Презентация на тему "Теория нечетких множеств"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теория нечетких множеств

  к..ф.-м.н., доцент Семёнова Дарья Владиславовна

• 
  Слайд 2
  

  2 Лотфи Аскер Заде (в научных работах обычно Лотфи Задеили Лотфи А. Заде, азерб. LütfiƏsgər Zadə— Лютфи Аскер Заде, англ. LotfiAskerZadeh— Лотфи А. Заде)— американский математик, основатель теории нечётких множеств и нечёткой логики, профессор Калифорнийского университета (Беркли).

• 
  Слайд 3
  

  3 Биография Родился 4 февраля 1921 в Баку как ЛютфиАлескерзаде (или Аскер Заде). Отец (РагимАлескерзаде, журналист по профессии) был азербайджанцем и иранским подданным, мать (Фаня Кориман, врач-педиатр по профессии) — российского еврейского происхождения. Учился в русской бакинской школе, в детстве много читал — как классические произведения русской литературы, так и мировую классику в русских переводах. С 1932 года жил в Иране, на протяжении 8 лет учился в Американском колледже Тегерана (впоследствии известном как Alborz — миссионерской пресвиторианской школе с персидским языком обучения), затем на электроинженерном факультете в Тегеранском университете (окончил в 1942 году). Уже в школе познакомился со своей будущей женой Фаней Занд (в замужестве Фэй Заде, род. 1920) из семьи двинских евреев, бежавших из Германии в Тегеран после прихода к власти нацистов. Много лет спустя Фэй Заде стала автором наиболее полной биографии своего мужа — «Моя жизнь и путешествия с отцом нечёткой логики» (MyLifeandTravelswiththeFatherofFuzzyLogic, 1998). После окончания университета Лотфи А. Заде работал вместе с отцом поставщиком стройматериалов для дислоцированных в Иране американских войск, переехал в Соединенные Штаты в июле 1944 года и в сентябре поступил в Массачусетсский технологический институт (получил диплом магистра в области электрической инженерии в 1946 году). Родители Лотфи Заде в это время жили в Нью-Йорке, где он поступил в аспирантуру Колумбийского университета, а после защиты диссертации в 1949 году остался там же ассистентом на инженерном отделении. С 1959 года работает в Калифорнийском университете (Беркли). Опубликовал основополагающую работу по теории нечётких множеств в 1965, в которой изложил математический аппарат теории нечётких множеств. В 1973 предложил теорию нечёткой логики, позднее — теорию мягких вычислений (softcomputing), а также — теорию вербальных вычислений и представлений (computingwithwordsandperceptions). Дочь Лотфи А. Заде — Стелла Заде (27 июля 1947, Нью-Йорк — 7 июня 2006, Санта Барбара, Калифорния) — журналистка (её муж, Дэвид Л. Герш — адвокат и известный писатель). Сын — Норман Заде, также известный как Норм Зада (NormZada) — математик в области информатики, профессиональный игрок в покер, издатель эротического журнала для мужчин Perfect 10;автор пособия по игре в покер (WinningPokerSystems, 1974).

• 
  Слайд 4
  

  4

• 
  Слайд 5
  

  5 Неопределенность Нечеткость НЕДЕТЕРМИНИРОВАННОСТЬ

• 
  Слайд 6
  

  6 Характеристическая функция или индикатор множества

• 
  Слайд 7
  

  7

• 
  Слайд 8
  

  8

• 
  Слайд 9
  

  9

• 
  Слайд 10
  

  10

• 
  Слайд 11
  

  11

• 
  Слайд 12
  

  12

• 
  Слайд 13
  

  13

• 
  Слайд 14
  

  14

• 
  Слайд 15
  

  15

• 
  Слайд 16
  

  16

• 
  Слайд 17
  

  17

• 
  Слайд 18
  

  18

• 
  Слайд 19
  

  19

• 
  Слайд 20
  

  20 Отношения НМ Включение:

