Презентация на тему "Распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их числовые характеристики"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Министерство образования и науки Российской ФедерацииФедеральное бюджетное государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Уральский государственный педагогический университет»Математический факультетКафедра математического анализаТеория вероятностей и математическая статистика (ТВиМС). Часть 4. Распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их числовые характеристики.Бодряков Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н.зав. кафедрой математического анализа МФ УрГПУ E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru

  Екатеринбург – 2011-2012

• 
  Слайд 2

  Литература и интернет - ресурсы

  Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учебное пособие. М.: Академия, 2003. – 448 с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 404 с. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. – 144 с. http://e-lib.uspu.ru www.exponenta.ru

• 
  Слайд 3

  Введение. Дискретные и непрерывные случайные величины

  Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает значение  единственное, заранее неизвестное т зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины (с.в.) принято обозначать большими буквами латинского алфавита (X, Y, Z, …), а значения, ими принимаемые – малыми (x, y, z, …). Например, если с.в. величина Xпринимает три значения, их обозначают x1, x2, x3. Определение:Дискретной называют случайную величину (д.с.в.), которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений д.с.в. может быть конечным или счетным. Определение:Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.), которая принимает непрерывный ряд значений из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений н.с.в. бесконечно и несчетно.

• 
  Слайд 4
  

  §1. Распределения дискретных случайных величин и их числовые характеристики

  Определение: Законом распределения дискретной случайной величины (д.с.в.) называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. Такое соответствие может быть задано таблично, аналитически (в виде формулы), графически. Определение: Дискретным рядом распределения д.с.в. называется таблица, в которой перечислены (как правило, упорядоченно) все возможные значения д.с.в. и соответствующие им вероятности: Прим. Значения д.с.в. не повторяются: xixjпри ij. Д.с.в. Xпринимает с необходимостью одно из множества значений {x1, x2, …, xn}. События X = x1,X = x2, …, X = xn образуют полную группу. Поэтомус необходимостью: p1 + p2 + … + pn = 1.

• 
  Слайд 5

  §1. … продолжение

  Определение:Многоугольником (полигоном) распределения с.в. называют закон распределения, представленный в графическом виде. Пример 3. В магазине в течение часа продано 12 пар обуви размеров 38, 39, 40, 38, 41, 42, 43, 43, 42, 43, 45, 44. Выписать дискретный ряд распределения д.с.в. X – размер проданной пары обуви; построить полигон распределения. Решение: Упорядочим перечень проданных размеров по возрастанию: X = {38, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 45} и сведем в таблицу и рис.

• 
  Слайд 6
  

  Определение: Модой распределения называют значение xi, соответствующее максимуму закона (ряда) распределения. Определение:Если (явно выделяющаяся) мода одна  распределение называют унимодальным; если моды две – бимодальным и т.д. Рис. Распределение выпускников школ РФ 2008, 2009 гг. по баллам ЕГЭ по математике. Сплошная вертикальная прямая – среднее значение; пунктир – порог прохождения. На рис. представлены распределения выпускников школ РФ по математике 2008, 2009 гг. Распределение 2008 г. бимодально; распределение 2009 гг. унимодально, хотя имеются признаки выделения второй моды. Моды в обоих случаях приходятся на  42 б.

• 
  Слайд 7

  §1. … продолжение. Биномиальное распределение

  Определение: Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли (0 kn, q = 1 – p): Pn(k) = Cnkpkqnk. В табличном виде ряд биномиального распределения есть: Рис. Биномиальное распределение для p = 0,7; q = 0,3: (а) число испытаний n = 6; (б)n = 12.

• 
  Слайд 8

  §1. … продолжение. Распределение Пуассона

  Определение: РаспределениемПуассона называют распределение вероятностей, определяемое формулой Пуассона (np =  = Const): Pn(k) = (k/k!)e, k = 0, 1, 2, … В табличном виде ряд распределения Пуассона есть: Рис. Распределение Пуассона для p = 0,02; q = 0,98: (а) число испытаний n = 100; (б)n = 200.

• 
  Слайд 9

  §1. … продолжение. Геометрическое распределение

  Определение: Геометрическим распределениемназывают распределение вероятностей, определяемое формулой: P(k) = pqk1, k= 1, 2, … В табличном виде ряд геометрического распределения есть: Рис. Геометрическое распределение для: (а) p = 0,7; q = 0,3;(б) p = 0,3; q = 0,7.

