Презентация на тему "Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Видов Павел Викторович МОДЕЛИ НЕГАУССОВЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ С КОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ 01.04.02 – Теоретическая физика диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

• 
  Слайд 2

  1. Задача о случайных блужданиях (формулировка Пирсона)

  Задача о случайных блужданиях (К.Пирсон, 1905): человек начинаетдвижение с точки O и двигается по прямой на расстояние l, затем он совершает поворот на произвольный угол. Процессповторяется n раз. Необходимо найти вероятность того, что после n шаговчеловек будет находиться в интервале от rдо r+drот точки O.

• 
  Слайд 3

  2. Задача о случайных блужданиях

  Задача о случайных блужданиях: нужно найти плотность вероятности того, что частица, испытав Nпрыжков в пространстве некоторой размерности Gокажетсяв интервале Каждый i-ы прыжок может быть произведен в интервал длин с вероятностью *Chandrasekhar S Rev.Mod.Phys. 15 1 (1943). Важнейшим требованием для решения является наличие всех моментов закона прыжка (1) (2) (3) (4) (5)

• 
  Слайд 4

  3. Диффузия

  Экспериментальные наблюдения: диффузия частичек угольной пыли на поверхности спирта (Я.Ингенхоуц, 1785) движения пыльцы в жидкости (Р. Броун, 1827) Математические результаты: К.Винер предположил, что движение броуновской частицы является следствием ее соударений с молекулами жидкости (1863) А.Эйнштейн получил уравнение диффузии Хаотическое движение молекул жидкости можно представить как случайные блуждания с характерной длиной блуждания и временем . Нас интересует вид функции , которая определяет плотность вероятности того, что частица будет находиться в положении в момент времени при стремлении величин:

• 
  Слайд 5

  4. Случайные блуждания с непрерывным временем (CTRW)

  Данная модель предполагает, что прыжки или блуждания происходят в независимые случайные моменты времени, при этом вероятность того, что следующий прыжок произойдет через промежуток времени от до определяется плотностью распределения В случае если характерное время между прыжками конечно, то есть интеграл сходится, можно утверждать, что время, необходимое для совершения Nпрыжков, равно NT. Таким образом, можно заменить в дискретной задаче Nна непрерывное время t/T. Условная плотность распределения вероятности нахождения частицы в точке xв момент времени tопределяется как:

• 
  Слайд 6
  

  5. Случайные блуждания (случай отсутствия второго и более высоких моментов закона прыжка)

  Закон элементарного прыжка, не дающий всех конечных моментов, но обладающий нормировкой: 3/2>β>1/2 , z – характерная длина прыжка Большие флуктуации могут возникать посредствам одного прыжка (R=rпри N=1) Функция W1(R) - самоподобна Медленноспадающая асимптотика, значительное количество больших флуктуаций - Распределение Леви

• 
  Слайд 7

  6. Распределение Леви

  Свойства устойчивого симметричного распределения Леви: Форма распределения Леви в явном виде известна только для двух значений α. При распределение α=1 Коши, а при α=2 - распределение Гаусса. Распределение Леви обладает свойством масштабной инвариантности Для распределения Леви характерно наличие медленно спадающей асимптотики (тяжелых хвостов) Важным свойством распределения Леви является его сходимость к степенному закону для больших значений x. Отсутствует как дисперсия, так и все более высокие моменты распределения. Сплошная линия – распределение Леви, пунктирная – нормальное распределение. Логарифмический масштаб. По оси x – величина флуктуации в единицах дисперсии

• 
  Слайд 8

  7. Распределения Леви в физике и других областях

  Физические примеры аномальной диффузии: прохождение света через стекло Леви Нефизические примеры аномальной диффузии: перемещения альбатросов перемещения банкнот в мире Траектории перемещения банкнот* По оси y – плотность вероятности перемещения банкноты, по оси x – расстояние. Для T=4 дням. Двойной log масштаб. *D. Brockman, L. Hufnagel, T. Geisel, “The scaling of human travel”, Nature 439, 462-465. (2006) Стекло Леви. Относительный пропущенный свет – y, толщина образца – x.

• 
  Слайд 9
  

  8. Случайные блуждания (случай отсутствия моментов закона прыжка выше второго)

  В области малых флуктуаций: При больших флуктуациях впервые получено: Зависимость СКО от числа прыжков: Здесь закон прыжка тот же, но β>3/2 Для β=2 – неотличимо от Гаусса Для =2 (1), =3 (2), =4 (3), =5 (4) в зависимости от длины блужданий R, нормированных на z. Штриховые прямые -асимптотики при больших R. Двойной логарифмический масштаб. Кумулятивная функция распределения усеченных блужданий Леви при β =2 для разных N. Точные нормированные функции распределения случайных блужданий Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450 Такие случайные блуждания представляют собой «усеченные» блуждания Леви.

• 
  Слайд 10

  9. Промежуточные выводы

  Введение закона прыжка вида: позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и усеченные блуждания Леви. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты, как для области малых флуктуаций, так и для области больших флуктуаций.

• 
  Слайд 11

  10. Эмпирически наблюдаемые негауссовы случайные блуждания

  Дискретные временные ряды относительных приращений цен акций где Y(t) – цена акции в момент времени t График значений индекса S&P 500 (а), флуктуаций индекса S&P 500 (б) в период с 1.01.2000 по 1.01.2012.

