Содержание
-
Методы вычислений в экономическом моделировании
Авторы: Коврижных А.Ю., Конончук Е.А., Лузина Г.Е. Кафедра вычислительной математики ГОУ ВПО УрГУ 2007
-
Использование математических методов в экономике восходит к работам Ф.Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита (классическая макроэкономическая модель), Д.Риккардо (модель международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л.Вальраса, О.Курно, В.Парето. С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р.Солоу, П.Самуэльсона, Д.Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых. Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. Именно на завершающем этапе применяются численные методы. В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений, численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений.
-
Статические балансовые модели
Системы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства. Цель балансового анализа — ответить на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается, что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей. Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год.
-
Примем следующие обозначения: — общий объем продукции i – й отрасли (или её валовой объем), i=1,2,…,n; — объем продукции i – й отрасли, потребляемый j – й отраслью в процессе производства, i,j=1,2,…,n; — объем продукции i – й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления).
-
, .
-
сходится к матрице Матрица A продуктивна. 0 y ³
-
Некоторые модели экономической динамики
Паутинообразная модель рынка Дифференциальные уравнения в экономической динамике. Модель экономического роста. Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени. Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода. В настоящем разделе даются два примера такого моделирования. Эти примеры являются абстрактными. Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде, что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования.
-
Паутинообразная модель рынка
Пусть заданы
-
-
-
-
Дифференциальные уравнения в экономической динамике
Модель экономического роста
-
-
спрос эластичен спрос не эластичен
-
-
Методы вычислений в финансовых расчетах
Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики, где требуется применение методов вычислений. Определение уровня процентной ставки. Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок
-
Определение уровня процентной ставки.
Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере R/p денежных единиц (R – величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления. Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j. Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат.
-
-
-
Вычисление наращенных сумм на основе непрерывных процентных ставок
Силой роста называется специальная процентная ставка, характеризующая относительный прирост наращенной суммы. Согласно данному определению на бесконечно малом промежутке имеем
-
Далее изложен необходимый минимум теоретического материала по курсу «Численные методы» и рассмотрено достаточное количество примеров, что поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных работ.
-
Численные методы
Погрешность результата численного решения задачи. Основные этапы решения задачи с помощью компьютера. Характеристика погрешности Приближенные методы решения нелинейных уравнений Решение задач линейной алгебры Интерполяция Численное интегрирование Численное решение задачи Коши Метод наименьших квадратов Литература
-
Погрешность результата численного решения задачи.
Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: математическая модель дает приближенное описание задачи; неточно заданы исходные данные: получение точного результата невозможно, т.к. оно требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому приходится прибегать к приближенному методу; при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления. Погрешности, соответствующие этим причинам, называют: неустранимой погрешностью; погрешностью метода; вычислительной погрешностью. Таким образом, полная погрешность результата решения задачи складывается из неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности. Процесс решения задачи с помощью вычислительной техники можно разделить на несколько этапов. Схематично это выглядит так:
-
Этапы решения задачи
объект Неустранимая погрешность Погрешность метода Алгоритм Вычислительное устройство Математическая модель результат Неустранимая погрешность Вычислительная погрешность
-
Задача определения равновесной цены
Для иллюстрации процесса возникновения погрешности рассмотрим задачу определения равновесной цены некоторого товара. Пусть спрос задается некоторой функцией : а предложение – функцией: Здесь равновесная цена – это решение нелинейного уравнения, которое находим приближенно. Графически решение – абсцисса точки пересечения графиков функций D(p) и S(p) D(p) S(p) Естественно, эти функции описывают процесс ценообразования лишь приближенно, коэффициенты тоже даны с некоторой точностью. Следствие этого – неустранимая погрешность результата решения задачи.
-
Последовательность приближений можно строить методом простой итерации: где i –номер приближения. Если p0 = 1, то p1 = 3,162278; p2 = 2,192045; p3= 2,503113; p4 = 2,389395; . . . p14 = 2,418709; p15 = 2,418711; p16 = 2,418710; и т.д. (значения округлены до 6 знаков после запятой). Если процесс закончился вычислением pn, то погрешность метода оценивается как |pn – p*|, кроме того, при выполнении действий над вещественными числами (деление, извлечение корня) возникает вычислительная погрешность. Таким образом, погрешность решения второй задачи будет включать в себя все 3 вида погрешностей (неустранимую, метода и вычислительную).
-
Абсолютная и относительная погрешности.