• 
  Слайд 10
  

  §1. … продолжение. Числовые характеристики распределения дискретной случайной величины

  Определение: Числовыми характеристиками (распределения) случайной величины называется набор чисел, обобщенно характеризующих закон распределения этой с.в. (мода, математической ожидание, дисперсия, СКО и др.) Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины (д.с.в.) Xназывают сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: M(X) = ixipi = x1p1 + x2p2 + …. + xnpn. Пример 4.Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости. Решение: Закон распределения д.с.в. X – число выпавших очков при бросании игральной кости является равномерным: Математическое ожидание д.с.в. Xравно: M(X) = ixipi = 1 + 2 + 3 +4 +5 +6 = 3,5. Ответ:M(X) = 3,5.

• 
  Слайд 11
  

  Пример 5.Найти математическое ожидание суммы очков, выпадающих при бросании пары игральных костей. Решение: Закон распределения д.с.в. X – сумма выпавших очков при бросании пары игральных костей является треугольным (см. табл. и рис.): Математическое ожидание д.с.в. Xравно: M(X) = ixipi = (1/36)(21 + 32 + 43 + … + 103 + 112 + 121) = 7. Ответ:M(X) = 7.

• 
  Слайд 12

  §1. … продолжение. Свойства математического ожидания

  Вероятностно-статистический смысл математического ожидания. Пусть произведено nиспытаний, в которых д.с.в.X приняла m1раз значение x1, m2раз значение x2, …, mkраз значение xk; при этом: m1+ m2+… +mk= n. Определение: Средним арифметическим Xсрд.с.в. Xназывают величину: Xср= {x1m1+ x2m2+ … +xkmk}, или Xср= x1w1+ x2w2+ … +xkwk, где относительные частоты есть w1= m1/n; w2= m2/n; …; wk= mk/n. При большом числе испытаний (n )относительные частоты стремятся к соответствующим вероятностям (закон больших чисел): w1p1; w2m2; …; wk pk. Поэтому при больших n: Xсрx1p1+ x2p2+ … +xkpk = M(X). Утверждение. Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше n) среднему арифметическому наблюдаемых значений д.с.в. В этом и состоит вероятностно – статистический смысл математического ожидания.

• 
  Слайд 13
  

  Свойство 1. Математическое ожидание (М.О.) постоянной величины равно самой этой постоянной: M(C)= C. Док-во:СРС. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак М.О.: M(CX)= CM(X). Док-во:СРС. Свойство 3. М.О. произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)= M(X)M(Y). Док-во:СРС. Свойство 4.М.О. суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X + Y)= M(X) + M(Y). Док-во:СРС.

• 
  Слайд 14
  

  §1. … продолжение. Свойства дисперсии и среднеквадратического отклонения (СКО)

  Определение: Отклонением называют разность между с.в. Xи ее математическим ожиданием M(X) : X= XM(X). Для отклонения X закон распределения имеет вид: Прим. Величину X= XM(X) также называют центрированной величиной. Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X)= M(XM(X)). Док-во:СРС. Определение:Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D(X)= M(X2)= M((XM(X))2).

• 
  Слайд 15
  

  Для квадрата отклонения X2 закон распределения имеет вид: Дисперсия D(X) с.в. может быть найдена по формуле: D(X)= M((XM(X))2) = = p1(x1  M(X))2 + p2(x2 M(X))2+ … + pn(xn M(X))2. Теорема (формула вычисления дисперсии). Дисперсия равна разности между М.О. квадрата с.в. Xи квадратом ее математического ожидания: D(X)= M(X2) (M(X))2= M(X2)M2(X). Док-во: Для доказательства достаточно выписать цепочку равенств, следующую из свойств математического ожидания: D(X)= M((XM(X))2) = M(X22XM(X) + M2(X)) = M(X2) M2(X), ч.т.д.

• 
  Слайд 16
  

  Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C)= 0. Док-во:СРС. Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)= C2D(X). Док-во: Достаточно применить формулу вычисления дисперсии: D(CX)=M((СX)2) (M(СX))2 = M(С2X2)(СM(X))2= = С2M(X2)С2(M(X))2= С2[M(X2)M2(X)] = C2D(X), ч.т.д. Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y)= D(X) + D(Y). Док-во:По определению дисперсии: D(X+Y)=M((X+Y)2)(M(X+Y))2 = M(X2 +2XY +Y2)(M(X) + M(Y))2= = M(X2)+2M(XY ) +M(Y2) M2(X) + 2M(X)M(Y) + M2(Y)= D(X) + D(Y), ч.т.д.

