Презентация на тему "Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения

  Презентацию подготовил студент 12 группы ГБОУ СО НПО Петров Владимир .

• 
  Слайд 2
  

  Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

• 
  Слайд 3
  

  Комбинаторные задачи делятся на несколько групп: Задачи на перестановки Задачи на размещение Задачи на сочетание

• 
  Слайд 4

  Задачи на перестановки

  Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке? Это задача на перестановки

• 
  Слайд 5
  

  Запись n! читается так:«эн факториал» Факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n Например, 4! = 1*2*3*4 = 24 n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

• 
  Слайд 6
  

  Факториалы растут удивительно быстро:

• 
  Слайд 7
  

  Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

• 
  Слайд 8
  

  Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке. Pn = 1 · 2 · 3 · ... · n. Pn=n!

• 
  Слайд 9
  

  Задача. Квартет Проказница Мартышка Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть… Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов? P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

• 
  Слайд 10

  Задачи на размещения

• 
  Слайд 11
  

  Задача: У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги? Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60. Это задача на размещения.

• 
  Слайд 12
  

  Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

• 
  Слайд 13
  

  Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета? A49 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

• 
  Слайд 14
  

  Решите самостоятельно: В классе 27 учащихся. Нужно отправить одного учащегося за мелом, второго дежурить в столовую, а третьего вызвать к доске. Сколькими способами можно это сделать?

• 
  Слайд 15

  Задачи на сочетания:

  Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг? Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения. 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 ответ: 10 Это задача на сочетания

• 
  Слайд 16
  

  Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

• 
  Слайд 17
  

  Задача. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? C72 = = 21

• 
  Слайд 18
  

  Решите самостоятельно: В классе 7 учащихся успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать двоих из них, чтобы направить для участия в математической олимпиаде?

• 
  Слайд 19
  

  Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…» или «Сколько вариантов…»

• 
  Слайд 20
  

  Составим таблицу:

• 
  Слайд 21
  

  Решите самостоятельно задачи:  1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров. Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета? 2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге. 3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

• 
  Слайд 22

  Спасибо за урок!