Презентация на тему "Теория вероятностей и математическая статистика(дневное обучение)Лекция №15"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Теория вероятностей и математическая статистика(дневное обучение)Лекция №15

  «Самарский государственный аэрокосмическийуниверситет имени академика С.П.Королева» 2014

• 
  Слайд 2

  Тема лекции:

  Проверка статистических гипотез. Критерии согласия.

• 
  Слайд 3
  

  Проверка статистических гипотез.

• 
  Слайд 4
  

  Проверка статистических гипотез. Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {Н0, Н1, … , Hk-1} относительно свойств распределения случайной величины. Любое из утверждений Hi называется альтернативой гипотезы. Простейшей гипотезой является двухальтернативная: {H0, H1}. В этом случае альтернативу H0 называют нулевой гипотезой, а H1-конкурирующей гипотезой.

• 
  Слайд 5
  

  Проверка статистических гипотез. Критерием называется случайная величина U =ϕ ( x1,K , xn ) ,где xi –значения выборки, которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу H0. Значения критерия, при которых гипотеза H0 отвергается, образуют критическую область проверяемой гипотезы, а значения критерия, при которых гипотезу принимают, область принятия гипотезы(область допустимых значений). Критические точки отделяют критическую область от области принятия гипотезы.

• 
  Слайд 6
  

  Ошибка первого и второго рода.

• 
  Слайд 7
  

  Ошибка первого и второго рода. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза H0,если она верна ("пропуск цели"). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается αи называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что α = 0,05 или α = 0,01.

• 
  Слайд 8
  

  Ошибка первого и второго рода. Ошибка второго рода заключается в том, что гипотеза H0 принимается,если она неверна ("ложное срабатывание"). Вероятность ошибки этого рода обозначается β. Вероятность не допустить ошибку второго рода (1-β) называют мощностью критерия.

• 
  Слайд 9
  

  Проверка гипотезы о равенстве вероятностей

• 
  Слайд 10
  

  Проверка гипотезы о равенстве вероятностей Пусть произведено две серии опытов, состоящих соответственно из n1 и n2 опытов. В каждом из них регистрировалось появление одного и того же события А. В первой серии событие А появилось в k1 опытах, во второй – в k2 опытах, причем частота события А в первой серии получилась больше, чем во второй:

• 
  Слайд 11
  

  Проверка гипотезы о равенстве вероятностей Разность между двумя частота получилась равной Спрашивается, значимо или не значимо это расхождение? Указывает ли оно на то, что в первой серии опытов событие A действительно вероятнее, чем во второй, или расхождение между частотами надо считать случайным?

• 
  Слайд 12
  

  Двухальтернативная гипотеза Выдвинем двухальтернативную гипотезу {H0, H1}. Пусть H0 – различия в вероятностях не существует, т.е. обе серии опытов произведены в одинаковых условиях, а расхождение U объясняется случайными причинами, H1 – различие в вероятностях существует, т.е. обе серии опытов произведены не в одинаковых условиях.

• 
  Слайд 13
  

  Двухальтернативная гипотеза В данном случае нуль-гипотеза H0 состоит в том, что обе серии опытов однородны и что вероятность р появления события А в них одна и та же, приближенно равная частоте, которая получится, если обе серии смешать в одну:

• 
  Слайд 14
  

  Двухальтернативная гипотеза При достаточно больших n1 и n2 каждая из случайных величин p1*и p2*распределена практически нормально, с одним и тем же математическим ожиданием m=p ≈ p* .

• 
  Слайд 15
  

  Двухальтернативная гипотеза Что касается дисперсий D1 и D2 в первой и во второй сериях, то они различны и равны соответственно

• 
  Слайд 16
  

  Двухальтернативная гипотеза В качестве критерия будем использовать случайную величину U =p1*-p2*, которая также имеет приближенно нормальное распределение с математическим ожиданием mu=0 и дисперсией откуда

• 
  Слайд 17
  

  Двухальтернативная гипотеза Определим критическую точку Uαдля заданного уровня значимости α изуравнения: Если значение, вычисленное по формуле разности двух частот, больше, чем критическое значение, т.е. U > Uα, то гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

• 
  Слайд 18
  

  Критерии согласия

• 
  Слайд 19
  

  Критерии согласия Критериями согласия называются критерии, используемые для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения. Критерий согласия Критерий согласия Пирсона Критерий согласия Колмогорова

• 
  Слайд 20
  

  Критерий согласия Пирсона ( χ2 )

• 
  Слайд 21
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Пирсона 1. Построить интервальный статистический ряд и гистограмму. 2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу: H0 – величина X распределена по такому-то закону: f(x) = f0(x), H1 – величина X не распределена по такому-то закону: f(x) ≠ f0(x), где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения

• 
  Слайд 22
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Пирсона 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения. 4. Вычислить значение критерия по формуле где pj – теоретическая вероятность попадания случайной величины в j- йинтервал.

• 
  Слайд 23
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Пирсона Так как аналитическое выражение плотности распределения χ 2 является довольно сложным, то в практике используют таблицу значений , рассчитанных из уравнения , для различных значений k.

• 
  Слайд 24
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Пирсона 5. Из таблицы распределения χ 2 выбирается значение ,где α –заданный уровень значимости (α = 0,05 или α = 0,01), а k – число степеней свободы, которое определяется по формуле k = M - 1 - s. Здесь s– число неизвестных параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.

• 
  Слайд 25
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Пирсона 6. Если значение, вычисленное по формуле χ 2 , больше, чем критическое значение, т.е., то гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить

• 
  Слайд 26
  

  Критерий согласия Колмогорова

• 
  Слайд 27
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова 1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения F*(x). 2. По виду графика F*(x) выдвинуть гипотезу: H0 : F(x) = F0(x), H1 : F(x) ≠ F0(x), где F0(x) – функция гипотетического закона распределения.

• 
  Слайд 28
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова 3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия определить оценки неизвестных параметровгипотетического закона распределения. 4. Рассчитать 10...20 значений функции F0(x) и построить ее график в одной системе координат с функцией F*(x).

• 
  Слайд 29
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова 5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F*(x) и F0(x).

• 
  Слайд 30
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова 6. Вычислить значение критерия Колмогорова 7. Величина λ распределена по закону Колмогорова, который не зависит от закона распределения величины X,:

• 
  Слайд 31
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова Так как аналитическое выражение функции распределения F(λ) является довольно сложным, то в практике используют таблицу значений γ λ , рассчитанных из уравнения p(0 ) γ ≤ λ

• 
  Слайд 32
  

  Алгоритм проверки критерия согласия Колмогорова 7. Из таблицы распределения Колмогорова выбрать критическое значение γ λ , γ =1−α .α – заданный уровень значимости (α = 0,05 или α = 0,01). 8. Если λ > λγ , то нулевая гипотеза H0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.

• 
  Слайд 33
  

  Достоинства критерия согласия Колмогорова Достоинствами критерия Колмогорова по сравнению с критерием χ2: Являются возможность его применения при очень маленьких объемах выборки (n

• 
  Слайд 34
  

  Недостатки критерия согласия Колмогорова Недостатком является то, что эмпирическая функция распределения F*(x) должна быть построена по несгруппированнымвыборочным данным, что затруднительно при больших объемах выборки. Кроме этого, следует отметить, что критерий можно применять только в случае, когда известен не только вид функции распределения F0(x), но и все входящие в нее параметры

• 
  Слайд 35
  

  Конец 15 лекции.