• 
  Слайд 17
  

  Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(XY)= D(X) + D(Y). Док-во: По доказанным свойствам дисперсии: D(XY)= D(X+ (1)Y)=D(X)+D((1)Y))= D(X)+D((1)Y)) = = D(X)+(1)2D(Y))= D(X) + D(Y), ч.т.д. Замечание: Дисперсия как мера разброса значений с.в. X не слишком удобна, т.к. имеет размерность квадрата с.в. С этой точки зрения более удобна величина, называемая средним квадратичным (квадратическим) отклонением (СКО); в западной терминологии СКО называют также стандартным отклонением. Определение: Средним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины Xназывают квадратный корень из дисперсии этой с.в.: (X) = D(X). Замечание:Свойства СКО (X) непосредственно вытекают из соответствующих свойств дисперсии D(X) случайной величины X.

• 
  Слайд 18
  

  Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин: (X1 + X2 + …+ Xn)= {2(X1) + 2(X2) + … + 2(Xn)}. Док-во: По доказанным свойствам дисперсии: (X1 + X2 + …+ Xn) = D(X1 + X2 + …+ Xn) = = {D(X1)+ D(X2) +…+ D(Xn)} = {2(X1) + 2(X2)+…+ 2(Xn)}, ч.т.д. Теорема. Пусть имеется система из nнезависимых д.с.в. X1,X2, …,Xn, которые имеют одинаковые распределения, т.е. равные М.О., дисперсии и СКО: a(X1) = a(X2) = … = a(Xn) = a; D(X1) = D(X2) = … = D(Xn) = 2; (X1) = (X2) = … = (Xn) = . Тогда М.О., дисперсия и СКО среднего арифметического этих с.в., соответственно, равны: M(Xср) =M[(X1+ X2+ … +Xn)] = a; D(Xср) =D[(X1+ X2+ … +Xn)] =  2; (Xср) =[(X1+ X2+ … +Xn)] = /n. Док-во:СРС.

• 
  Слайд 19
  

  §2. Распределения непрерывных случайных величин и их числовые характеристики

  Определение: (Интегральной) функцией распределения называют функцию F(X), определяющая вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значения, меньшее x, т.е. F(X) = P(X x). Определение: Непрерывной называют случайную величину (н.с.в.) функция распределения которой является непрерывной, кусочно-гладкой функцией с кусочно-непрерывной производной. Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат промежутку [0; 1], т.е. F(x)изменяется в диапазоне 0 F(x)1. Док-во:СРС. Свойство 2. Функции распределения является F(x) неубывающей: F(x1)F(x2) при x1x2. Док-во:СРС. Следствие 1. Вероятность того, что с.в. Xпримет значения X [a; b]: P(a  X

• 
  Слайд 20

  §2. Продолжение …

  Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат (a; b), тo F(x)= 0 при x aиF(x) = 1 при x b. Док-во:СРС. Определение: Графиком функции распределения называется представленная на координатной плоскости x-0-F(x) зависимость F(x) (в качестве примера см. рис.): Рис. Функция распределения: (а) F(x) = ½ + (1/)arctg(x); (б) F(x) = ½ + ¼x, x  [2; 2]. Прим. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид; в этом случае так же, как и для н.с.в., 0 F(x)1.

• 
  Слайд 21
  

  Определение. Плотностью функции распределения (ПФР) вероятностей (дифференциальной функцией распределения) функцию f(x)первую производную интегральной функции F(x): f(x)= F(x). Следствие. По плотности распределения f(x)путем интегрирования можно восстановить функцию распределения F(x): x F(x) =  f(x)dx.  Прим.Для дискретной случайной величины понятие плотности функции распределения f(x) не определено. Теорема. Вероятность того, что н.с.в. X примет значения X [a; b] может быть найдена интегрированием от aдо b: b P(a X

• 
  Слайд 22
  

  Определение: График ПФР f(x) называют кривой распределения (вероятностей). Сформулируем свойства плотности функции распределения f(x). Свойство 1. Плотность функции распределения f(x)неотрицательная функция. Док-во: Функция распределения F(x) – неубывающая функция. Поэтому ее производная F(x) неотрицательна, ч.т.д. Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения f(x) в пределах от  до + равен единице (условие нормировки): +  f(x)dx = 1.  Свойство 3 (вероятностный смысл плотности распределения). Вероятность того, что случайная величина Xпримет значение, принадлежащее интервалу (x; x + dx), равна произведению плотности вероятности f(x)в точке xна ширину этого интервала dx: dP(X) = F(x + dx) F(x) = f(x)dx.

