Презентация на тему "Производная и дифференциал"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Лекция 5. Производная и дифференциал

  26 октября 2019 г. 5-1 Определение производной 5-2 Нахождение производных 5-3 Производные элементарных функций 5-4 Дифференциал функции

• 
  Слайд 2

  Эпиграф

  Какой знак имеет производная от настроения по расстоянию до кресла зубного врача? П.В.Грес

• 
  Слайд 3

  5-1. Производная

  26 октября 2019 г. Определение Геометрический смысл Механический смысл

• 
  Слайд 4

  Определение производной

  Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: x x 0 y x+x y=f (x) f (x) f (x+ x)  y x

• 
  Слайд 5

  Лагранж Жозеф Луи

  Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской и Парижской Академии наук. Самостоятельной изучал математику, в 23 года стал академиком. Сделал массу открытий. Парижская АН пять раз присуждала ему премии. В математике и механике его именем названы несколько методов, формул и теорем. Термин «производная» введен Лагранжем на рубеже 18-19 веков. Производная – произведенная, полученная по определенным правилам из данной функции.

• 
  Слайд 6

  Дифференцируемая функция

  Нахождение производной называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке x имеет конечную производную, то функцию называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

• 
  Слайд 7

  Четыре обозначения для производной

  Лагранжа(читается «игрек штрих») Лейбница(читается «дэ игрек по дэ икс») Ньютона(читается «игрек с точкой») Коши(читается «дэ игрек»)

• 
  Слайд 8

  Геометрический смысл производной

  Для функции y = f (x) ее производная y' = f '(x) в точке x0 есть угловойкоэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке x0. x x 0 y x+x y=f (x) f (x) f (x+ x)  y x M M1   При x0 точка M1переходит в точку M и секущая MM1становится касательной к кривой f(x) в точке M.

• 
  Слайд 9

  Механический смысл производной

  Для функции y = f (x), меняющейся со временем x, производная y' = f '(x) есть скорость изменения y в момент x0. Пройденный путь sзависит от времени t: s = s(t). Скорость: Ускорение:

• 
  Слайд 10

  Лейбниц Готфрид Вильгельм

  Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк, экономист, дипломат, языковед, член Лондонского королевского обществаи Парижской Академии наук, основатель Берлинской Академии наук. В 18 лет защитил магистерскую диссертацию по философии, в 20 лет стал доктором права. Является одним из создателей математического анализа, алгебры определителей, дифференциального и интегрального исчислений.

• 
  Слайд 11

  Ньютон Исаак

  Ньютон Исаак (1643-1727) – английский физик и математик, член Лондонского королевского общества (с 1672) и его президент (с 1703). Им начато построение математического анализа на основе учения о пределе, подготовлены основы для дифференциального и интегрального исчисления. В физике обосновал справедливость закона всемирного тяготения, законы движения, теорию света и др.

• 
  Слайд 12

  Непрерывность и дифференцируемость

  Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке xDf, то в этой точке функция непрерывна. Доказательство. Если существует производная, тогда Это означает, что функция в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно. 

• 
  Слайд 13

  5-2. Нахождение производных

  26 октября 2019 г. Схема нахождения производной Правила дифференцирования Производная сложной и обратной функций Производная неявной функции

• 
  Слайд 14

  Нахождение производной по определению

  1. Для фиксированного значения x аргумента функции находится исходное значение функции y = f (x). 2. Аргументу x дается приращение x и находится новое значение функции f (x + x). 3. Вычисляется приращение функции y =f (x + x)– f (x). 4. Находится предел отношения:

• 
  Слайд 15

  Производная постоянной

  Функция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции y = f (x) = C. 2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)= C. 3. Вычисляем приращение функции: y =f (x + x)– f (x)= C – C = 0. 4. Находим предел отношения:

• 
  Слайд 16

  Производная x2

  Функция: 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции y = f (x) = x2. 2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции f (x + x)=(x + x)2. 3. Вычисляем приращение функции: y =f (x + x)– f (x)= x2 + 2xx + x2 –x2. 4. Находим предел отношения:

• 
  Слайд 17

  Производная суммы

  Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных: Доказательство. 

