Презентация на тему "Тема№6 Квантова механіка системи тотожних частинок"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Тема№6 Квантова механіка системи тотожних частинок

  На відміну від макроскопічних тіл, однотипні частинки мікросвіту (електрони, протони, нейтрони) мають зовсім однакові властивості: у них однакова маса, електричний заряд і т.д. У зв'язку з цим виникає питання, як відрізнити одну частинку від іншої такої ж частинки. Візьмемо як приклад систему, що складається з двох електронів 1 і 2. З класичної точки зору електрон рухається по певній траєкторії, так що принципово можливо простежити за рухом кожного електрона й у якийсь наступний момент часу визначити, це електрон 1 чи 2, тобто з викладеної точки зору однакові частинки принципово можуть бути розрізнені (рис. 6.1). Зовсім інакше обстоїть справа з погляду квантової механіки, що відкидає класичне уявлення про рух частинки по траєкторії. Стан системи частинок описується в квантовій механіці хвильовою функцією, який дається ймовірністна інтерпретація, у даному випадку вона є функцією часу і координат обох електронів. Знайшовши в якийсь момент часу один з електронів, принципово неможливо вирішити, чи буде це електрон 1 чи електрон 2. 1 2 Рис. 6.1 Класична система з двох електронів 1

• 
  Слайд 2

  ПРИНЦИП ТОТОЖНОСТІ ОДНАКОВИХ ЧАСТИНОК

  Якщо дві однакові частинки поміняти місцями, то результат такого обміну ніяк не можна знайти експериментально, тобто при перестановці двох однакових частинок не виникає нового стану системи. Однакові частинки принципово нерозрізнені. Можна говорити про стан системи однакових частинок тільки в цілому, а не про стан кожної частинки окремо. Це положення можна сформулювати у вигляді принципу тотожності однакових частинок: у системі однакових частинок реалізуються тільки такі стани, що не змінюються при перестановці місцями двох будь-яких частинок. 2 Рис. 6.2 Розподіл електричного заряду в атомі He (1s2)

• 
  Слайд 3

  СИМЕТРИЧНІ ТА АНТИСИМЕТРИЧНІ ХВИЛЬОВІ ФУНКЦІЇ

  Хвильова функція системи двох частинок має вигляд . У випадку безспінових частинок під q1 варто розуміти сукупність трьох просторових координат першої частинки, а під q2 – другої. Якщо ж частинка володіє спіном, то до трійки просторових координат варто ще додати спінові координати, наприклад, у випадку електронів проекція спіна може приймати два значення: . Якщо при перестановці частинок хвильова функція не змінюється, вона називається симетричною: (6.1) Якщо вона змінює знак на протилежний, то називається антисиметричною: (6.2) 3 Для систем з багатьма частинками, симетрія чи антисиметрія хвильової функції має місце при перестановці будь-яких двох однакових частинок.

• 
  Слайд 4

  БОЗОНИ І ФЕРМІОНИ

  Частинки, стан яких описується симетричними хвильовими функціями, називаються бозе-частинками чи бозонами. До бозонів належать частинки з цілим значанням спіну (фотони, фонони). Частинки ж, описувані антисиметричними хвильовими функціями, називаються фермі- частинками чи ферміонами. До ферміонів належать частинки з напівцілим значенням спіну(електрони, протони). Такі назви прийняті тому, що системи, що складаються з бозонів, підкоряються статистиці Бозе- Ейнштейна, що має вигляд: (6.3) -деЕF - максимальна енергія частинок при Т=0 (енергія Фермі) Функція розподілу Фермі- Дірака має вигляд: (6.4) Функції, описувані рівняннями (6.3), (6.4), являють собою розподіл частинок по енергіях при Т=0 і при Т>0. 4

• 
  Слайд 5

  ПОРІВНЯННЯ ЗІ СТАТИСТИКОЮ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА

  Таким чином, системи, що складаються з електронів, підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Якби електронний газ був подібний до ідеального, то при температурі металу Т кожен електрон у середньому придбав би теплову енергію порядку kT. Однак навіть при досить високих температурах електрони не поводяться як частинки класичного газу, їхня теплова енергія мала навіть у порівнянні з максимальною енергією електронного газу при Т=0 К: При 20˚ С kT~0,025 еВ, а еВ. Звідси випливає, що електронний газ відрізняється від класичного і не підкоряється статистиці розподілу частинок Максвела-Больцмана: (6.5) - де f0 -функція розподілу молекул газу, що визначає середнє число молекул, що мають енергію Е. 5