• 
  Слайд 23
  

  Пример 6. Плотность распределения н.с.в. задана функцией f(x) = Сx(x  1) при x  [0; 1), f(x) = 0 при x [0; 1). Требуется: нормировать плотность функции распределения f(x); найти функцию распределения F(x); найти вероятность того, что с.в. примет значения из интервала (¼; ½). Построить графики f(x), F(x). Решение: Неизвестную постоянную (нормировочную константу) C определим из условия нормировки: +  f(x)dx = 1.  В данном случае, = C[ ] = = C[½x2 ⅓x3]01 = C = 1, откуда C = 6, так что, окончательно, ПФР f(x) = 6x(x  1) при x  [0; 1), f(x) = 0 при x [0; 1). Функцию распределения F(x) найдем интегрированием: F(x) = 6 = 6[ ] = 6[½x2 ⅓x3]0x = = 6x2[½  ⅓x] = x2[3 2x], при x  [0; 1); F(x) = 0 при x  0; F(x) =1при x 1.  

• 
  Слайд 24
  

  Пример 6.Продолжение решения … Вероятность того, что с.в. примет значения из интервала (¼; ½) найдем с помощью (интегральной) функции распределения F(x): P(¼

• 
  Слайд 25
  

  Обобщим данные выше определения числовых характеристик распределения случайной величины на случай н.с.в. Определение: Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X, называют величину интеграла: + M(X) =  xf(x)dx.  Определение:Дисперсией D(X) н.с.в. X, называют величину: + D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx.  Определение:Средним квадратичным (стандартным) отклонением (СКО) (X) н.с.в. X, называют квадратный корень из дисперсии: (X) = D(X). Замечание: Если фактическим диапазоном изменения ПФР f(X) является промежуток (a; b), т.е. f(x) отлично от тождественного нуля при x  (a; b), то несобственные интегралы в пределах от  до + в определениях M(X) и D(X)могут быть заменены определенными интегралами в пределах от aдо b.

• 
  Слайд 26
  

  Теорема (формула вычисления дисперсии н.с.в.). Дисперсия D(X) н.с.в. Xможет быть найдена по формуле: + D(X) =  x2f(x)dx  M2(X) = M(X2)M2(X),  где математическое ожидание + M(X) =  xf(x)dx.  Док-во: Доказательство утверждения осуществляется путем цепочки преобразований, следующих непосредственно из определения дисперсии н.с.в.: ++ D(X) =  [x  M(X)]2f(x)dx = [x2 2xM(X) + M2(X)]f(x)dx =   ++++ =  x2f(x)dx2M(X) xf(x)dx+ M2(X)  f(x)dx =  x2f(x)dxM2(X) =     = M(X2)M2(X), ч.т.д.

• 
  Слайд 27
  

  Определение: Равномерным на промежутке (a; b) называется распределение вероятностей, заданное ПФР f(X) вида: f(x) = С = Constпри x  (a; b), f(x) 0 при x (a; b). Найдем числовые характеристики равномерно распределенной с.в. X.  Нормировка: + b  f(x)dx =  Cdx= C(b  a)= 1, откуда C = 1/(b  a).  a  Математическое ожидание: +b M(X) =  xf(x)dx = [1/(ba)]  xdx = ½ (b2  a2)/(b  a) = ½(b+ a). a  Дисперсия: +b D(X) =  x2f(x)dx M2(X) = [1/(ba)]  x2dx[½ (b + a)]2= a = ⅓(b3 a3)/(b  a) ¼(b + a)2= (b a)2.  СКО: (X) = D(X) = (b a)/23.

• 
  Слайд 28
  

  Пример 7. Найти числовые характеристики н.с.в. X, равномерно распределенной в промежутке от a = 1 до b = 5. Решение: Нормируем ПФР для равномерного на (1; 5) распределения: 5  Cdx = C(5 1) = 4C = 1, откуда C = ¼. 1 Так что ПФР f(x) = ¼ при x  (1; 5) и f(x)  0при x (1; 5) (см. рис.). Функция распределения F(X) равна F(x) = ¼(x  1) при x  (1; 5). 5 Математическое ожидание:M(X) = ¼  xdx= ¼½(52 12) = 3. 1 5 Дисперсия:D(X) = ¼  x2dx M2(X)= ¼⅓(5313)  3 = 7. 1 СКО: (X) = D(X) = 22/3  2,708.