• 
  Слайд 18

  Производная произведения

  Производная произведения двух дифференцируемых функций находится по формуле: Доказательство. 

• 
  Слайд 19

  Производная частного

  Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле: Доказательство. Самостоятельно.

• 
  Слайд 20

  Производная сложной функции

  Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть дифференцируемая функция от x, то производная сложной функции существует и равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции: Доказательство. 

• 
  Слайд 21

  Производная обратной функции

  Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции: Здесь y=f (x) и x=g (y) – две взаимно-обратные дифференцируемые функции, y'x  0. Доказательство. 

• 
  Слайд 22

  Производная неявной функции

  Если F(x, y) = 0,не разрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию x, то y называют неявной функцией (implicit function) отx. Чтобы найти производную y' этой неявной функции, нужно уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от x. Из полученного уравнения выразить y'. Пример. Ответ.

• 
  Слайд 23

  Производные высших порядков

  Функция f'(x) есть производная первого порядка функции f(x). Ее производная есть производная второго порядка: ( f'(x))' = f'' (x) Производная n –го порядка обозначается f(n)(x) и находится как производная от функции f(n-1)(x).

• 
  Слайд 24

  5-3. Производные элементарных функций

  26 октября 2019 г. Производные логарифмической функции Производная показательной функции Производная степенной функции Производные тригонометрических функций Таблица производных

• 
  Слайд 25

  Производная логарифмической функции

  Функция: Производная: Доказательство. 1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции: 2. Аргументу x даем приращение x и находим новое значение функции:

• 
  Слайд 26
  

  3. Вычисляем приращение функции: 4. Находим предел отношения:

• 
  Слайд 27

  Производная логарифмической функции

  Функция: Производная: Доказательство: самостоятельно

• 
  Слайд 28

  Производная показательной функции

  Функция: Производная: Доказательство. Обратная функция: Находим, как производную обратной функции:

• 
  Слайд 29
  

  Функция: Производная: Доказательство. Самостоятельно.

• 
  Слайд 30

  Производная степенной функции

  Функция: Производная: Доказательство. Логарифмируем обе части равенства Дифференцируем:

• 
  Слайд 31

  Производные тригонометрических функций

  Функция: Производная: Доказательство.

• 
  Слайд 32
  

  Функция: Производная: Функция: Производная: Доказательство. Самостоятельно.

• 
  Слайд 33

  Таблица производных

  Функция Производная И так далее…

• 
  Слайд 34

  5-4. Дифференциал

  26 октября 2019 г. Определение Геометрический смысл Свойства

• 
  Слайд 35

  Приращение функции

  Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки x X. Тогда существует конечная производная: На основании теоремы о связи предела и б.м. можно записать:

• 
  Слайд 36

  Дифференциал

  Дифференциал функции (differential) есть главная (линейная) часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента: Или Дифференциал Если x – независимая переменная, то x=dx

• 
  Слайд 37

  Пример нахождения дифференциала

  Найти дифференциал для функции: Решение. Находим производную: А затем дифференциал:

• 
  Слайд 38

  Геометрический смысл

  Геометрически дифференциал есть приращение функции до касательной. x x 0 y x+x y=f (x) f (x) f (x+ x)  y x dy 

• 
  Слайд 39

  Свойства

  1. Дифференциал постоянной: 2. Дифференциал суммы: 3. Дифференциал произведения: 4. Дифференциал частного: Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.

• 
  Слайд 40

  Дифференциал истории

  Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно. Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица. Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Л. Н. Толстой «Война и мир» Обещанное продолжение …

• 
  Слайд 41
  

  Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого-нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе. Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна. Только допустив бесконечно-малую единицу для наблюдения - дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно-малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории. Л. Н. Толстой «Война и мир» Продолжение …