• 
  Слайд 6
  

  Оскільки середня кінетична енергія електронів, відповідно до статистики Максвелла – Больцмана, знаходиться в залежності від температури: (6.5) то при Т=0 середня кінетична енергія електронного газу повинна дорівнювати нулю, а його частинки знаходитися в стані спокою. Однак енергія електронів, як уже було показано раніше, не дорівнює нулю при Т=0. Отже, електронний газ підкоряється іншій статистиці. У статистиці Фермі – Дірака тверде тіло розглядається як деяка квантова система, в якій частинки розміщуються по різних енергетичних станах, а функція їхнього розподілу відповідає рівноважному (наймовірнішому) стану системи. Таким чином, функція розподілу характеризує ступінь імовірності заповнення електронами конкретного квантового стану. Енергетично цілком заповненому рівню відповідає значення f =1, цілком порожньому – f =0, а проміжне значення f - стану, заповненому частково. 6

• 
  Слайд 7

  РОЗПОДІЛ ФЕРМІ-ДІРАКА ПРИ Т = 0

  Функція розподілу Фермі – Дірака буде мати наступний вигляд : при Т=0: при Е > ЕFпри Е

• 
  Слайд 8

  РОЗПОДІЛ ФЕРМІ-ДІРАКА ПРИ Т > 0

  Якщо при Т=0 усі рівні до рівня ЕF зайняті, то при підвищенні температури в результаті переходу електронів рівень Фермі виявиться частково зайнятим. При цьому ділянка ~kT нижче ЕF і вище EF рівні за площиною (рис. 6.4), що відбиває сталість кількості електронів в об’ємі незалежно від температури. При :при при при 8 Рис. 6.4 Розподіл Фермі-Дірака при Т>0 Таким чином, інше визначення енергії Фермі - це рівень, імовірність заповнення якого дорівнює . Поверхня Фермі, що різко відокремлює при T=0 зайняті рівні від вільних, унаслідок підвищення температури розмивається, тобто перестає бути чіткою границею між зайнятими і вільними станами

• 
  Слайд 9

  ВИРОДЖЕНИЙ І НЕВИРОДЖЕНИЙ ЕЛЕКТРОННИЙ ГАЗ

  В околиці T=0 електронний газ має зовсім відмінні властивості від класичного. При цих температурах він називається виродженим. При підвищенні температури виродження поступове знімається. Тому, ділянка 2-3 kT навколо рівня ЕF називається ділянкою часткового виродження. При енергія електронного газу стає настільки висока, що член і функція розподілу Фермі – Дірака перетворюється в розподіл Больцмана (6.5). Такий газ називають невиродженим, а температуру, при якій виродження знімається цілком, температурою виродження – ТВ . 9 Рис.6.5 Розподіл Больцмана

• 
  Слайд 10

  ЗВ‘ЯЗОК МІЖ СПІНОМ І СТАТИСТИКОЮ ДЛЯ СКЛАДНИХ ЧАСТИНОК

  Атом водню складається з двох фермі-частинок: протона й електрона, спін кожної з яких дорівнює . Сумарний механічний момент, тобто спін атома водню в нормальному стані може дорівнювати або 0 (спіни протона й електрона антипаралельні), або 1 (спіни паралельні). В обох випадках атом водню в нормальному стані буде бозоном. Ядро атома гелію , тобто α- частинка, складається з двох протонів і двох нейтронів. Спін цього ядра дорівнює 0, тобто воно є бозоном. Бозоном буде і сам атом гелію у нормальному стані. Але ядро складається з непарного числа (3) частинок з напівцілими спінами : двох протонів і одного нейтрона. Спін цього ядра непарний, тобто така частинка буде ферміоном.Ферміоном буде і сам атом . Таким чином, ядра й атоми підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна, а ядра й атоми - статистиці - Фермі - Дірака. 10

• 
  Слайд 11

  ЗАСТОСУВАННЯ ПРИНЦИПІВ СИМЕТРІЇ ТА АНТИСИМЕТРІЇ

  Нехай функція описує стан першої частинки з енергією Е1, а функція - стан другої частинки з енергією Е2. Рішення рівняння Шредингера в цьому випадку буде мати вигляд: (6.6) У силу тотожності частинок функція також є рішенням цього рівняння. Однак жодна з цих функцій не задовольняє принципу симетрії чи антисиметрії. Але з них можна скласти лінійні комбінації з постійними коефіцієнтами, що також є рішеннями рівняння Шредингера. Серед цих комбінацій є симетрична функція: (6.7) і антисиметрична:(6.8) Стан, описуваний функцією , може дійсно реалізуватися в природі у випадку системи двох однакових бозонів, а стан, описуваний функцією - у випадку системи двох однакових ферміонів. 11

• 
  Слайд 12

  ПРИНЦИП ЗАБОРОНИ ПАУЛЯ

  З формули (6.8) випливає, що у випадку однакових частинок функція обертається в нуль, що фізично не відповідає ніякому стану. Таким чином, у системі тотожніх ферміонів не може бути двох частинок, що знаходяться в одному й тому ж самому стані. Це положення називається принципом заборони Паулі. Що стосується бозонів, то на їхній стан принцип симетрії хвильових функцій не накладає ніяких обмежень, аналогічних забороні Паулі. В одному стані може знаходитися будь-яке число однакових бозонів. Це безпосередньо видно з виразу (6.7) для хвильових функцій таких бозонів. 12