Презентация на тему "Математическая статистика"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Математическая статистика

• 
  Слайд 2

  Задачи математической статистики

• 
  Слайд 3
  

  Оценка неизвестной функции распределения. Оценка неизвестных параметров распределения. Статистическая проверка гипотез.

• 
  Слайд 4

  Выборочный метод. Генеральная совокупность. Выборка

• 
  Слайд 5
  

  Опр.Исследуемая совокупность объектов наз. генеральной совокупностью ( - очень велико, в некоторых случаях количество значений, образующих генеральную совокупность, можно считать и бесконечным).

• 
  Слайд 6
  

  Опр.Совокупность объектов , отобранных случайным образом из генеральной совокупности наз. выборочной совокупностью (выборкой), где Число наз. объемом выборки.

• 
  Слайд 7
  

  Метод основанный на том, что по выборочной совокупности выделенной из данной генеральной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности наз. выборочным методом

• 
  Слайд 8

  Виды выборок

• 
  Слайд 9

  Собственно-случайная

  Выборка образованная случайным выбором элементов без расчленения на части или группы.

• 
  Слайд 10

  Механическая

  Выборка, в которую элементы из генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. Например, если объем выборки должен составлять 10% (10%-я выборка), то отбирается каждый 10-й элемент.

• 
  Слайд 11

  Типическая

  Выборка, в которую случайным образом отбираются элементы из типических групп, на которые по некоторому признаку разбивается генеральная совокупность.

• 
  Слайд 12

  Серийная

  Выборка, в которую случайным образом отбираются не элементы, а целые группы совокупности(серии), а сами серии подвергаются сплошному наблюдению.

• 
  Слайд 13

  Способы образования выборки

• 
  Слайд 14

  Повторный отбор

  Каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран.

• 
  Слайд 15

  Бесповторный

  Отобранный элемент не возвращается в общую совокупность

• 
  Слайд 16
  

  Статистический ряд. Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения

• 
  Слайд 17
  

  Варианты: Вариационный ряд: или

• 
  Слайд 18
  

  Из генеральной совокупности извлечена выборка объема наблюдалась раз; наблюдалась раза; наблюдалась раза; ………………………………… наблюдалась раз. Причем .

• 
  Слайд 19
  

  Числа называются частотами. Числа , где наз. относительными частотами.

• 
  Слайд 20

  Статистическое распределение выборки

• 
  Слайд 21

  Полигон частот

• 
  Слайд 22
  
• 
  Слайд 23

  Полигон относительных частот

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25

  Эмпирическая функция распределения

• 
  Слайд 26
  

  Эмпирическая функция распределения это функция равная отношению числа вариант, меньших , к объему выборки: .

• 
  Слайд 27

  Свойства эмпирической функции распределения

• 
  Слайд 28
  

  1) 2) - неубывающая; 3) если наименьшая варианта, то при 4) если наибольшая варианта, то при

• 
  Слайд 29
  

  Пример. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию.

• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  
• 
  Слайд 32
  
• 
  Слайд 33

  Статистическая совокупность

• 
  Слайд 34
  
• 
  Слайд 35
  

  Число интервалов определяется по формуле Стерджеса

• 
  Слайд 36

  Гистограмма частот

• 
  Слайд 37
  

  Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность частот).

• 
  Слайд 38
  
• 
  Слайд 39
  

  Площадь гистограммы частот тогда

• 
  Слайд 40

  Гистограмма относительных частот

• 
  Слайд 41
  

  Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению (плотность относительных частот).

• 
  Слайд 42
  
• 
  Слайд 43

  Площадь гистограммы относительных частот

• 
  Слайд 44
  

  тогда

• 
  Слайд 45

  Статистические оценки параметров распределения

• 
  Слайд 46

  Точечные оценки

  Оценка, которая определяется одним число, наз. точечной.

• 
  Слайд 47

  Интервальные оценки

  Оценка, которая определяется двумя числами, являющимися концами интервала, содержащего неизвестный параметр, называется интервальной.

• 
  Слайд 48

  Свойства точечных оценок

• 
  Слайд 49

  Несмещенность

  Статистическая оценка наз. несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки:

• 
  Слайд 50

  Эффективность

  Статистическая оценка наз. эффективной, если она имеет наименьшую возможную дисперсию.

• 
  Слайд 51

  Состоятельность

  Статистическая оценка наз. состоятельной, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру :

• 
  Слайд 52
  

  Теорема. Если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка состоятельна. Док-во: Оценка параметра несмещенная, т.е. , поэтому при из неравенства Чебышева следует

• 
  Слайд 53
  

  Но при Значит при , для каждого фиксированного : а Но тогда при

• 
  Слайд 54

  Генеральная средняя

  или

• 
  Слайд 55

  Выборочная средняя

• 
  Слайд 56
  

  или

• 
  Слайд 57

  Генеральная дисперсия

• 
  Слайд 58
  

  или

• 
  Слайд 59

  Выборочная дисперсия

• 
  Слайд 60
  
• 
  Слайд 61
  
• 
  Слайд 62
  
• 
  Слайд 63
  

  Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной:

• 
  Слайд 64
  

  1.Рассмотрим выборочную среднюю, как случайную величину

• 
  Слайд 65
  
• 
  Слайд 66
  
• 
  Слайд 67
  

  т.е.