Пусть x* - приближенное значение x. Абсолютной погрешностью приближения называется величина А(x*), для которой справедливо неравенство: |x - x*|≤ А(x*) Величина Δ(x*),удовлетворяющая неравенству|x - x*|/ |x*|≤ Δ(x*) называется относительной погрешностьюx*. Абсолютная погрешность зависит от выбора системы единиц измерения x*. Относительная погрешность – величина безразмерная, иногда вычисляется в процентах. Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением:А(x*) = |x*|Δ(x*). Значащимицифрами в записи числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой. Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. Остальные цифры называются сомнительными. Таким образом, в числе x* = a110n + a210n – 1 + … +am10n – m + 1 цифра akсчитается верной, если А(x*) ≤ 0,5·10n – k + 1. Количеством верных цифр после запятой называется количество цифр в числе после запятой до первой сомнительной.
-
Отделение корней Метод дихотомии Метод простой итерации Метод Ньютона Метод хорд Приближенные методы решения нелинейных уравнений
-
Отделение корней.
x2-1 Sin(x) Рассмотрим уравнение x2 sinx 1 = 0. Заменим уравнение эквивалентным ему уравнением x2 1 = sinx. Изобразим примерно графики левой и правой частей на (-π, π). Видно, что уравнение имеет два корня: на (−1, 0) и на (1, 2 ). Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.
-
Метод дихотомии
Пусть мы нашли такие точки a иb, что на отрезке [a, b] лежит единственный корень уравнения. Найдем середину отрезка c = (a+b)/2 и вычислим f(c). Из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция имеет разные знаки, тогда корень лежит на этой половине. Затем новый отрезок опять делим пополам и т.д. Если требуется найти корень с точностью ε, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x); при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за kитераций длина отрезка уменьшится в 2kраза (уточнение трех цифр требует 10 итераций). Погрешность метода на шаге k оценивается следующим образом: где ξ- точное решение уравнения,xk— значение одного из концов отрезка на шаге к. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна f(x)
-
Метод простой итерации
Заменим уравнение f(x) = 0 эквивалентным ему уравнением х = φ(х), где φ(х) ─ дифференцируемая функция. Это можно сделать многими способами, например, положив φ(х) ≡ x + ψ(x)f(x), где ψ(x) — произвольная непрерывная знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение х0 и вычислим дальнейшие приближения по формулам xn+1= φ(xn), где n = 0, 1, 2, . . . (1) Исследуем условия сходимости. Если φ(х) имеет непрерывную производную, то: хn + 1 ξ = φ(хn) φ(ξ) = (хп ξ)φ'(θ), где точка θ лежит между точками хnи ξ. Поэтому, если всюду |φ'(х)| ≤ q 1, то, в силу непрерывности, |φ'(х)| больше единицы и в некоторой окрестности корня; в этом случае итерации не могут сходиться. Если |φ'(ξ)| 1, то итерации сходятся, если нулевое приближение выбрано достаточно близко к корню; при произвольном нулевом приближении сходимости может не быть. Очевидно, что чем меньше q, тем быстрей сходимость. Погрешность метода можно оценить соотношением: │хk ξ│ ≤ qk│х0 ξ│ где ξ ─ точное решение уравнения, xk ─ значение итерации на шагеk. Тогда количество итераций, необходимых для достижения точности ε, можно определить из неравенства: qk│х0 ξ│
-
Метод Ньютона
Пусть на [a, b] существует единственный корень уравнения f(x) = 0, f(x) – функция непрерывная вместе с первой производной на [a, b]. Заменим f(x) линейной функцией f(xn) + f′(xn)(x xn) ─ выражением для касательной в точке xn, принадлежащей отрезку [a, b]. Тогда точка пересечения графика этой функции с осью OX (решение уравнения f(xn) + f′(xn)(x xn) = 0) ─ очередное приближение к решению уравнения по методу Ньютона. Отсюда, (2) Геометрическая интерпретация метода Ньютона представлена ниже. a x1 x2 x0 b
-
Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона).
