Презентация на тему "Биномиальное распределение"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  15. Биномиальное распределение где q=1-p. Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n,p>0, если Х принимает значения: 0,1,2,…n и вероятность того, что случайная величина примет значение X=m находится по формуле Бернулли:

• 
  Слайд 2
  

  Случайную величину Х, распределенную по биномиальному закону, можно трактовать следующим образом: Рассмотрим событие А, которое происходит в опыте с вероятностью р и не происходит с вероятностью q=1-p. Производится серия из n опытов в одинаковых условиях и независимо друг от друга. Случайная величина Х - сколько раз событие А произошло в данной серии опытов.

• 
  Слайд 3
  

  Составить ряд распределения величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=4, р=1/3. ПРИМЕР.

• 
  Слайд 4
  

  Производится серия из n=4 опытов. Случайная величина Х - число опытов, в которых может произойти событие А, может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности находятся по формуле Бернулли при n=4, p=1/3, q=1-1/3=2/3. Решение: Вероятность того, что событие А не произойдет ни в одном опыте (m=0):

• 
  Слайд 5
  

  Вероятность того, что событие А произойдет в одном опыте (m=1): Аналогично находим вероятности того, что это событие произойдет в двух (m=2), в трех (m=3) и в четырех (m=4) опытах:

• 
  Слайд 6
  

  Можно убедиться, что суммарная вероятность действительно равна 1. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х будет выглядеть так:

• 
  Слайд 7
  

  Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Х - число опытов в серии из n, в которых произошло событие А. Введем для каждого i=1,2…n случайную величину Zi . Пусть Zi принимает всего два значения: 1 - если событие А произойдет в i-ом опыте и 0 - если событие А не произойдет в i-ом опыте. Тогда событие Х выразится через сумму событий Zi : Х= Z1 +Z2 +…+Zn

• 
  Слайд 8
  

  Тогда математическое ожидание случайной величины Х: M[X]=M[Z1]+M[Z2]+…+M[Zn] Найдем математическое ожидание Zi Ряд распределения Zi имеет вид: Тогда M[Zi ]=p и M[X]=np.

• 
  Слайд 9
  

  Найдем дисперсию случайной величины Zi Так как случайные величины Zi независимы, то Таким образом, для случайной величины, распределенной по биномиальному закону,

• 
  Слайд 10