Презентация на тему "Преобразования Лапласа"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Преобразования Лапласа

• 
  Слайд 2

  Определение

  Преобразова́ниеЛапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

• 
  Слайд 3

  Особеностиданого преобразования

  Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

• 
  Слайд 4

  Прямое преобразование Лапласа

  Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной f(t) называется функция F(s) комплексной переменной , такая что:

• 
  Слайд 5

  Обратное преобразование Лапласа

  Обратным преобразованием Лапласа функциикомплексного переменного F(s) , называется функция f(t) вещественной переменной, такая что: где  — некоторое вещественное число.Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

• 
  Слайд 6

  Двустороннее преобразование Лапласа

  Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции f(x) участвуют значения x

• 
  Слайд 7

  Дискретное преобразование Лапласа

  Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций. Различают D-преобразование и Z-преобразование.

• 
  Слайд 8

  D-преобразование

  Пусть — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времениnTгде n – целое число, а T - период дискретизации. Тогда применяя преобразование Лапласа получим:

• 
  Слайд 9

  Z - преобразование

  Если применить следующую замену переменных:получим Z- преобразование:

• 
  Слайд 10

  Абсолютная сходимость

  Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел то он сходится абсолютно и равномерно для F(s) и  — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплекснойпеременной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).

• 
  Слайд 11

  Условия существования прямого преобразования Лапласа

  Преобразование Лапласасуществует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях: 1. преобразование Лапласа существует, если существует интеграл 2. преобразование Лапласа существует, если интегралсуществует для каждого конечного и для 3.или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции производная к f(x) для

• 
  Слайд 12

  Теорема о свёртке

  Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

• 
  Слайд 13
  

  Умножение изображенийЛевая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем

• 
  Слайд 14

  Дифференцирование и интегрирование оригинала

  Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа: В более общем случае (производная n -го порядка): Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

• 
  Слайд 15

  Дифференцирование и интегрирование изображения

  Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком: Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

• 
  Слайд 16

  Запаздывание оригиналов и изображений

  Запаздывание изображения: Запаздывание оригинала:

• 
  Слайд 17

  Предельные теоремы

  Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы): , все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• 
  Слайд 18

  Преобразование Фурье

  Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.