• 
  Слайд 21
  

  21 Эквивалентность: Отношения НМ

• 
  Слайд 22
  

  22 Операции над множествами

• 
  Слайд 23
  

  23 Операции над НМ по Заде Дополнение НМ

• 
  Слайд 24
  

  24 Операции над НМ по Заде Дополнение НМ

• 
  Слайд 25
  

  25 Операции над НМ по Заде Объединение НМ

• 
  Слайд 26
  

  26 Операции над НМ по Заде Лемма

• 
  Слайд 27
  

  27 Операции над НМ по Заде

• 
  Слайд 28
  

  28 Операции над НМ по Заде Пересечение НМ

• 
  Слайд 29
  

  29 Операции над НМ по Заде Лемма

• 
  Слайд 30
  

  30 Операции над НМ по Заде

• 
  Слайд 31
  

  31 Операции над НМ по Заде Разность НМ

• 
  Слайд 32
  

  32 Операции над НМ по Заде

• 
  Слайд 33
  

  33 Операции над НМ по Заде Дизъюнктивная сумма (Симметрическая разность) НМ

• 
  Слайд 34
  

  34 Операции над НМ по Заде

• 
  Слайд 35
  

  35 Операции над НМ по Заде Наглядное представление

• 
  Слайд 36
  

  36 Операции над НМ по Заде Наглядное представление

• 
  Слайд 37
  

  37 Операции над НМ по Заде Наглядное представление

• 
  Слайд 38
  

  38 Операции над НМ по Заде Наглядное представление

• 
  Слайд 39
  

  39 Операции над НМ по Заде Свойства операций

• 
  Слайд 40
  

  40 Операции над НМ по Заде Свойства операций

• 
  Слайд 41
  

  41 Операции над НМ по Заде Свойства операций

• 
  Слайд 42
  

  42 Операции над НМ по Заде Возведение НМ в степень

• 
  Слайд 43
  

  43 Операции над НМ по Заде Произведение НМ на число Выпуклая комбинация НМ

• 
  Слайд 44
  

  44 Треугольная норма (T1) –(T4) Граничные условия:

• 
  Слайд 45
  

  45 Треугольные нормы Монотонность по обеим компонентам следует из (T3)и (T1)

• 
  Слайд 46
  

  46 Треугольные конормы (S1) –(S4) Граничные условия:

• 
  Слайд 47
  

  47 Треугольные нормы и конормы: примеры

• 
  Слайд 48
  

  48 Треугольные нормы и конормы: примеры

• 
  Слайд 49
  

  49 Треугольные нормы и конормы: примеры

• 
  Слайд 50
  

  50 Треугольные нормы и конормы: примеры

• 
  Слайд 51
  

  51 Треугольные нормы и конормы: примеры

• 
  Слайд 52
  

  52 Треугольные нормы и конормы

• 
  Слайд 53
  

  53 Треугольные нормы и конормы

• 
  Слайд 54
  

  54 Треугольные нормы : пример для НМ

• 
  Слайд 55
  

  55 Треугольные нормы : пример для НМ

• 
  Слайд 56
  

  56 Треугольные нормы : пример для НМ

• 
  Слайд 57
  

  57 Треугольные нормы : пример для НМ

• 
  Слайд 58
  

  58 Треугольные нормы : пример для НМ

• 
  Слайд 59
  

  59 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 60
  

  60 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 61
  

  61 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 62
  

  62 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 63
  

  63 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 64
  

  64 Треугольные нормы и конормы: параметрические классы

• 
  Слайд 65
  

  65 Отрицание

• 
  Слайд 66
  

  66 Отрицание

• 
  Слайд 67
  

  67 Отрицание m классическое Сугено, k = 3 квадратичное

• 
  Слайд 68
  

  Тройки де Моргана

• 
  Слайд 69
  

  Основные операции

• 
  Слайд 70
  

  Основные операции

• 
  Слайд 71
  

  Степень НМ

• 
  Слайд 72
  

  72 Выпуклая комбинация A B 0.25A+0.75B

• 
  Слайд 73
  

  Декартово произведение A B AB

• 
  Слайд 74
  

  Оператор увеличения нечеткости

• 
  Слайд 75
  

  Оператор увеличения нечеткости

• 
  Слайд 76
  

  Множество уровня  (сечение )

• 
  Слайд 77
  

  Множество уровня  (сечение )

• 
  Слайд 78
  

  Множество уровня  (сечение ) Сильное сечение Слабое сечение Свойства - любая выпуклая комбинация НМ Для операций по Заде ДляTpи Sp

• 
  Слайд 79
  

  Теорема о декомпозиции Доказательство

• 
  Слайд 80
  

  Теорема о декомпозиции

• 
  Слайд 81
  

  Теорема о декомпозиции: примеры 1. 2.

• 
  Слайд 82
  

  82 Принцип обобщения Заде Принцип обобщения как одна из основных идей теории нечетких множеств носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения на класс нечетких множеств.

• 
  Слайд 83
  

  83 Отображение множества намножество : Значение на элементе называют образом элемента Образом множества при отображении называют множество Прообраз Принцип обобщения Заде: чёткое отображение чёткого множества

• 
  Слайд 84
  

  84 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества - заданное чёткое отображение, - некоторое нечеткое подмножество множества с функцией принадлежности В соответствии с принципом обобщения Заде образ при отображении определяется как нечеткое подмножество множества , представляющее собой совокупность пар вида где функция принадлежности образа где

• 
  Слайд 85
  

  85 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества =x2

• 
  Слайд 86
  

  86 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества =x2 0 1 4 9 16 {0} 1 {-1, 1} 0.9 {-2, 2} 0.7 {-3, 3} 0.3 {-4, 4} 0.1

• 
  Слайд 87
  

  87 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества

• 
  Слайд 88
  

  88 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества

• 
  Слайд 89
  

  89 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества

• 
  Слайд 90
  

  90 Принцип обобщения Заде: чёткое отображение нечеткого множества

• 
  Слайд 91
  

  Нечеткое отображение можно описать как отображение , при котором элементу ставится в соответствие не конкретный элемент множества , а нечеткое подмножество . 91 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества

