Содержание
-
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
-
Функция n переменных
Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x,y,z,…,t, если каждой системе значений x,y,z,…,t,из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x,y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u=f(x,y,z) –некоторую совокупность точек пространства.
-
Функция двух переменных
Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных x,y (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной z(функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x,y) либоz= f(x,y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x,y), u = u (x,y)
-
Частные производные первого порядка
Частной производной от функции z =f(x,y) по независимой переменной х называется конечный предел вычисленный при постоянной у Частной производной по у называется конечный предел вычисленный при постоянной х Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
-
Полный дифференциал
Полный дифференциал функции z =f(x,y)вычисляется по формуле Полный дифференциал функциитрех аргументов u =f(x,y,z)вычисляется по формуле
-
Частные производные высших порядков
Частными производными второго порядка от функции z =f(x,y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков .
-
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом второго порядка от функции z=f(x,y)называетсядифференциал от ее пологого Дифференциалы высших порядков вычисляются по формуле Имеет место символическая формула
-
Дифференцирование сложных функций
Пусть z=f(x,y), где х=φ(t), у=ψ(t)и функции f(x,y), φ(t), ψ(t) дифференцируемы. Тогда производная сложной функцииz=f[φ(t),ψ(t)] вычисляется по формуле
-
Дифференцирование неявных функций
Производные неявной функции двух переменных z=f(x,y), заданной с помощью уравненияF(x,y,z)=0, могут быть вычислены по формулам
-
Экстремум функции
Функции z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0;y0) если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке M(x;y) некоторой окрестности точки M0. Если дифференцируемая функция z=f(x,y) достигает экстремума в точке M0(x0;y0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. (необходимые условия экстремума).
-
Пусть M0(x0;y0) - стационарная точка функции z=f(x,y). Обозначим И составим дискриминант Δ=AC-B2. Тогда: Если Δ>0, то функция имеет в точке М0 экстремум, а именно максимум при А0 (или С>0); Если Δ
-
Неопределённый интеграл
-
Первообразная функция
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратназадаче дифференцирования: по заданной функции f(x) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x).
-
Неопределённый интеграл
Множество всех первообразных функции F(x)+С для f(x) называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом . Таким образом, по определению где C - произвольная постоянная; f(x) - подынтегральная функция; f(x) dx - подынтегральное выражение; x - переменная интегрирования; - знак неопределенного интеграла.
-
Свойства неопределённого интеграла
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
-
3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывной функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 5. Если , то и где u=φ(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную
-
Таблица неопределённых интегралов
-
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Метод непосредственного интегрирования
-
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):
-
Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку х = φ(t), где φ(t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ'(t)dtи на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
-
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям Формула дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
-
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной. Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида: где А, В, p, q, a- действительные числа.
-
Найдем интегралы от простейших дробей
-
Первый интеграл простейшей дроби IV типа в правой части равенства легко находится с помощью подстановки х2+px+q=t, а второй преобразуем так: Полагая х+р/2=t, dx=dtи обозначая q-p2/4=a2, получим
-
Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
Перед интегрированием рациональной дроби P(x)/Q(x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления: Если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде где М(х)-многочлен, а P1(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь; 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: где р2/4-q
-
3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби: 4) Вычислить неопределенные коэффициенты А1, А2, …, Аm, …, В1, В2, …, Вm, …, С1, С2, …, Сm, …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.
-
Интегрирование простейших иррациональных функций
Интегралы вида где R – рациональная функция; m1,n1,m2,n2,…- целые числа. С помощью подстановки ах+b=ts, где s- наименьшее общее кратное чисел n1,n2,…, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 2. Интеграл вида Такие интегралы путем выделения квадрата из квадратного трехчлена приводятся к табличным интегралам 15 или 16
-
3. Интеграл вида Для нахождения этого интеграла выделим в числителе производную квадратного трехчлена, стоящего под знаком корня, и разложим интеграл на сумму интегралов:
-
4.Интегралы вида С помощью подстановки х-α=1/t этот интеграл приводится к рассмотренному п.2 5. Интеграл вида где Рn(х) – многочлен n-й степени. Интеграл такого вида находится с помощью тождества где Qn-1(x) – многочлен (n-1)-й степени с неопределенными коэффициентами, λ-число. Дифференцируя указанное тождество и приводя результат к общему знаменателю, получим равенство двух многочленов, из которого можно определить коэффициенты многочлена Qn-1(x) и число λ.
