Презентация на тему "ММИР"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ММИР

  Пути решения инженерных задач: экспериментальный; анализ математической модели реального объекта (процесса) Лекции14 часов,Практические занятия – 14 часов 4контрольные работы Зачет Лекции №№1-2

• 
  Слайд 2
  

  Схема экспериментальн. решения задачи (ЭМ): Разработка методики исследований и экспериментальных средств; Проведение эксперимента, в котором по возможности наиболее полно отображаются реальные условия взаимодействия объекта исследования с окружающей средой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Повторные эксперименты  Массив данных  Систематизация и статистическая обработка  Изображение в виде таблиц, графиков, эксперимент. функциональных зависимостей.

• 
  Слайд 3
  

  Преимущество: с помощью правильно поставленного и технически оснащенного эксперимента часто удается получить надежные и достоверные результаты Недостаток: результатыи закономерности, полученные в данном конкретном эксперименте, не могут быть использованы для обобщений и прогнозов результатов других, даже подобных экспериментов. ЭМ

• 
  Слайд 4
  

  Недостаток: не всегда возможно решение сложных прикладных задач. Преимущество: там, где математическое решение возможно эти методы имеют большие возможности для обобщений, т.е. применения полученных результатов и закономерностей для других подобных задач. ММ

• 
  Слайд 5
  

  ММИР ОДУ УМФ Графические Аналитические Приближенные Численные Методы решения ДУ

• 
  Слайд 6
  

  Термин«модель» (от лат. «modulus»- образец, норма, мера) - этообъект, замещающийоригинал и отображающийегонаиболееважныечерты и свойства для данногоисследования. В широкомсмыслемодель – этолюбаясистема, в каком-тоотношениизаменяющаялибоспособнаязаменить «оригинал», которыйинтересуетисследователя.

• 
  Слайд 7
  

  Математическая модель – это абстракция реальной действительности, в которой отношения между реальными элементами (интересующими исследователя), заменены отношениями между математическими категориями.Эти отношения записываются в виде уравнений и (или) неравенств, соотношениями формальной логики между показателями (переменными), которые характеризуют функционирование реальной моделируемой системы.

• 
  Слайд 8

  Основные этапы процесса математического моделирования

  1. Формированиецелейисследования, гипотез и разработкаконцептуальноймодели 2. Разработкаматематическоймодели 4.Формирование гипотез Использованиемодели 3. Анализрезультатовмодельныхвычислений, сравнениеих с фактич. данными Результат неудовлетворительный Результатыудовлетворительные, процесспостроениямоделизавершен

• 
  Слайд 9

  Классификация видов математической модели

  Математическоемоделирование Статистическое Имитационное(алгоритмическое) Компьютерное Численное Аналитическое

• 
  Слайд 10

  Цикл вычислительного процесса:

  объект исследования → физическая модель →математическая модель →численный алгоритм →программа →расчет на ЭВМ →сравнение с экспериментальными данными, управление объектом

• 
  Слайд 11
  

  Дифференциальные уравнения (ДУ) и методы их решения

• 
  Слайд 12
  

  Любой физический процесс, в котором рассматривается степень изменения одной переменной относительно другой, описывается ДУ. ДУ Обыкновенные ДУ ДУ в частных производных Задачи Коши Краевые задачи Задачи на собственные значения

• 
  Слайд 13

  f (x, y, yʹ, yʹʹ,..., y(n)) = 0, x є[a, b] (1)

  Решением (интегралом) ДУ называется функция, которая обращает (1) в верное тождество.

• 
  Слайд 14
  

  Общее решение уравнения (1) содержит n произвольных постоянных, т.е. является неоднозначным Общее решение задает поле решений, т.е. совокупность кривых. Для получения частного решения (однозначного) необходимо иметь набор дополнительных условий для определения постоянных С1, С2 , ... , Сn.   Дополнительные условия включают задание значений функции и ее производных в определенной точке, т.е. дают однозначное решение, т.к. позволяют выбрать кривую Xo X Yo Y  y = φ (x, С1, С2 ...,Сn ), x[a, b]

• 
  Слайд 15
  

  В зависимости от способа задания дополнительных условий задачи решения ДУ решения делятся на задачу с краевыми условиями (краевую задачу) Начальные условия – определяют значения функции и ее производных до (n – 1) порядка включительно в одной точке отрезка интегрирования уравнения (1) Обычно в начале x = a Краевые (граничные) условия– определяют значения функции и ее производных до (n – 1) порядка включительно в нескольких точках отрезка интегрирования Обычно в начале и конце x = aиx =b задачу с начальными условиями (задачу Коши)

• 
  Слайд 16
  

  ,,…,)   ~   Произвольную систему ДУ любого порядка можно свести к некоторой эквивалентной системе уравнений 1-го порядка.

