Презентация на тему "Решение уравнений"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Выбор метода и алгоритма решения уравнений зависит от их типа. 4.1. Предварительные сведения УРАВНЕНИЯ Одно уравнениеСистема уравнений линейноенелинейноелинейнаянелинейная алгебраическоетрансцендентное Классификация уравнений тривиально Древняя задача.

• 
  Слайд 2
  

  Методы решения уравнений прямые; итерационные Прямые методы: Позволяют найти решение непосредственно с помощью формул. Обеспечивают точное (без погрешностей метода) решение. Итерационные методы: Процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным. Пример. решение

• 
  Слайд 3
  

  Решить уравнение f x ( ) 0 , ( 1 ) с неизвестнымx- значит найти такие значения x, которые удовлетворяют этому уравнению. Эти значения называются корнями уравнения. Корни могут быть действительными или комплексными. Решение можно проверить подстановкой. Функция f(x) предполагается непрерывной или дифференцируемой. Решение задачи (1) обычно выполняется в несколько этапов: 4.2. Решение одного уравнения

• 
  Слайд 4
  

  Локализация корней Первые два этапа удобно проводить графически. Например, рассмотрим уравнение Корней много: 3+? Видим, что есть 5 вещественных корней. Приблизительные значения: x1= -10 x2= - 9 x3= - 5 x4= - 0.5 x5= 0 Эти значения – начальные приближения для итерационных методов. ? увеличиваем – видим еще 2 корня график - корни

• 
  Слайд 5
  

  Одно уравнение линейноенелинейное алгебраическоетрансцендентное нелинейные уравнения алгебраические уравнения В математике хорошо изучено. Оно имеет n корней, включая кратные и комплексные. Например: трансцендентные уравнения Это уравнения, в которых неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций. Нет общей теории. Обычно заранее неизвестно, есть ли решение и сколько корней. Например:

• 
  Слайд 6
  

  итерационные методы решения Решение нелинейных уравнений, как правило, проводится итерационными методами. MathCAD итерации прямые; итерационные Методы решения итерационный метод Третий этап: Проводится численно. Обычно задается некоторое грубое начальное приближение корня, которое шаг за шагом уточняется соответствующим итерационным методом. Каждый такой шаг называется итерацией. начальное приближение

• 
  Слайд 7
  

  Если в ходе итераций получаются все более точные значения корня, то говорят, что метод сходится. Если итерационный метод не сходится, то это может быть вызвано следующими причинами: отсутствием решения; выбором неудачного начального приближения; непригодностью используемого метода к решению данной задачи. Сходимость итерационного метода начальное приближение сходимость обычно проверяют условием Итерационных методов много. Мы рассмотрим: метод бисекции(деления пополам); метод Ньютона-Рафсона.

• 
  Слайд 8
  

  метод половинного деления (бисекция) Рассмотрим некоторое уравнение 1 шаг. Находим некоторый отрезок [xo,x1], на котором функция f(x) меняет знак, т.е. 2шаг. Делим отрезок [xo,x1]пополам, находим его середину Из двух половинок выбираем ту, в которой функция меняет знак, 3 шаг. Повторяем предыдущий шаг для нового отрезка. Когда остановить итерации? Если требуется найти корень с точностью , то итерации продолжаются до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше достоинства метода недостатки метода всегда сходится; не требует гладкости функции; медленная сходимость; не распространяется на системы уравнений;

• 
  Слайд 9
  

  метод Ньютона – Рафсона (метод касательной) Задается некоторое начальное приближение xoи находится соответствующее значение f(x0) – точка 0; Из точки О проводится касательная к функции и находится следующая точка – x1; Для точки x1получаем f(x1) – точку 1. Из нее снова проводим касательную и т.д. точка 0 точка 1 Итерационный процесс описывается соотношением: Заканчивается, если достигнуто условие: достоинства метода недостатки метода быстрая сходимость; распространяется на системы уравнений; можно находить комплексные корни. требует гладкости функции; не всегда сходится (требует хорошего начального приближения);

• 
  Слайд 10
  

  решение уравнений в MathCAD Алгебраические уравнения. Если задан полином n степени, то для нахождения его корней (включая комплексные) можно использовать стандартную функцию , которая возвращает вектор решений данного полинома. (в обратном порядке) Задаем вектор коэффициентов уравнения: Используем функцию polyroots решение – вектор из 3-х корней Проверка: ненулевые значения получаются из-за приближенности решения Demo MathCAD (одно уравнение)

• 
  Слайд 11
  

  Уравнения любого типа. Решение одного уравнения любого типа дается стандартной функцией root(), которая имеет 2 формы: задается начальное приближение xи получаем решение. задается интервал [a,b], на котором ищется решение. При этом должны выполняться условия: 1) b>a; 2) f(a) f(b)

• 
  Слайд 12
  

  4.3. Решение систем линейных уравнений Система уравнений линейная нелинейная Часто встречается на практике: системы из десятков и сотен уравнений. Система nуравнений с nнеизвестными: матричная форма Для матрицы A можно рассчитать определитель решения нет решение единственно не рассматриваем

• 
  Слайд 13
  

  геометрическая интерпретация x y x y x y ~ ~ нет решения единственное решение бесчисленные решения неустойчивое решение В случае системы 2-х уравнений – простая геометрическая трактовка. прямая прямая решение – точка пересечения прямых матрица A плохо обусловлена

• 
  Слайд 14
  

  Метод исключения Гаусса Прямой метод. Широко используется на практике для решения линейных систем. (умножением строк на константу и вычитанием строк друг из друга матрица приводится к специальному 3-угольному виду – это прямой ход метода Гаусса) Идею метода покажем на примере системы уравнений 4-ой степени. Для нее можно записать соответствующую матрицу коэффициентов: Последняя строка эквивалентна уравнению - . прямой ход Далее последовательно находим остальные корни . обратный ход

• 
  Слайд 15
  

  Итерационный метод Гаусса - Зейделя Покажем на примере: Итерационная формула Гаусса-Зейделя задаем Конец итерациям, если преобразуем

• 
  Слайд 16
  

  решение систем линейных уравнений в MathCAD Если система уравнений записана в матричной форме , то можно использовать стандартную функцию lsolve(A,B), которая возвращает вектор решений. Задача №3. Решить систему уравнений Решение: 1. Определяем матрицу A и вектор B 2. Проверяем матрицу A на вырожденность 3. Решаем 4. Проверка Demo MathCAD (системы уравнений)

• 
  Слайд 17
  

  4.4. Решение систем нелинейных уравнений В общем случае прямых методов нет. Только итерационныеметоды. Рассмотрим, например, метод простой итерации. итерации Проблемы 1) Если начальные приближения сильно отличаются от решения, то может не сходиться; 2) Особенно для больших систем; 3) Если сходимости нет, то можно изменить форму итерационных уравнений. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными Преобразуем к форме типа задаем начальное приближение 1-ая итерация 2-ая итерация

• 
  Слайд 18
  

  Решение системы нелинейных уравнений в MC Проводится с помощью специального вычислительного блока, который имеет следующую структуру: При записи уравнений и ограничений – булевы операторы!

• 
  Слайд 19
  

  Задача №4. Решить систему уравнений Решение: Геометрическая интерпретация. Два корня. 2. Решение в MathCAD R=3 корни область поиска (локализация) начальные приближения решение Demo MathCAD (системы уравнений)