-
6. Интегралы от дифференциальных биномов где m, n, p – рациональные числа. Как доказал П.Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях: р – целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от рационнальной функции с помощью подстановки х=ts, где s – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. (m+1)/n – целое число, в этом случае данный интеграл рационализируется с помощью подстановки a+bxn=ts; (m+1)/n+р – целое число, в этом случае к той же цели ведет подстановка ax-n+b=ts, где s – знаменатель дроби р.
-
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида где R – рациональная функция. Под знаком интеграла находится рациональная функция от синуса и косинуса. В данном случае применима универсальная тригонометрическая подстановка tg(x/2)=t, которая сводит этот интеграл к интегралу от рациональной функции нового аргумента t (таблица п.1). Существуют и другие подстановки, представленные в следующей таблице:
-
-
-
Определенный интеграл
-
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δхi стремится к нуль. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Теорема Коши. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определенный интеграл существует
-
Еслиf(x)>0 на отрезке [a;b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции- фигуры, ограниченной линиями у=f(x), x=a, x=b, y=0
-
Свойства определенного интеграла
-
-
Правила вычисления определенных интегралов
Формула Ньютона-Лейбница: где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F(x)‘= f(x). 2. Интегрирование по частям: где u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a;b].
-
3. Замена переменной где х=φ(t)– функция, непрерывная вместе со своей производной φ‘ (t)на отрезке α≤t≤β, a= φ(a), b= φ(β), f[φ(t)] – функция непрерывна на [α; β] 4. Если f(x) – нечетная функция, т.е. f(-x)=-f(x), то Если f(x) –четная функция, т.е. f(-x)=f(x), то .
-
Несобственные интегралы
Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций. Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от а до +бесконечности определяется равенством Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, - расходящимися Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a;b] и непрерывна при а≤х
-
При исследовании сходимости несобственных интегралов пользуются одним из признаков сравнения. 1. Если функции f(x) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке[a;А], где А≥а, и если 0≤f(x)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , причем 2.1 Если при х→+∞ функция f(x)≤0 является бесконечно малой порядка р>0 по сравнению с 1/х, то интеграл сходится при р>1 и расходится при р≤1. 2.2 Если функция f(x)≥0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х
-
Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x) [f(x)≥0], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси ОХ вычисляется по формуле Площадь фигуры, ограниченной кривой у=f1(x) и у=f2(x) [f1(x)≤f2(x)] и прямыми x=a и x=b находится по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a;b] оси ОХ вычисляется по формуле где t1 и t2 определяются из уравнения а=х(t1), b=х(t2) [y(t)≥0 при t1≤t≤t2] Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α
-
Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая у=f(x) на отрезке [a;b] – гладкая (т.е. производная у’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле При параметрическом задании кривой х=х(t), у=у(t) [х(t) и у(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая, монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ), α≤θ≤β, то длина дуги равна .
-
Вычисление объема тела
1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскость, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S=S(х) (a≤x≤b), объем части тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями x=a и x=b, находится по формуле 2. Вычисление объема тела вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) и прямыми у=0, x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле Если фигура, ограниченная кривыми у1=f1(x) и у2=f2(x) [0≤f1(x)≤f2(x)] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тема вращения равен .
-
Вычисление площади поверхности вращения
Если дуга гладкой кривая у=f(x) (a≤х≤b) вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле Если кривая задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t) (t1≤t≤t2), то .
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения
-
Основные понятия
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным, если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
-
Уравнение первого порядка
Функциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y(x), называетсядифференциальнымуравнениемпервогопорядка. Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает его в тождество относительно x.
-
Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,C)=0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
-
Уравнение, разрешенное относительно производной
Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.
-
Постановка задачи Коши
Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при ,называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка. Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку .
-
Уравнение с разделяющимисяпеременными
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют.
-
Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y= или к виду где и – однородные функции одного порядка .
-
Линейные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит уи у‘ в первой степени, т.е. имеет вид . Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.
-
Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид , где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки
-
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.
-
Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.
-
Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и .
-
Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки , Уравнение , не содержащее х, решают заменой , .
-
Линейные однородныеуравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .
-
Свойства решений линейного однородного уравнения
Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения , то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.
-
Теорема 2. Если и -решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и -решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.
-
Линейно зависимые и линейно независимые функции
Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и ,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.
-
Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.
-
Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка
Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2-го порядка, то их линейная комбинация где и -произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
-
Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения . Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.