• 
  Слайд 12

  11. Статистические характеристики финансовых временных рядов

  Дискретные временные ряды относительных приращений цен акций где Y(t) – цена акции в момент времени t 1. Автокорреляционная функция: Флуктуации– случайныеблуждания 2. Распределения флуктуаций доходностей на фондовом рынке: «толстые хвосты» масштабная инвариантность степенное усечение хвостов с законом: Кумулятивные распределения флуктуаций акций Сбербанка, по оси x – нормированный на дисперсию размер флуктуации, двойной логарифмический масштаб Автокорреляционная функция для флуктуаций акций Сбербанка, По оси x- время в днях.

• 
  Слайд 13

  12. Определение минимального масштаба процесса

  Эмпирические данные позволяют легко определить среднее значение временного интервала между отдельными изменениями цены и собственно характерный масштаб этого изменения . Если тик цены является минимальным масштабом процесса, то эти две величины должны удовлетворять функциональной связи, определяющей зависимость дисперсии от числа прыжков

• 
  Слайд 14
  

  13. Применение модели «усеченных» блужданий Леви для описания рассматриваемой системы

  Характер асимптотики «усеченных» блужданий Леви с законом единичного прыжка при β=2 соответствует эмпирическим распределениям, однако в этом случае имеет место различное поведение распределения для разных значений N, чего не видно в реальности. Попробуем применить схему случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW). Данная модель позволяет простым образом перейти от дискретных случайных блужданий к непрерывным. Если ввести функцию плотности распределения прыжков за определенное время p(N,t), то наблюдаемая плотность распределения W(R,t) выражается формулой подчинения: Функция распределения временных интервалов спадает с уменьшением Δt как (Δt)4.4. Учет времени между прыжками не позволяет получить новые результаты в силу наличия математического ожидания величины временного интервала.

• 
  Слайд 15

  14. Модификация модели

  Обнаружено эмпирическое кумулятивное распределение объемов сделок формирующих временной ряд, имеющее хвостыстепенного вида с показателем степени1.7>ς>1.5 Каждоеz в схеме является случайной величиной zi пропорциональной кол-ву акций в i-ой сделке. Мы вводим зависимость функции распределения вероятности единичных флуктуаций τi(ri) от другой случайной величины zi. Функция распределения «усеченных» случайных блужданий Леви при β=2: Асимптотика распределения при больших R: имеют функцию распределения Плотность вероятности Кумулятивное распределение объема торгов в одном тике для акций Сбербанка 21.11.2007 г. Прямой линией обозначена «хвостовая» зависимость x-ς, где ς = 1.7

• 
  Слайд 16

  15. Сравнение результатов модели и эмпирических данных.

  Если перенормировать соответствующее асимптотическое кумулятивное распределение: на величину стандартного отклонения: При δ ~ 2.5-2.7, получаем зависимости от N в диапазоне N0.5 -N0.27 , то есть слабую зависимость от N, что и наблюдается для эмпирических данных. Кумулятивные распределения флуктуаций акций Сбербанка, по оси x – нормированный на ст. отклонение размер флуктуации, двойной логарифмический масштаб Кумулятивная функция распределения, полученная в модели дляβ =2 (ось Y), нормированная на ст. отклонение.Сплошная линия: N = 1, пунктирная линия: N = 60, точки: N = 450.

• 
  Слайд 17

  16. Выводы

  Введение закона прыжка позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные блуждания Леви, так и «усеченные» блуждания Леви. Для усеченных блужданий получены аналитические асимптоты и выяснены законы масштабирования. Исследована система, в которой наблюдаются негауссовы случайные блуждания, представляющая собой динамику цен акций на российском фондовом рынке. Кумулятивные распределения флуктуаций российских акций и индексов обладают скейлингом, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа 1/x3. Установлен закон прыжка, удовлетворяющий исследованной системе Предложена схема модификации модели, позволяющая получить точный аналитический вид распределения, хорошо описывающий реальные данные.

• 
  Слайд 18

  Публикации

  1. Видов П.В., Романовский М.Ю., Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения, "Математика. Компьютер. Образование", Тезисы XV международной конференции (2008) 2. Видов П.В., Жуков И.А., Романовский М.Ю., Доходность активов российского фондового рынка: автокорреляции и распределения, "Математика. Компьютер. Образование". Cб. трудов XV международной конференции, Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", (2008). Том 1, 302 стр. Стр. 196-201 3. П.В. Видов, М.Ю. Романовский, Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий, Труды Института общей физики им. А.М. Прохорова, Т.65, (2009) 4. P.V.Vidov and M.Yu.Romanovsky. Analytical representation of non-Gaussian laws of random walks, Physics of wave phenomena. (2009). V.17, No.3. P.218-228. 5. М.Ю.Романовский, П.В. Видов, В.А. Пыркин, Является ли тик элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на фондовом рынке? Компьютерные исследования и моделирование, Т.2, № 2, с.219-223, (2010) 6. Видов П.В., Романовский М.Ю., "Неклассические случайные блуждания и феноменология флуктуаций доходности ценных бумаг на фондовом рынке" УФН, 181, 774–778 (2011) 7. M.Yu. Romanovsky, P.V. Vidov, Analytical representation of stock and stock-indexes returns: Non-Gaussian random walks with various jump laws, Physica A, 390, 21-22 (2011)

• 
  Слайд 19
  

  Спасибо за внимание!

• 
  Слайд 20
  

  Сравнение экспериментального распределения, полученного для 1-мин приращений индекса S&P500 (кружки) с устойчивых распределением Леви (сплошная линия) и распределением Гаусса (пунктирная линия). Кумулятивная функция распределения доходностей для индекса S&P500