Пусть выполняются следующие условия: 1.Функция f(x) определена и дважды непрерывно дифференцируема на [a, b]; 2.Отрезку [a, b] принадлежит только один простой корень (f(a)f(b)
-
Оценка погрешности
При решении уравнения f(x) = 0 приближенным методом можно оценить погрешность следующим образом: пусть f(х)m на [a, b] , это справедливо, т.к. f(х) 0 и она непрерывна на [a, b]. Из │f(xn) f(ξ)│ = │f′(θ)│∙│xnξ│ следует, что
-
Метод хорд
В методе Ньютона требуется вычислять производную функции, что не всегда удобно. Можно заменить касательную хордой, один из концов которой неподвижен. Это прямая, проходящая через точки (x0, f(x0)), (xn, f(xn)) и пересекающая ось OX в точке xn + 1 . Тогда рекуррентная формула для решения уравнения f(x) = 0 по методу хорд примет вид: Геометрическая интерпретация метода хорд.представлена ниже
-
Решение задач линейной алгебры
Точные методы Метод Гаусса Пример Приближенные методы Пусть необходимо решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в матричной форме:Ax = b, где A— матрица коэффициентов, b, x— столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно. Применяемые в настоящее время методы решения линейных систем можно разбить на две группы: точные и приближенные
-
Точные методы
Точными методаминазываются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), приводят к точным значениям неизвестных за конечное число шагов. Так как на практике все вычисления ведутся с округлениями, то и значения неизвестных, полученные точным методом, неизбежно будут содержать погрешности. Если матрица А невырожденная, т. е. det(A) ≠ 0 , то система имеет единственное решение. В этом случае решение системы с теоретической точки зрения не представляет труда. Значения неизвестных xi(i = 1, 2, ..., n) могут быть получены, по известным формулам Крамера К точным методам относится, например, метод Гаусса.
-
Метод Гаусса
Для простоты ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными Пусть a11 ≠ 0(ведущий элемент). Разделив первое уравнение системы наa11.Пользуясь первым уравнением, можно исключить неизвестное х1из второго, третьего и четвертого уравнений системы. Далее первое уравнение полученной системы делим на a22(1), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными и т. д. Таким образом, исходную систему мы привели к эквивалентной системе с треугольной матрицей: откуда последовательно находимx3, x2 ,x1. Итак, решение системы распадается на два этапа: прямой ход приведение системы к треугольному виду и обратный ходопределение неизвестных.
-
Пример
Методом Гаусса решить систему: Прямой ход реализуется с помощью преобразований: Обратный ход: решаем систему с треугольной матрицей, начиная с последнего уравнения x3 = 3; x2 = 28 + 10x3 = 2; x1 = 8 0,5x2 2x3 = 1.
-
Приближенные методы
Метод простой итерации Метод Якоби Метод Зейделя Пример Приближенными методаминазываются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (х1, х2, . . . , хn) за конечное число шагов лишь с заданной точностью. Точное решение системы в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя и др. Каждый из этих методов не всегда является сходящимся в применении к конкретному классу систем линейных уравнений.
-
Метод простой итерации
Простейшим итерационным методом решения систем линейных уравнений является метод простой итерации. Система уравнений Ах = b(1) преобразуется к виду х = Вх + с (2) и ее решение находится как предел последовательности x(n + 1) = Вх(п)+ с (3) Теорема 2. (о достаточном условии сходимости метода простой итерации). Если ||В||
-
Метод Якоби
Итерационный процесс будет иметь вид: Можно показать, что достаточным условием сходимости этого метода является диагональное преобладание в матрице А исходной системы . Диагональное преобладание в матрице А означает, что для любого i = 1, 2, …, n
-
Метод Зейделя
Итерационный процесс имеет вид : Можно представить матрицу А в виде суммы трех матриц A = L + D + R, где L – левая треугольная матрица, R – правая треугольная матрица, D – диагональная матрица. Тогда итерационный процесс можно записать в виде (L+D)x(k + 1) + Rx(k) = b, отсюда имеем x(k + 1) = (L+D)−1Rx(k) + (L+D)−1b Необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя: все корни уравнения det(R + (L + D)λ) = 0 должны быть по модулю меньше 1.
-
Пример
Исследовать сходимость метода Зейделя для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными и в случае сходимости получить для нее приближенное решение этим методом. 2x1 x2 + x3 = 3 3x1 + 5x2 2x3 = 1 x1 4x2 + 10x3 = 0 Построим итерационный процесс следующим образом: x1(k + 1) = 1,5 + 0,5 x2(k) 0,5 x3(k) x2(k+ 1) = 0,2 0,6 x1(k+ 1) + 0.4 x3(k) x3(k+ 1) = 0,1 x1(k+ 1) + 0,4 x2(k + 1) Уравнение det(R + (L + D)λ) = 0имеет вид 100λ3 3λ2 + 2λ = 0 λ1 = 0, λ2, 3 - комплексные числа, по модулю меньше 1 и метод Зейделя сходится.
-
Интерполяция
Пусть известны значения некоторой функции f в п + 1различных точках х0, х1, ..., хп , которые обозначим следующим образом: f0, f1, ..., fп . Эти значения могут быть получены, например, из эксперимента или найдены с помощью достаточно сложных вычислений. Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке х. Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочленстепени n, который в точках xi принимает заданные значения, т. е. Ln(xi) = fi , i= 0, 1, ..., п Этот многочлен называется интерполяционным. Точки xi называются узлами интерполяции. Интерполяционный многочлен, записанный в форме называют интерполяционным многочленом Лагранжа.
