Презентация на тему "Точечные оценки"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Лекция 12 Точечные оценки доцент: Колосько Анатолий Григорьевич ( agkolosko@mail.ru )

• 
  Слайд 2
  

  f(x) . - - Необходимость оценки распределения

• 
  Слайд 3
  

  Выборку объёма n : V = {x1, x2, ... , xn} можно назвать n-мерной случайной величиной. Любая функция от этой величины называется статистикой. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин (т.е. статистику), которая его описывает. Оценку, которая определяется одним числом, называют точечной. Например: Чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям, которые мы рассмотрим далее. Статистическая оценка

• 
  Слайд 4
  

  Обозначим Θ* – статистическую оценку неизвестного параметра Θт теоретического распределенияf(x), описывающего случайную величину Х. Допустим, по выборке объёма n найдена оценка Θ*1 . Повторим опыт– из генеральной совокупности извлечём ещё одну выборку объёма n иполучимоценку Θ*2 . Извлекая выборку многократно, получим набор РАЗЛИЧНЫХ статистических оценок Θ*1, Θ*2, ... , Θ*k . Здесь мы можем рассматривать Θ* как случайную величину, а множество {Θ*1 , ... , Θ*k} тогда будет набором её возможных значений. Для этой случайной величины можно ввести те же самые вероятностные параметры, что и для обычной случайной величины Х : среднее, дисперсию... при этом Θ сама, как параметр, может быть средней (например, дляNorm(a,σ) ). Оценка как случайная величина

• 
  Слайд 5
  

  1. Состоятельнаястатистическая оценка – это оценка, которая при увеличении объёма выборки n → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Требование состоятельности предъявляется при рассмотрении больших выборок. 2. Несмещённая статистическая оценка – это оценка, у которой мат. ожидание равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки: Соблюдение этого требования гарантирует отсутствие систематических ошибок. Если у несмещённой Θпри , то оценка ещё и состоятельная. Смещённая статистическая оценка – это оценка, у которой наоборот : M(Θ*) ≠ Θт Эффективная статистическая оценка – это оценка, которая при заданном объёме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию : Требования к оценкам статистических параметров

• 
  Слайд 6
  

  . Генеральная средняя сумма этих отклонений должна быть равна 0, что следует из определения среднего:

• 
  Слайд 7
  

  Математическое ожидание – это число: Пусть в генеральной совокупности варианты-значения встречаются: х1 - n1 раз, х2 - n2 раз ... хm - nm раз. Среднее арифметическое всех результатов будет равно: Так как при выборке число Х мы выбираем случайно, то полагаем, что все эти варианты-значения равновероятны. Тогда согласно классическому определению вероятности относительная частота варианты ωi = ni/ n= P(xi) - вероятность вытащить её из генеральной совокупности. То есть: или что то же самое: Генеральная средняя = мат. ожидание!

• 
  Слайд 8
  

  Выборочной средней х̅Вназывают среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности (также обозначается х̅n ). Среднее абсолютное отклонениеΘ(ср. арифметическое абсолютных отклонений): Оценка Θ* : Выборочная средняя

• 
  Слайд 9
  

  Свойство устойчивости XВ Свойство устойчивости: если по нескольких выборкам достаточно большого объёма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближённо равны между собой. Вынос мозга (текст только для самых-самых умных):

• 
  Слайд 10
  

  х̅В - состоятельнаяпо теореме Чебышева: поэтому: х̅В - несмещённаямат. ожидание оценки: х̅В - эффективная? Будет ли её дисперсия являться минимальной? Не всегда! Дисперсия оценки: Требования к оценке Θ*= XВ В случае нормального распределения это действительно минимум по сравнению с другими оценками Θв.

• 
  Слайд 11
  

  . При этом теоретическая дисперсия признака (случайной величины) совпадает с генеральной дисперсией: Генеральная дисперсия

• 
  Слайд 12
  

  . Коэффициент вариации V– выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней: Оценка Θ* : Выборочная дисперсия

• 
  Слайд 13
  

  Требования к оценке Θ*= DВ DВ - состоятельнаяпо известной формуле: DВ - смещённая!мат. ожидание оценки: т.е. при использовании этой оценки будет возникать систематическая ошибка в меньшую сторону! потому что M(DВ)

• 
  Слайд 14
  

  Пересчитаем выборочную дисперсию, сделав центрированную величину X-M(X): Теперь посчитаем мат.ожидание это дисперсии: Вывод мат. ожидания DВ страшно?