• 
  Слайд 17
  

  y(x0) = y0 , Решением задачи Коши является функцияy=y(x), удовлетворяющая ДУ и начальному условию. ЗАДАЧА КОШИ для ОДУ 1-го порядка yʹ= f (x , y) x[a, b], x0– точка, где задано начальное условие. Если правая часть f (x, y) непрерывна в области R: то существует по меньшей мере одно решение у = у (х), определенное в некоторой окрестности где h>0.     Это решение единственно, если в R выполненоусловие Липшица: Если f (x, y) имеет в R ограниченную производную то при (x,y)R.  

• 
  Слайд 18
  

  Численные методы решения ДУ одношаговые многошаговые Методы решения ЗК точные приближенные дают приближенное решение в виде

• 
  Слайд 19
  

  В 1-шаговых методах (Эйлера, Рунге-Кутта, решение уравнений с помощью рядов Тейлора) используется информация о самой интегральной кривой в предыдущей точке. Недостаток: трудно оценить допускаемую ошибку (погрешность) вычисления. В многошаговых методах следующую точку интегральной кривой можно получить, не делая повторных вычислений функции (как в 1-шаговых), а используя приемы прогноза и корреляции. Недостаток: необходимость получения некоторых начальных точек, сложность организации вычислительной процедуры.

• 
  Слайд 20
  

  ЧМ – это алгоритмы вычисления приближенных (а иногда и точных) значений искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Решение при этом получается в виде таблицы. ─ ЧМ не позволяют найти общего решения, а могут дать какое-то частное решение. +ЧМ применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них. При появлении ЭВМ – это основные методы. ЧМ применяются только для хорошо обусловленных задач!!! ДУ наз. плохо обусловленным, если небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменениям небольшие погрешности ЧМ могут сильно исказить решение. Пример: уʹ= y – x, 0≤x≤100, y(0)=1. Общее решение : у=1+х+Сех. При х=0 С=0, а у(100)=101. При небольшом изменении начального условия ỹ(0)=1,000001 слегка меняется постоянная ĉ=10-6, но тогда у(100)≈2,7 ∙1037!

• 
  Слайд 21
  

  Метод Эйлера (ломаных) для решения задачи Коши Y X x0 y0 y = y(x) Выбираем достаточно малый шаг h > 0и строим систему равноотстоящих точекxi = a + i·h, i =0, 1, ... nилиxi = x 0 + i·h x1 y1 x2 y2 h = Δx h = Δx Основная идея метода Эйлера– использование геометрического смысла первой производной Заменим производную в т. xi правой разностью Для i = 0 Δy0 истинное значениеΔy0 y ʹ= f(x , y) , xє[a, b], y (x0 ) = y0

• 
  Слайд 22
  

  Y X x0 y0 y = y(x) x1 y1 x2 y2 h = Δx h = Δx Δy0 истинное значение Δy0 y ʹ= f(x , y) , x[a, b], y (x0 ) = y0 С другой стороны , т.о. , i = 0, 1, ... n Откуда i = 0, 1, ... n Обозначим тогда

• 
  Слайд 23
  

  Y X h y = y(x) y ʹ= f(x , y) , x[a, b] y (x0 ) = y0 h h h Кривая ABCD– график решенияy = y(x). A B C D Фактически заменяем искомую кривую y = y(x) некоторой ломаной, звенья которой параллельны касательным, проведенным к графику функции y = y(x) в точках хi. По мере удаления от начальной точки x = x0 ломаная будет удаляться от истинной кривой и погрешность вычисления накапливается. Ломаная A Bʹ Cʹ Dʹ– график приближенногорешения Bʹ Cʹ Dʹ Порядок точности – 1-й О(h) Недостатки метода: малая точность и систематическое накопление ошибок. Модификации метода Эйлера имеют 1-й – О(h)и 2-й О(h2)порядок точности

• 
  Слайд 24
  

  Метод Рунге – Кутта y ʹ= f(x , y) , x[a, b], y (x0 ) = y0 Выбираем достаточно малый шаг h > 0 и строим систему равноотстоящих точекxi = a + i·h, i = 0, 1, ... nилиxi = x 0 + i·h Основная идея метода Проинтегрируем ДУ из задачи Коши в пределах от xдо x + h. Получим равенство которое посредством интеграла связывает ДУ в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние h. Если решать этот интеграл методом левых прямоугольников то получим методЭйлера. Т.о. метод Эйлера – это метод Рунге – Кутта 1-го порядка.