-
Численное интегрирование
Постановка задачи Формулы прямоугольников Формула трапеций Формула Симпсона Погрешность составных формул Пример
-
Постановка задачи
Пусть требуется вычислить определенный интеграл где f(x) непрерывная на [a, b] функция. Заменим f(x) каким-либо интерполяционным многочленом Ln(x) и получим формулу, которая называется квадратурной: где xk– узлы интерполяции Ak– коэффициенты квадратурной формулы, называемые весами, зависящие только от выбранных узлов, но неот вида функции f(x). Обозначим через R[f] – погрешность или остаточный член формулы, тогда Таким образом,, где . Такая формула называется интерполяционной квадратурной формулой.
-
Формулы прямоугольников
Заменим функцию на отрезке [a, b] многочленом Лагранжа нулевой степени с одним узлом x0 – константой f(x0). Тогда искомый интеграл, равный площади криволинейной трапеции, будет приближенно равен площади прямоугольника с высотой f(x0) и основанием b a. В зависимости от выбора x0 мы можем получить формулы: Формула левых прямоугольников (x0 = a) Формула правых прямоугольников (x0 = b) Формула средних прямоугольников (x0 = (a+b)/2)
-
Формула левых прямоугольников
Геометрический смысл формулы левых прямоугольников
-
Формула правых прямоугольников
Геометрический смысл формулы правых прямоугольников Геометрический смысл формулы правых прямоугольников
-
Формула средних прямоугольников
Геометрический смысл формулы средних прямоугольников
-
Формула трапеций
Заменим функцию на отрезке [a, b] многочленом Лагранжа первой степени с узлами x0 = a, x1 = b. Графически это соответствует замене кривой на секущую. Таким образом, искомый интеграл, равный площади криволинейной трапеции, будет приближенно равен площади прямоугольной трапеции с высотой b a, и основаниями f(a) и f(b). Из геометрических соображений нетрудно получить для нашего интеграла формулу трапеций: Геометрический смысл формулы трапеций
-
Формула Симпсона
Формула Симпсона (формула парабол) может быть получена при интерполировании по трем узлам:x0 = a, x1 = (a+b)/2, x2 = b. Она имеет вид: Погрешность вычисляется по формуле
-
Погрешность составных формул
Рассмотренные формулы называют простыми. На практике, поскольку длина отрезка [a, b] может быть велика, пользуются составными формулами, с их помощью можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. Для получения этих формул разобьем отрезок [a, b] узлами: a = x0
-
Составная формула Симпсона
В этих формулах Составная формула Симпсона: Здесь, Легко получить выражениедля погрешности
-
Пример
Вычислить по формулам левых прямоугольников, трапеций и Симпсона при n = 2 интеграл Точное значение этого интеграла равно 1. Sлев. прям. = Sтрапеций = SСимпсона =
-
Численное решение задачи Коши
Постановка задачи Методы, основанные на разложении решения в ряд Тейлора Методы Рунге - Кутты Разностные методы Пример
-
Постановка задачи
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: найти решение уравнения y = f(x, y) на отрезке [x0, x0+ L], удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = y0 (1). Если функция f(x,y)непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в некоторой окрестности начальной точки x0, то можно указать такой отрезок [x0 , x0 + L] , на котором решение задачи существует и единственно. Численные методы позволяют приближенно вычислить искомое решениеy(x) в некоторых точках xi[x0, x0 +L]. Решение ищется в виде последовательности значений y0, y1,y2, . . . ,yn , где yi – приближенное значение точного решения y(x)в точке xi.
-
Методы, основанные на разложении решения в ряд Тейлора
Пусть f(x, y) имеет в рассматриваемой области непрерывные и ограниченные частные производные. Тогда можно записать для решения (1) разложение в ряд Тейлора: гдеy(x0) = f(x0, y0), y(x0 ) = fx(x0, y0) + fy(x0, y0)f(x0, y0) и т.д. Оборвем разложение на слагаемом, содержащем (x − x0)k. Можно записать приближенное равенство Возьмем k = 1. Полученный метод имеет вид: yj+1 = yj + h f(xj, yj) и называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера представлена на рисунке.