• 
  Слайд 68
  
• 
  Слайд 69

  2.Используем неравенство Чебышева:

• 
  Слайд 70
  

  Пусть тогда т.е. Значит выборочная средняя является статистической оценкой генеральной средней.

• 
  Слайд 71
  

  Выборочная дисперсия является смещенной оценкой:

• 
  Слайд 72
  
• 
  Слайд 73
  
• 
  Слайд 74
  

  Несмещенная оценка генеральной дисперсии - исправленная выборочная дисперсия:

• 
  Слайд 75

  Статистические характеристики

• 
  Слайд 76

  Мода

• 
  Слайд 77

  Медиана

• 
  Слайд 78

  Асимметрия

  Асимметрия распределения характеризуется тем, что вариант, меньших и больших моды неодинаковое число.

• 
  Слайд 79
  

  При асимметрия положительная; При асимметрия отрицательная.

• 
  Слайд 80
  

  Если , то распределение почти симметрично; если , то распределение сильно асимметрично.

• 
  Слайд 81

  Эксцесс

  Эксцесс характеризует крутовершинность кривой распределения.

• 
  Слайд 82
  

  Если , то распределение считается близким к нормальному; если , то распределение значительно отклоняется от нормального.

• 
  Слайд 83

  Метод произведений

  -условные варианты, -условный нуль.

• 
  Слайд 84
  
• 
  Слайд 85
  
• 
  Слайд 86
  
• 
  Слайд 87

  Статистическая проверка статистических гипотез

• 
  Слайд 88
  

  Нулевая гипотеза - выдвинутая гипотеза. Конкурирующая гипотеза - - гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе.

• 
  Слайд 89
  

  Простая гипотеза – гипотеза, содержащая одно предположение:

• 
  Слайд 90
  

  Сложная гипотеза – гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез:

• 
  Слайд 91
  

  Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Уровень значимости – вероятность совершить ошибку первого рода.

• 
  Слайд 92
  

  Статистический критерий - случайная величина, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемым значением - значение критерия, вычисленное по выборке.

• 
  Слайд 93
  

  Критическая область – совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Область принятия гипотезы - совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Критические точки - точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

• 
  Слайд 94
  

  Правосторонняя критическая область – критическая область определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

• 
  Слайд 95
  

  Левосторонняя критическая область – критическая область, определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

• 
  Слайд 96
  

  Двусторонняя критическая область – критическая область, определяющаяся неравенством: ищут, исходя из требования чтобы

• 
  Слайд 97
  

  Если распределение критерия симметрично относительно 0 и имеются основания выбрать симметричные относительно нуля точки: то Тогда заменится или

• 
  Слайд 98
  

  Доверительная вероятность (надежность)- вероятность с которой осуществляется неравенство , т.е. Доверительный интервал – интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .

• 
  Слайд 99
  

  Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .

  Число определяется из равенства

• 
  Слайд 100
  

  Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном

  Число определяется по таблице

• 
  Слайд 101
  

  Критерий согласия – критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Критерии согласия: ( хи квадрат) Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

• 
  Слайд 102

  Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

• 
  Слайд 103

  Критерий Пирсона

• 
  Слайд 104
  

  В качестве критерия проверки примем случайную величину где -эмпирические частоты; -теоретические частоты.

• 
  Слайд 105
  

  Строим правостороннюю критическую область, исходя из требования, что в предположении справедливости , где - уровень значимости; - число степеней свободы.

• 
  Слайд 106
  

  Число степеней свободы находят по формуле где - число групп(частичных интервалов) выборки; - число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки. Если предполагаемое распределение нормальное, то оценивают два параметра и тогда

• 
  Слайд 107
  

  Если обозначить , то при гипотезу принимают; при гипотезу отвергают.

• 
  Слайд 108

  Критерий согласия Колмогорова

• 
  Слайд 109
  

  Если функция распределения случайной величины непрерывна, то практически ее эмпирическая функция распределения при сходится к .

• 
  Слайд 110
  

  Если непрерывна, то функция распределения величины при имеет пределом функцию которая не зависит от вида функции

• 
  Слайд 111
  

  По таблице найдем значение функции и затем значение функции Если , то расхождение между эмпирическими и теоретическими функциями распределения несущественно, если , то расхождение существенно.