• 
  Слайд 15
  

  Зная связь: легко получить исправленную выборочную дисперсию: которая будет несмещённой точечной оценкой: Т.е. разница между выборочной дисперсией и исправленной лишь в множителе: На практике используют исправленную дисперсию, если n

• 
  Слайд 16
  

  По результатам наблюдений случайной величины Х получились числа: 1, 7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6, 3, 4, 3, 5, 6, 6, 5, 5, 4, 4 построить: 1. дискретный вариационный ряд 2. многоугольник частот 3. график выборочной функции распределения 4. найти выборочное среднее 5. найти выборочную дисперсию Задача 1

• 
  Слайд 17
  

  1. Составляем ряд распределения: Количество элементов выборки равно 20, следовательно объем выборки n = 20. Составляем ранжированный ряд: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7. Выделяем варианты и их частотыxi(ni): 1(1), 2(2), 3(3), 4(4), 5(5), 6(3), 7(2). Вариантов всего 7, поэтому будем строить дискретный ряд. Находим частоты по формуле: Решение задачи 1

• 
  Слайд 18
  

  2. По найденному ряду строим многоугольник частот: Решение задачи 1

• 
  Слайд 19
  

  3. Находим выборочную функцию распределения: Решение задачи 1

• 
  Слайд 20
  

  ...строим график выборочной функции распределения: Решение задачи 1

• 
  Слайд 21
  

  4. Находим выборочное среднее по ряду распределения: 5. Находим выборочную дисперсию: Решение задачи 1

• 
  Слайд 22
  

  Допустим, что все значения количественного признака X совокупности, безразлично генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Разбиение статистической совокупности на группы Генеральная совокупность объёма n: общее среднееx̅ , общая дисперсия Dобщ группа 1 группа 2 группа m ...j Группа номер j объёма Nj: групповая средняяx̅j, групповая дисперсия Dj Внутригрупповая дисперсия: (среднее групповых дисперсий) Межгрупповая дисперсия: (дисперсия групповых средних)

• 
  Слайд 23
  

  Задача 2 Найти внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии совокупности, состоящей из трёх групп: первая группа: вторая группа: третья группа:

• 
  Слайд 24
  

  Оценка корреляции величин Пусть данные наблюдений за признакамиХ и Y сведены в корреляционную таблицу. Можно считать, что наблюдаемые Y разбиты на группы, соответствующие отдельным Х. Тогда условные средние можно назвать групповыми средними. Общая дисперсия в этом случае может быть представлена в виде суммы дисперсий: Можно доказать, что: если Y связан с Х функциональной зависимостью, то если Y связан с Х корреляционной зависимостью, то (функциональная зависимость является крайним случаем вероятностной). – выборочное корреляционное отношение Y к Х.

• 
  Слайд 25
  

  Начальный момент порядка kслучайной величины Х это математическое ожидание величины Хk : Центральный момент порядка kслучайной величины Х это математическое ожидание величины (Х - M(X))k : Начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов. Асимметрия эмпирического распределения: as> 0 ( 0 ( 0 X~N(a,σ2) ek = 0 Логнормальное распределение: X ~ LN(a,σ2) => => ln(X) ~ N(a,σ2)

• 
  Слайд 26
  

  . Метод моментов для точечной оценки параметров распределения (предложен Пирсоном)

• 
  Слайд 27
  

  . Задача Решение:

• 
  Слайд 28
  

  . Б. Оценка двух параметров методом Пирсона

• 
  Слайд 29
  

  . Задача Решение:

• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  

  . Метод наибольшего правдоподобия (предложен Фишером) L - это вероятность получить такую выборку!

• 
  Слайд 32
  

  . Метод наибольшего правдоподобия

• 
  Слайд 33
  

  Б. Непрерывные случайные величины. Метод наибольшего правдоподобия где f - плотности распределений вероятности величин х.

• 
  Слайд 34
  

  . Задача

• 
  Слайд 35
  

  . Решение Откуда следует, что:

• 
  Слайд 36
  
• 
  Слайд 37
  
• 
  Слайд 38
  

  Спасибо за внимание :) ...точечные оценки...

• 
  Слайд 39
  

  Необходимость статистической оценки теоретического распределения Статистическая оценка Точечная статистическая оценка Точечная оценка Θ – случайная величина? Состоятельная статистическая оценка Несмещённая статистическая оценка Эффективная статистическая оценка Как связана генеральная средняя с мат. ожиданием признака? Выборочная средняя Свойство устойчивости выборочной средней Среднее абсолютное отклонение Является ли выборочная средняя состоятельной? Является ли выборочная средняя несмещённой? Является ли выборочная средняя эффективной? Генеральная дисперсия Выборочная дисперсия Генеральное и выборочное среднее квадратическое отклонение Вопросы для контроля усвояемости предмета (стр1)

• 
  Слайд 40
  

  Коэффициент вариации Является ли выборочная дисперсия состоятельной? Является ли выборочная дисперсия несмещённой? Является ли выборочная дисперсия эффективной? Исправленная выборочная дисперсия Групповая средняя, групповая дисперсия Внутригрупповая дисперсия Межгрупповая дисперсия Связь внутригрупповой и межгрупповой дисперсий Начальный момент порядка k Центральный момент порядка k Асимметрия Эксцесс Метод моментов. Оценка одного или двух параметров Метод наибольшего правдоподобия Функция правдоподобия Вопросы для контроля усвояемости предмета (стр2)