Презентация на тему "Теория вероятностей. Случайные величины"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теория вероятностей

  Случайные величины http://prezentacija.biz/

• 
  Слайд 2

  Схема Бернулли

  Рассмотрим последовательность nнезависимых однородных испытаний (экспериментов). Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания. Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях. Пусть в каждом испытании событие А можетпроизойти с вероятностью р

• 
  Слайд 3

  Формула Бернулли

  Вероятность того, что при nиспытаниях событие А наступит к-раз:

• 
  Слайд 4

  Схема Бернулли

  Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания. Решение. По формуле Бернулли

• 
  Слайд 5
  

  Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть число испытаний n - велико ( n→∞) Вероятность р события А – мала ( р→0 ) Причем Тогда при любом фиксированном к Закон редких событий

• 
  Слайд 6
  

  Пример 1 . Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток. Решение. Вероятность того, что плитка окажется поврежденной, р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5

• 
  Слайд 7
  

  2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n→∞) Вероятность р события А – не очень мала ( 0

• 
  Слайд 8
  

  3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико (n→∞) Вероятность р события А – не очень мала ( 0

• 
  Слайд 9
  

  Пример 2 . Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта. Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта. Решение. n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1. По локальной теореме Муавра –Лапласа:

• 
  Слайд 10
  

  Пример 3 . Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Производится 100 выстрелов. Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз. Определить вероятность выполнения норматива. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

• 
  Слайд 11

  Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

  Задача. Производится nнезависимых однородных испытаний. В каждом испытании событие А может наступить с вероятностью р, где 0 0 :

• 
  Слайд 12
  

  Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:

• 
  Слайд 13
  

  Тогда Анализ :

• 
  Слайд 14

  Случайная величина

  Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Пример 1. 1. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.

• 
  Слайд 15
  

  Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательностьn независимых однородных испытаний, событие А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. , если при i-ом испытании событие А наступило, и , если оно не наступило. Случайная величина - число наступлений события А в схеме Бернулли.

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17

  Случайная величина

  Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Значения непрерывной случайной величины –принадлежат интервалу (конечному или бесконечному).

• 
  Слайд 18
  

  Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: последовательностьn независимых однородных испытаний, А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. Пусть Х – число наступлений события А. Х={0,1,2,…,п } – дискретнаяслучайная величина. Пример 4. Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А. Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А. ξ={0,1,2,3,…} –дискретная случайная величина. Обзор

• 
  Слайд 19
  

  Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – координата точки попадания. Х є [ а,в] – непрерывная случайная величина. Пример 6. Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина. μ є ( 0, ∞ )

• 
  Слайд 20

  Способы задания случайной величины

  Функция распределения и ее свойства. Определение. Функция , равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения: Свойства. 1. Область определения F(x): х є (-∞, ∞). 2. Область значений : 0≤ F(x) ≤ 1. 3. Функция F(x) – неубывающая: 4. 5. Вероятность попадания в интервал (а,в):

• 
  Слайд 21

  Закон распределения дискретной случайной величины

  Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Способы задания: Таблично Графически Аналитически

• 
  Слайд 22
  

  Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли): 2. Равномерное распределение ( в классической схеме): 3. Распределение Пуассона:

• 
  Слайд 23

  Дискретная случайная величина

  Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывнаяфункция. График функции распределения – ступенчатая фигура. х 1

• 
  Слайд 24

  Непрерывная случайная величина

  Определение. Случайная величина ξназывается непрерывной, если ее функция распределения F(x)- непрерывная при всех х и имеет почти всюду производнуюF'(x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x)- непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.

• 
  Слайд 25

  Свойства плотности распределения

  1. 2. 3. 4.

• 
  Слайд 26

  Непрерывная случайная величина

  Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти функцию распределения F(x)и плотностьf(x). Решение. Из определения: Обзор

• 
  Слайд 27
  

  1 1 0 1 1 0

• 
  Слайд 28

  Числовые характеристики случайных величин

  Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величиныξ называется число, равное

• 
  Слайд 29
  

  Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины ξ называется число, равное

• 
  Слайд 30
  

  Свойства математического ожидания. 1. 2. 3. 4.

• 
  Слайд 31
  

  Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти математическое ожидание Решение. Из определения:

• 
  Слайд 32
  

  Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины ξназывается математическое ожиданиеквадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

• 
  Слайд 33
  

  Свойства дисперсии. 1. 2. 3. 4. Следствие.

• 
  Слайд 34
  

  Доказательство.

• 
  Слайд 35
  

  Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξназывается число Свойства. 1. 2.

• 
  Слайд 36
  

  Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ– координата точки попадания. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Решение. Из формулы:

• 
  Слайд 37

  Обзор стандартных распределений

• 
  Слайд 38
  
• 
  Слайд 39

  Биномиальное распределение

  ξ=(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). Закон распределения: Пример

• 
  Слайд 40

  Распределение Пуассона

  ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения:

• 
  Слайд 41

  Геометрическое распределение

  ξ=(0,1,2,…,n,…) Закон распределения: Пример

• 
  Слайд 42

  Равномерное распределение

  Плотность распределения: Функция распределения: 1 b b a a Пример

• 
  Слайд 43

  Показательное распределение

  Плотность распределения: Функция распределения: 0 1 0

• 
  Слайд 44

  Нормальное распределение

  Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрамиa и σ, если плотность распределения Вероятностный смысл параметров:

• 
  Слайд 45
  

  График плотности распределения. Нормированное распределение. Кривая Гаусса х

• 
  Слайд 46
  

  Функция распределения.