-
Геометрическая интерпретация метода Эйлера
xk yk xk+1 yk+1 y(xk+1)
-
Методы Рунге – Кутты
. Пусть известно значение решения задачи (1) в некоторой точке x и требуется вычислить его в точке x + h . Справедливо следующее равенство (1) : если вычислять по формуле трапеций, то Заменяя в этой формуле неизвестное y(x+h) приближенным значением, полученным по методу Эйлера, получим метод Эйлера с пересчетом:
-
Если вычислять по формуле средних прямоугольников, то получим метод Коши: Полученные методы относятся к семейству методов Рунге – Кутты второго порядка, общий вид которых: yi+1 = yi + P1k1+ P2k2 , где k1= hf(xi ,yi), k2= hf(xi + h, yi+ k1). Параметры, ,P1, P2находят из условия совпадения разложения в ряд точного и приближенного решения до слагаемого порядка О(h3). Выполнение этого требования достигается, если P2 = P2= 0,5;P1+ P2= 1. Таким образом, методу Эйлера с пересчетом соответствуют значения = = 1, P1= P2 = 0,5; а методу Коши значения = = 0,5; P1 = 0; P2 = 1. Наиболее частоиспользуется метод Рунге – Кутты четвертого порядка точности. этом методе yi − приближенные значения y(xi) вычисляются по формулам yi + 1 = yi + yi ,yi= (K1(i) + 2K2(i) + 2K3(i) + K4(i))/6, где K1(i)= hf(xi, yi),K2(i)= hf(xi + h/2, yi + K1(i)/2),K3(i)= hf(xi + h/2, yi + K2(i)/2), K4(i)= hf(xi + h, yi + K3(i)). Одношаговая погрешность этого метода О(h5). Погрешность на всем промежутке О(h4)
-
Разностные методы
Пусть известны значения ym - k, ym – k + 1, . . . , ym в равноотстоящих узлах xm - i, i = 0,1, . . ., k так, чтоxm – i + 1 = xm - i + h. Для функции f(x, y(x)) по значениям fm - i= f(xm - i, ym - i), i = 0, 1, . . . ,k можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени k . Заменив в интегральном представлении уравнения (1) подынтегральную функциюf(x, y(x))интерполяционным многочленом Lk(x), получим формулу метода Адамса O(h3) O(h4) O(h5)
-
Пример
Дана задача Коши : Найти приближенные значения решения в точках 0,1; 0,2; 0,3 по методу Эйлера, Эйлера с пересчетом и по методу Коши; сравнить с точным решением. Проиллюстрировать графически. Найдем точное решение этой задачи. Вычислим приближенные значения решения по методу Эйлера , по методу Эйлера c пересчетом, методу Кошив точках 0,1; 0,2; 0,3; y(0) = y0 = 2 для каждого метода . Чтобы сравнить результаты, занесем их в таблицу :
-
По таблице можно построить следующий график:
-
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII – начале XIX века в связи с проблемой обработки экспериментальных данных. В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации характеризуется двумя особенностями: число точек, в которых проводятся измерения, обычно бывает достаточно большим; значения функции в этих точках определяются приближенно в связи с неизбежными ошибками измерения. С учетом этого строить аппроксимирующую функцию в виде суммы большого числа слагаемых и добиваться ее точного равенства в узлах сетки некоторым значениям становится нецелесообразным. В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция ищется в виде суммы, содержащей сравнительно небольшое число слагаемых Пусть известны значения некоторой функции f в п различных точках х1, ..., хn, которые обозначим следующим образом: f1, ..., fn;в евклидовом пространстве Е дана линейно независимая система функций φ1 , φ2 ,. . . , φm, m ≤ n.
-
i = 1, . . ., m. коэффициенты которого подберем так, чтобы значение было минимальным. Построим обобщенный многочлен Определим скалярное произведение функций на множестве точек х1, ..., хn : Полученные в результате решения этой системы коэффициенты дадут многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения функции f. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
-
Пример
i xiyi 1 0 0 2 0.5 0.25 3 1 1 Сеточная функция задана таблицей: Построить линейную функцию Ф(x) = a1 + a2x, которая даст наилучшее приближение по методу наименьших квадратов. В рассматриваемом случае имеем:n = 2, m = 1, φ1(x) = 1, φ2(x) = x. Здесь (φ1, φ1) = 3; (φ2, φ2 )= 1,25; (φ1, φ2 ) = (φ2, φ1 ) = 1,5. Таким образом, для определения коэффициентов имеем нормальную систему уравнений: 3a1 + 1,5a2 = 1,25 1,5a1 + 1,25a2 = 1,125 В результате ее решения получим: тогда
-
Геометрическая интерпретация МНК представлена на рисунке:
-
Литература
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2006. Вержбицкий В. М. Численные методы. М.: ОНИКС 21 век, 2005. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численные методам. М.: Логос, 2004. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2004. Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа,2000.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.