• 
  Слайд 29

  §2. … продолжение

  Историческая справка: Иоганн Карл Фри́дрихГа́усс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг 23 февраля 1855 г., Геттинген Немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат101  50 = 5050. До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. С учителем ему повезло: М. Бартельс(впоследствии учитель Лобачевского) оценил исключительный талант юного Гаусса и сумел выхлопотать ему стипендию от герцога Брауншвейгского. Это помогло Гауссу закончить колледж CollegiumCarolinum в Брауншвейге (1792—1795).

• 
  Слайд 30
  

  Историческая справка:Карл Гаусс (продолжение) Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. В колледже Гаусс изучил труды Ньютона, Эйлера, Лагранжа. Уже там он сделал несколько открытий в теории чисел, в том числе доказал закон взаимности квадратичных вычетов. Лежандр, правда, открыл этот важнейший закон раньше, но строго доказать не сумел; Эйлеру это также не удалось. Кроме этого, Гаусс создал «метод наименьших квадратов» (тоже независимо открытый Лежандром) и начал исследования в области «нормального распределения ошибок». С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете. Это наиболее плодотворный период в жизни Гаусса. 1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида 22k + 1(числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг. С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»). Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

• 
  Слайд 31
  

  Историческая справка:Карл Гаусс (продолжение) 1798 год: закончен шедевр «Арифметические исследования» (лат. DisquisitionesArithmeticae), напечатана только в 1801 году. В этом труде подробно излагается теория сравнений в современных (введенных им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено его доказательство квадратичного закона взаимности и т. д. Гаусс любил говорить, что математика — царица наук, а теория чисел — царица математики. 1798—1816 годы В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейг и жил там до 1807 года. Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это доказать, наиболее близко к цели подошёл Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных доказательства её. С 1799 года Гаусс — приват-доцент Брауншвейгского университета. 1801 год: избирается членом-корреспондентом Петербургской Академии наук. После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера (1801), вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена. Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы избирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает пособие, а интерес Гаусса к астрономии ещё более возрастает. .

• 
  Слайд 32
  

  Историческая справка:Карл Гаусс (продолжение) 1805 год: Гаусс женился на Иоганне Остгоф. У них было трое детей. 1806 год: от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в том числе в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти. 1807 год: наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклонил их деньги; тогда неизвестный из Франкфурта прислал ему 1000 гульденов, и этот дар пришлось принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте. 1809 год: новый шедевр, «Теория движения небесных тел». Изложена каноническая теория учёта возмущений орбит. Как раз в четвёртую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре после рождения третьего ребёнка. В Германии разруха и анархия. Это самые тяжёлые годы для Гаусса. 1810 год: новая женитьба, на МиннеВальдек, подруге Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличивается до шести. 1810 год: новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества. 1811 год: появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает её орбиту. Начинает работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрытую Коши и Вейерштрассом: интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю. 1812 год: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций. Знаменитую комету «пожара Москвы» (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса. 1815 год: публикует первое строгое доказательство основной теоремы алгебры. . .

• 
  Слайд 33
  

  Историческая справка:Карл Гаусс (продолжение) 1816—1855 годы1821 год: в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит «гауссова кривизна». Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на его классическую диссертацию о «римановой геометрии». Итогом изысканий Гаусса была работа «Исследования относительно кривых поверхностей» (1822). В ней свободно используются общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния); оно применяется также в аэро/гидродинамике и электростатике. 1824 год: избирается иностранным членом Петербургской Академии наук. Гаусс в 1828 г.1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней. Гаусс и Вебер. Скульптура в Гёттингене.1831 год: умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшая бессонница. В Геттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма. 1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же он приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой. 1833 год: Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель. 1837 год: Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остался в одиночестве.

• 
  Слайд 34
  

  Историческая справка:Карл Гаусс (продолжение) 1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с работами Лобачевского. В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский избирается иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества. Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

• 
  Слайд 35

  Спасибо за внимание! Данный раздел закончен.

  Ваши вопросы, замечания, предложения …