• 
  Слайд 47
  

  Вероятность попадания в интервал. Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε)

• 
  Слайд 48
  

  Правило «3σ». Практически достоверно, что

• 
  Слайд 49
  

  Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ? Решение.

• 
  Слайд 50

  Функции случайного аргумента

  Определение. Если любому значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то говорят что Y –функция случайного аргумента Х: Пример. Х – случайная величина. Y=X² илиY = (Х-а)² -функции от Х.

• 
  Слайд 51
  
• 
  Слайд 52
  

  Пример 1.

• 
  Слайд 53
  

  Пример 2.

• 
  Слайд 54

  Системы случайных величин

  В случае, когда результат стохастического эксперимента определяется несколькими случайными величинами, то говорят, что имеется система случайных величин: Примеры.1.Заготовка имеет 3 размера – длину, ширину и высоту – случайные величины: 2. при моделировании бюджета одной семьи затраты –случайный вектор: на питание, на одежду, обувь, на транспорт, духовные потребности. - (случайный вектор), - компоненты

• 
  Слайд 55
  

  Двумерные случайные величины Дискретные - закон распределения

• 
  Слайд 56
  

  Непрерывные - функция распределения - вероятность попадания в бесконечный угол x y (x,y) Свойства 1. 2. 3. не убывает по каждому аргументу

• 
  Слайд 57
  

  Плотность распределения вероятностей случайного вектора. Определение. Плотностью распределения случайного вектора называют Свойства плотности 1. 2. 3. 4.

• 
  Слайд 58
  

  Зависимость случайных величин. Случайный вектор ; - плотность, - функция распределения. Определение. Случайные величины Х и Y (компоненты случайного вектора) называются независимыми, если Следствия. 1. 2. для независимых случайных величин

• 
  Слайд 59
  

  Ковариация. Коэффициент корреляции. Определение 1. Ковариациейслучайных величин X и Yназывают число Определение 2. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Yназывают число

• 
  Слайд 60
  

  Свойства. 1. Если X и Y – независимые случайные величины, то 2. 3.Если X и Y – линейно зависимые, то есть , то [обратное неверно]

• 
  Слайд 61

  Моменты случайной величины

  Определение1. Начальным моментомслучайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Определение 2. Центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание :

• 
  Слайд 62
  

  Определение 3. Абсолютным центральным моментом случайной величины Х порядка n называют математическое ожидание : Частные случаи: 1) М(Х)=а – начальный момент 1-го порядка ; 2) М((Х-а))=0 – центральный момент 1-го порядка; 3) М((Х-а)²)=D(X ) – центральный момент 2-го порядка.

• 
  Слайд 63
  
• 
  Слайд 64

  Неравенство Чебышева

  Пусть Х – случайная величина; Следствие: Чем меньше дисперсия случайной величины Х, тем меньше вероятность отклонения Х от а на большую величину. Правило «3σ» (для любой случайной величины):

• 
  Слайд 65

  Закон больших чисел

  Определение. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине Х, если Обозначение:

• 
  Слайд 66
  

  Теорема Чебышева. Пусть - попарно независимые случайные величины; Среднее арифметическое независимых случайных величин при n – больших - неслучайная величина.

• 
  Слайд 67
  

  Теорема Хинчина (1929 г.). Пусть - независимые случайные величины, Тогда При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Практический смысл: при измерении физической величины в качестве точного значения берут среднее арифметическое нескольких измерений.

• 
  Слайд 68

  Центральная предельная теорема

  Теорема. Пусть - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием а и дисперсией σ² . Пусть - нормированные случайные величины. Тогда то есть

• 
  Слайд 69
  

  Теорема Ляпунова (1901 г.). Пусть - независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент . Пусть Тогда , если , то и

• 
  Слайд 70
  

  Распределение - асимптотически нормально с параметрами Вклад каждой отдельной случайной величины в общую сумму – малый.

• 
  Слайд 71
  

  Следствие:нормальный закон занимает особое место в теории ошибок измерений. Ошибку измерения можно рассматривать как сумму большого числа независимых слагаемых, каждое из которых дает малый вклад в общую сумму. Распределение ошибки измерений близко к нормальному закону. Замечание (Липман). Каждый уверен в справедливости закона ошибок: Экспериментаторы – потому что они думают, что это математическая теорема, Математики – потому что они думают, что это экспериментальный факт.

• 
  Слайд 72
  

  Пример. В геодезии причинами возникновения ошибок являются влияние внешних условий неточности изготовления и юстировки приборов неточности выполнения измерений наблюдателем При измерении горизонтального направления многократное преломление лучей неравномерное освещение объекта неустойчивость сигнала вращение прибора вследствие нагревания солнцем («кручение») неустойчивость теодолита температурные и другие изменения в приборе ошибки юстировки ошибки разделения горизонтального круга личные ошибки наблюдателя и т.д. Опыт подтверждает - распределение ошибки измерений близко к нормальному закону.