Презентация на тему "Три режими в нелінійних моделі популяції"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Три режими в нелінійній моделі популяції - вплив нелінійності на процес коливань

• 
  Слайд 2
  
• 
  Слайд 3

  Три режими в нелінійній моделі популяції

  Традиційно областю застосування математичних моделей є теорія розвитку біологічних популяцій. Дана теорія розглядає з однієї точки зору різні аспекти основних закономірностей зміни чисельності популяцій, в тому числі, і клітин, що мешкають як в природних умовах так і в лабораторних. Основні особливості пов’язані з факторами, що лімітують ріст середовища, та з взаємодією різних видів у процесі росту

• 
  Слайд 4
  

  Моделі популяцій відразу ж стають нелінійними, якщо зважувати на те ,що обмеженість доступних популяції ресурсів необхідно обов’язково враховувати. Будуючи такі моделі, вважають, що:

• 
  Слайд 5

  Модель природного росту чисельності популяції (модель Мальтуса)

  Однією з важливих проблем екології є динаміка чисельності популяції. Нехай маємо деяку реальну популяцію, що складається з особин одного виду, і потрібно знайти закон зміни її чисельності. Основні допущення. 1. Існують тільки процеси розмноження і природної загибелі, швидкості яких пропорційні чисельності особин у даний момент часу. 2. Не враховуємо біохімічні, фізіологічні процеси. 3. Немає боротьби між особинами за місце проживання, за їжу (нескінченно великий простір і кількість їжі). 4. Розглядаємо тільки одну популяцію, немає хижаків. Уведемо величини моделі : x - чисельність популяції в момент t; R - швидкість розмноження, g - коефіцієнт розмноження; S - швидкість природної загибелі, s - коефіцієнт природної загибелі; dx/dt - швидкість зміни чисельності популяції, e - коефіцієнт росту. Тоді R = gx, S = -σx.

• 
  Слайд 6
  

  Складемо диференціальне рівняння балансу. Зміна чисельності особин в одиницю часу визначається кількістю породжених за цей час і померлих: або Початкова умова: при t = 0 чисельність особин x = x0 Вирішимо рівняння: Аналіз рішення. а) e g), тобто швидкість загибелі більше швидкості розмноження. Чисельність особин згодом упаде до нуля б) e> 0 (при s> g), тобто швидкість розмноження більше швидкості загибелі. Чисельність особин необмежено росте згодом в) e = 0 (при s= g), тобто швидкість загибелі дорівнює швидкості розмноження. Чисельність особин не змінюється, залишаючись на початковому рівні. Модель при e > 0 адекватна реальності лише до визначених значень часу. Відповідно до даної моделі, що розглядає зменшення чисельності особин тільки за рахунок природної загибелі, їхня чисельність повинна нескінченно зростати згодом 0що не відповідає реальності. При великій кількості особин можливе зменшення їхньої чисельності за рахунок інших механізмів, наприклад, за рахунок боротьби за місце проживання, за їжу. x x t б t a

• 
  Слайд 7
  

  Модель зміни чисельності популяції з урахуванням конкуренції між особинами (модель Ферх’юльста)

  Нехай існує боротьба між особинами, наприклад, за місце проживання, тим самим додається додаткове джерело загибелі. Вважаючи, що швидкість загибелі за рахунок конкуренції між особинами пропорційна імовірності зустрічей двох особин, можна записати S = -δx×x – σx (δ - коефіцієнт пропорційності).

• 
  Слайд 8
  

  Рівняння балансу чисельності особин: або Це нелінійне диференціальне рівняння. Зробимо заміну змінних: U = (εx – δx2). Тоді з врахуванням, що при t = 0 x = x0, одержимо: З наведеного графіку задежності x(t) видно, що з часом x не іде в нескінченність, а виходить на стаціонарний рівень . Моделі I і II є основою моделювання процесів у біотехнології (наприклад, для встановлення оптимальних режимів вирощування різних мікроорганізмів). х t

• 
  Слайд 9

  Модель "хижак-жертва" (модель Вольтерра)

  Серед допущень, введених у моделі I, знімемо допущення 4. Нехай у деякому просторі живуть два види особин: зайці (жертви) і рисі (хижаки). Зайці харчуються рослинною їжею, що є завжди в достатній кількості (між ними відсутня внутрішньовидова боротьба). Рисі можуть харчуватися тільки зайцями. Уведемо величини: x - число жертв у момент t; у - число хижаків у момент t. Рівняння балансу між чисельністю народжених і особин, що гинуть: Жертви: Хижаки: -швидкість природньої смерті -швидкість розмноження -швидкість смерті за рахунок зустрічі з хижаком -швидкість розмноження -швидкість природньої смерті

• 
  Слайд 10
  

  Це складна система нелінійних диференціальних рівнянь. Спочатку знайдемо стаціонарне рішення x = const, у = const, тобто Система диференціальних рівнянь при цьому зводиться до алгебраїчної: Розглянемо рішення: Спростимо систему рівнянь , припускаючи, що відбулися малі відхилення чисельності хижаків V(t) і жертв U(t) щодо стаціонарних значень:   Тоді:

• 
  Слайд 11
  

  Одержимо систему рівнянь яку легко звести до диференціальних рівнянь другого порядку щодо змінних U і V: Це характерні рівняння для опису гармонійних коливальних процесів. Рішення рівнянь: Відношення амплітуд відхилень: У результаті чисельності особин при малих відхиленнях від стаціонарних значень рівні: Таким чином, чисельності популяцій x і у зазнають гармонійних коливань щодо стаціонарних значень з однаковою частотою   , але зміщені по фазі на φ0.Періодичність зміни чисельності хижаків і жертв спостерігалася і на досліді. Приведені дослідні дані по кількості числа добутих шкурок зайців і рисі у Канаді з 1845 по 1935 р

• 
  Слайд 12
  

  Найпростіша лінійна модель динаміки популяцій з урахуванням обмеженості ресурсів. Різні режими в нелінійній моделі популяції.

  Нехай Нелінійна модель популяції. Модель справедлива в популяції, де її члени повинні бути зацікавлені в зростанні. Обравши відповідні масштаби для N і t, рівняння можна звести до вигляду: або Знову х=0 і х=1 нерухомі точки

• 
  Слайд 13
  

  1)Якщо ,то 2) Якщо ,то при 3) Якщо ,то за кінцевий час

• 
  Слайд 14

  Вплив сильної нелінійності на процес коливань

  Рівняння коливань де функція k (r)> Про описує жорсткість пружини, - одне з відносно в Ділячи перше з цих рівнянні на друге, отримаємо нелінейне рівняння першого порядку Поділяючи в змінні і двічі інтегруючи останнє рівняння, знаходимо небагатьох нелінеіних рівнянні, для якого можна виписать спільне рішення. Вводячи величину швидкості

• 
  Слайд 15

  Дякую за увагу

  Презентацію підготувала : Гончаренко Анастасія БМР 1-15