• 
  Слайд 112

  Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

• 
  Слайд 113
  

  В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем случайную величину , причем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

• 
  Слайд 114
  

  Величина при условии справедливости имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и где - объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия.

• 
  Слайд 115

  Элементы теории корреляции

• 
  Слайд 116

  Основные задачи теории корреляции

• 
  Слайд 117
  

  О форме корреляционной связи между и в виде некоторой функциональной зависимости, которая хотя бы приближенно изображала расплывчатую корреляционную зависимость. Об оценке тесноты корреляционной связи между и , т.е. о степени близости корреляционной зависимости к функциональной.

• 
  Слайд 118

  Регрессии

  Регрессией от называется функциональная зависимость между значениями и соответствующими условными средними значениями . Регрессии можно представить геометрически в виде ломанных линий, соединяющих или точки ( ; ), или точки ( ; ).

• 
  Слайд 119
  

  Эти линии называются эмпирическими (полученными из опыта) ломаными линиями регрессии. Плавную кривую можно получить и иначе, – если ломаную линию регрессии “сгладить” посредством какой-либо известной линии (прямой, параболы, гиперболы и т.п.). Уравнение сглаживающей линии даст хотя и приближенно, но аналитическое – в виде формулы – выражение регрессии. Подобные формулы называют эмпирическими

• 
  Слайд 120

  Задача отыскания эмпирической формулы распадается на две

• 
  Слайд 121
  

  1. Выбор типа линии, выравнивающей ломанную регрессии, т.е. типа линии, около которой группируются экспериментальные точки ( ; ) или ( ; ). 2. Определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного типа, таким образом, чтобы из множества линий этого типа взять ту, которая наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии.

• 
  Слайд 122

  Выбор типа линии, выравнивающей ломаную линию регрессии

  Для выбора типа линии, выравнивающей ломаную линию регрессии, необходимо хорошо знать простейшие виды линий и их уравнения.

• 
  Слайд 123

  Определения параметров в уравнении выравнивающей линии выбранного типа

• 
  Слайд 124
  

  Метод средних применяют в тех случаях, когда выбранный тип уравнения выравнивающей линии содержит лишь один параметр. Метод проб используют, когда выбранная формула содержит несколько параметров .

• 
  Слайд 125
  

  Метод выровненных (или выбранных) точек состоит в выборе по чертежу нескольких точек (не обязательно совпадающих с точками линии регрессии), через которые проводят выравнивающую линию и определяют ее уравнение по координатам этих выбранных точек. Метод наименьших квадратов служит для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные погрешности.

• 
  Слайд 126

  Метод наименьших квадратов

• 
  Слайд 127
  

  Необходимо минимизировать сумму где , – значения опытных данных; – значение функции, взятое из эмпирической зависимости в точке ; – число опытов.

• 
  Слайд 128
  

  В случае линейной эмпирической формулы сумма принимает вид , а в случае квадратической зависимости – следующий вид: .

• 
  Слайд 129
  
• 
  Слайд 130
  
• 
  Слайд 131

  Оценка тесноты корреляционной зависимости

• 
  Слайд 132
  

  Для оценки тесноты корреляционной зависимости служит корреляционное отношение: где – выборочная дисперсия случайной величины , вычисленная по всей таблице; – дисперсия условных средних относительно общей средней, так называемая внешняя дисперсия.

• 
  Слайд 133

  Критерий Фишера

• 
  Слайд 134
  
• 
  Слайд 135
  

  где – остаточная дисперсия; – число коэффициентов в уравнении регрессии; – ордината линии регрессии в точке ; – дисперсия воспроизводимости средних, равная исправленной внутренней дисперсии, деленной на число экспериментов , по которым вычислялись условные средние :

• 
  Слайд 136
  
• 
  Слайд 137
  

  Величина имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ( – число задаваемых экспериментатором значений величины , – число проводимых опытов, – число коэффициентов в уравнении регрессии). Из таблицы критических точек распределения Фишера находим .

• 
  Слайд 138
  

  Если расхождение между теоретической и эмпирической линиями регрессии значимо, уравнение не адекватно, следует взять многочлен более высокого порядка.

• 
  Слайд 139

  Линейная корреляция

• 
  Слайд 140
  

  Из всех корреляционных зависимостей надо особо выделить линейную корреляцию, т.е. такую, когда точки регрессии располагаются вблизи некоторой прямой линии.

• 
  Слайд 141

  Виды регрессии

  1) регрессия на в виде функциональной зависимости ; 2) регрессия на в виде функциональной зависимости .

• 
  Слайд 142

  Выборочный коэффициент корреляции

• 
  Слайд 143

  Выборочное уравнение прямой линии регрессии на

• 
  Слайд 144
  
• 
  Слайд 145
  

  Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам : ,

• 
  Слайд 146

  Выборочный коэффициент корреляции

• 
  Слайд 147
  
• 
  Слайд 148