• 
  Слайд 25
  

  Наибольшее распространение получила схема метода Рунге Кутта 4-го порядка точности y i+1 = y i + Δyi, i = 0, 1, 2, …, n-1 K1(i) = h f (xi , yi) K2(i)=h f (xi+h/2, yi+K1(i)/2) K3(i) = h f (xi + h/2 , yi + K2(i)/2) K4(i) = h f (xi + h , yi + K3(i)) Δyi = 1 / 6 [ K1(i) + 2 K2(i) +2 K3(i) + K4(i)],

• 
  Слайд 26
  

  +ПреимуществаметодОВ Рунге-Кутта: Достаточно высокая точность (кроме метода Эйлера); Являются явными (т.е. значение уi+1вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам); Возможность производить вычисления с переменным шагом (там, где функция быстро меняется, нетрудно уменьшить шаг, и наоборот); Для начала расчета достаточно выбрать сетку хiи задать значение у0, далее вычисления идут по одним и тем же формулам. ─Недостатки: На каждом шаге приходится вычислять функцию f(x,y) в нескольких точках; Трудности при получении оценки погрешности вычисления.

• 
  Слайд 27
  

  Погрешность метода Рунге-Кутта ≈ h5. При выборе шага h можно руководствоваться критерием: Если q

• 
  Слайд 28
  

  Для практической оценки погрешности методов Рунге-Кутта порядка р используют «принцип Рунге», согласно которому погрешность метода вычисляется (приближенно) по формуле: (для метода Эйлера р=1, для метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности р=4).  

• 
  Слайд 29
  

  Лекця №3

• 
  Слайд 30
  

  Величины αkν, βkνиγν─ заданные постоянные. p0 (x), p1 (x) ...pn (x),f(x) – заданные функции. В уравнение (2) входятnуравнений, из которых определяютnпостоянных общего решения..

• 
  Слайд 31
  

  Понятие функционала и оператора Понятие функционаласвязано с соответствием между множеством определенного класса функций и множеством чисел. Если каждой функции y = f (x) определенного класса ставится в соответствие по некоторому закону определенное числовое значение переменнойI, то эту переменную называют функционалом от одной функциональной переменной I = I [ y] = I [ y (x)] = I [ f (x)], y – независимая переменная для функционала. Областью определения функционала является определенный класс функций.

• 
  Слайд 32
  

  D (sin x) = cos x Понятие оператора Оператор– закон преобразования функций - прообразов в функции-образы. Оператор дифференцирования действует по закону D f = f I Пример функция - образ Функция – прообраз Функция – прообраз функция - образ D ( x3 ) = 3 x2

• 
  Слайд 33
  

  Введем в рассмотрение дифференциальный оператор Ly и функционал lν[y], тогда (1) и (2) можно записать в виде Ly = f(x), x є [a,b] (3) lν[y] = γν, ν = 1, 2,..., n или при n = 2 Ly = f(x), x є [a,b] (4) l1 [y] = γ1 l2 [y] = γ2 Теорема: Для того, чтобы существовало единственное решение неоднородной КЗ, необходимо и достаточно, чтобы однородная КЗ имела только тривиальное решение y(x) ≡ 0

• 
  Слайд 34
  

  Метод конечных разностей (приближенный численный метод) Для ОДУ 2-го порядка p0 (x) y II + p1 (x) y I + p2 (x) y = f (x), x є[a, b], Пустьp0 (x)=1, p1 (x) = p (x), p2 (x) = q (x), т.е. y II + p(x) yI + q(x) y = f(x), x є[a, b], (5) (6)

• 
  Слайд 35
  

  Разобьем [a, b] на n равных частей длиной h = (b – a) / n. Координаты узлов : xi = a + i·h, i = 0, 1, ...n. x0иxn – граничные, x1, x2, …,xi , …,xn-1– внутренние. Обозначим y (xi) = yi, p (xi) = pi , f (xi ) = fi. X x0 y0 y = y(x) x1 y1 xn y h h x2 y2 x3 h h h xi y3 yi yn Аппроксимируемпроизводные конечно – разностными отношениями, которые позволяют заменить ДУ на СЛАУ, относительно неизвестных значений функции yi в точках xi (i = 0, 1... n) a b

• 
  Слайд 36
  

  X y xi-1 xi xi+1 y = y(x) h h α β φ yi-1 yi yi+1 В центральном узле xi заменим на (7) Формулы центральных разностей для внутренних узлов Для граничных узлов используем правые (левые) разности (8) (9)

• 
  Слайд 37
  

  В ДУ (5) производныезаменяютсяцентральными разностями для каждоговнутреннегоузла(8), а в уравнениях(6) - разностями для краевых узлов (9). i = 1, ..., n-1 (10) (11) yiII + p(xi) yiI + q(xi) yi = f(xi), i = 1, ..., n -1,(5) (6) В результате система диф. уравнений преобразуется в СЛАУ

• 
  Слайд 38
  

  После преобразований получим (12) (11) Полученная система (12) представляет собой СЛАУс трёхдиагональной матрицей коэффициентов. , i = 1,2 ..., n-1 Решается методом прогонки. (10)