); plot(f(1:np),Pyy(1:np)); grid title('Signal Power Spectrum ') ; xlabel(' Frequency, Hz ')

• 
  Слайд 14
  

  % Выполним ОПФ Xr=ifft(Y,n); % График восстановленного сигнала figure(3); subplot(2, 1,1); plot(1000*t(1:100),Xr(1:100), '-o') title('Regenerated Signal'); xlabel('Time, ms'); ylabel('Magnitude'); grid % Сравним сигналы subplot(2, 1,2); plot(1000*t(1:100), y(1:100),':*r') title(' Regenerated & Original Signals'); xlabel('Time, ms'); ylabel('Magnitude'); grid

• 
  Слайд 15