• 
  Слайд 92
  

  92 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Функция при фиксированном есть функция принадлежности нечеткого множества в , представляющего собой нечеткий образ элемента при данном отображении . Образом четкого множества при нечетком отображении будет объединение образов его элементов:

• 
  Слайд 93
  

  93 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества A ={a,c,d}

• 
  Слайд 94
  

  94 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества y

• 
  Слайд 95
  

  95 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Образ точки x=2

• 
  Слайд 96
  

  96 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение чёткого множества Образ множества [-1,1]

• 
  Слайд 97
  

  97 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Пусть - заданное нечеткое отображение, - заданное нечеткое множество в . В соответствии с принципом обобщения Заде образ при отображении определяется как совокупность пар вида где при каждом фиксированном представляет собой нечеткое подмножество множества

• 
  Слайд 98
  

  98 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Образом нечеткого множества при нечетком отображении будет объединение образов его элементов:

• 
  Слайд 99
  

  99 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества

• 
  Слайд 100
  

  100 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества y

• 
  Слайд 101
  

  101 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества

• 
  Слайд 102
  

  102 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Образ нечеткого множества

• 
  Слайд 103
  

  103 Принцип обобщения Заде: нечёткое отображение нечёткого множества Нечеткое множество и его образ

• 
  Слайд 104
  

  104 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества Прообразом нечеткого множества в при нечетком отображении называется объединение всех нечетких множеств, образыкоторых при этом отображении принадлежат (являются подмножествами)множеству .

• 
  Слайд 105
  

  105 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 106
  

  106 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества Теорема. Пусть Тогда прообраз нечеткого множества в при нечетком отображении описывается функцией принадлежности

• 
  Слайд 107
  

  107 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 108
  

  108 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 109
  

  109 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества ={(C,u), (D,u), (B,v), (C,v), (D,w)} NA = NB ={v} NC ={u,v} ND ={u,w} ={B, C, D}

• 
  Слайд 110
  

  110 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 111
  

  111 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 112
  

  112 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 113
  

  113 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 114
  

  114 Принцип обобщения Заде: прообраз нечёткого множества

• 
  Слайд 115
  

  115 Показатель размытости: подходы к определению Интерпретация как показателя внутренней неопределенности, двусмысленности, противоречивости, обусловленных неполной, частичной принадлежностью объектов множеству. Интерпретация как меры отличия нечеткого множества от обычного множества. Существование нетривиального показателя размытости, удовлетворяющего определенным свойствам, напрямую зависит от свойств алгебры нечетких множеств и характеризует ее как алгебраическую структуру.

• 
  Слайд 116
  

  116 Показатель размытости: подходы к определению A. De Luca, S. Termini, A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory, Information and Control 20 (1972) 301–312 Bart Kosko, Fuzzy Entropy and Conditioning, Information Sciences 40 (1986) 165–174 S. Al-Sharhan, F. Karray, W. Gueaieb, O. Basir, Fuzzyentropy: abriefsurvey // The 10th IEEE International Conference on FuzzySystems, 2001.Vol. 3 (S. l., 2001) 1135–1139.

• 
  Слайд 117
  

  117 Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Аксиомы Де Луки и Термини: энтропия равна 0 только для четкого множества; 2. энтропия максимальна при значениях функций принадлежности 0,5; 3. для более нечеткого множества энтропия всегда больше, чем для менее нечеткого; 4. для нечеткого множества и его дополнения (отрицания) энтропия одинакова.

• 
  Слайд 118
  

  118 Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Глобальный показатель размытости нечеткого множества     определим в виде функционала    , удовлетворяющего следующим условиям: Показатель размытости - аддитивный, симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на множестве         всех нечетких подмножеств множества    

• 
  Слайд 119
  

  119 Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Утверждение. Вещественный, определенный на            функционал является показателем размытости тогда и только тогда, если он допускает представление                                                   где                  вещественнозначные функции от          такие, что строго возрастает на интервале     и       — число элементов множества                                       .

• 
  Слайд 120
  

  120 Аксиоматический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Логарифмическая энтропия нечетких множеств где    — функция Шеннона

• 
  Слайд 121
  

  121 Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Метрика – функция расстояния. Аксиома тождества Аксиома неотрицательности Аксиома симметричности Неравенство треугольника

• 
  Слайд 122
  

  122 Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Виды расстояний между нечеткими множествами

• 
  Слайд 123
  

  123 Множеством, ближайшим к нечеткому множеству     , называется обычное множество      такое, что        Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества Максимально размытое множество                                    

• 
  Слайд 124
  

  124 Метрический показатель размытости мера отличия нечеткого множества от ближайшего к нему обычного множества; расстояние до максимального размытого множества расстояние между нечетким множеством и его дополнением. Метрический подход к определению показателя размытости нечеткого множества